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文档简介

专题06集合的概念及其表示

一、考情分析

二、经验分享

【知识点一、集合的概念】

1.集合与元素

一般地,我们把统称为元素,用小写拉丁字母4,4G…表示.把_________组成的总体叫做集

合,用大写拉丁字母…表示.

说明:组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式,也可以是人或物等.

2.元素与集合的关系

如果〃是集合A的元素,就说a属于集合A,记作;如果々不是集合A中的元素,就说"不

属于集合A,记作.

注意:4与。£4取决于元素a是否是集合力中的元素.根据集合中元素的确定性可知,对任何元素

a与集合4awA与。任A这两种情况中必有一种且只有一种成立.

3.集合中元素的特征

(1):集合中的元素是否属于这个集合是确定的,即任何对象都能明确它是或不是某个集合

的元素,两者必居其一.这是判断一组对象是否构成集合的标准.

(2):给定集合的元素是互不相同的.即对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同

的.

(3):集合中各元素间无先后排列的要求,没有一定的顺序关系.

4.集合相等

只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.

【知识点二、常用的数集及其记法】

1.全体组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N;

2.所有________组成的集合称为正整数集,记作N*或N.;

3.全体________组成的集合称为整数集,记作Z;

4.全体组成的集合称为有理数集.记作Q;

5.全体组成的集合称为实数集,记作R.

易错点:N为非负整数集(即自然数集),包括0,而N-表示正整数集,不包括0,注意区分.

【知识点三、集合的表示方法】

1.列举法

把集合的元素________出来,并用花括号“0”括起来表示集合的方法叫做列举法.

注意:(1)用列举法表示的集合,集合中的元素之间用隔开,另外,集合中的元素必须满足确定

性、互异性、无序性.

(2)含有“所有”的含义,因此用{R}表示所有实数是错误的,应是R.

2.描述法

用集合所含元素的表示集合的方法称为描述法.具体方法是:在花括号内先写上表示这个集

合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的

说明:用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素,即代表元素是数、有序实数对、集合,还是其他

形式.

【知识点四、Venn图,子集】

1.Venn图的概念

我们经常用平面上_________的内部代表集合,这种图称为Venn图.

说明:(1)表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、矩形、椭圆,也可以是其他封闭曲

线.

(2)Venn图表示集合时,能够直观地表示集合间的关系,但集合元素的公共特征不明显.

2.子集

(1)子集的概念

一般地,对于两个集合4B,如果集合力中都是集合8中的元素,我们就说这两个集合有

包含关系,称集合)为集合8的子集,记作AqB(或83A),读作7含于8”(或“8包含

4').用Venn图表示如图所示:

或A(B)

(2)子集的性质

(i在何一个集合是它自身的子集,即AcA.

②7专递性,对于集合4,B,C如果4口8且BqC,那么AqC

【知识点五、从子集的角度看集合的相等】

如果集合A是集合8的(4cB),且集合B是集合A的(BqA),此时,集

合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合8相等,记作A=3.用Venn图表示A=8

如图所示.

【知识点六、真子集】

1.真子集的概念

如果集合AqB,但存在元素我们称集合A是集合8的真子集,记作4弓B(或

间).

如果集合4是集合3的真子集,在Venn图中,就把表示A的区域画在表示B的区域的内部.如图所

A,某届某校较优秀的毕业生;B.很接近近的所有实数;

C某班身高较高的男生;D数轴上所有的有理数点

【变式训练1-2】、(2021•浙江高三专题练习)下列各对象可以组成集合的是()

A.与1非常接近的全体实数

B.某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生

C.高一年级视力比较好的同学

D.与无理数乃相差很小的全体实数

(二)元素与集合之间的关系

元素与集合之间有且仅有“属于(w)”和"不属于(足)”两种关系,且两者必居其一.判断一个对

象是否为集合中的元素,关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征.

若集合是用描述法表示的,则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特彳E可据此列方程(组)或不

等式(组)求解参数;若awA,且集合A是用列举法表示的,则a一定等于集合力的其中一个元素,由

此可列方程(组)求解.

例2.(1)、(2022,广东广州•三模)若々€{1,3,/},贝心的可能取值有()

A.0B.0.1C.0,3D.0,1,3

(2).(2021・全国•高一专题练习)用符号“E”或P”填空:

(1)设集合3是小于jn■的所有实数的集合,则26B,1+72B;

(2)设集合C是满足方程工=/+1(其中〃为正整数)的实数x的集合,则3C.5C;

(3)设集合。是满足方程y=f的有序实数对(",),)组成的集合,则-1D,(-1,1)D.

【变式训练2・1】、(2020•江苏高一课时练习)M=|XG/?|(1+^2)X<V+41,对任意的攵eR,总有

A.22B.2wM,0wMC.2eM,0^MD.2任加,OcM

【变式训练2・2】、(2021•全国•高一课时练习)已知集合M有2个元素%2-占若-14M则下列说法一

定错误的是.

①2EM;②1EM;觌X3.

例3.(2020•安徽省太和中学高一月考)设数集A由实数构成,且满足:若且工工0),则

(1)若2EA,试证明A中还有另外两个元素;

(2)集合A是否为双兀素集合,并说明理由.

【变式训练3・1】、(2021•北京市八一中学高一阶段练习)以某些整数为元素的集合户具有以下两个性质:

①P中的元素有正整数,也有负整数;②若xwP,则x+ycP.

(1)若xwP,求证:3xwP;

⑵求证:OeP;

(3)判断集合户是有限集还是无限集?请说明理由.

(三)、集合的表示方法

对于元素较少的集合宜采用列举法表示,用列举法表示集合时,要求元素不重复,不遗漏、不计次序;

对于元素较多的集合宜采用描述法表示.

但是对于有些元素较多的集合,如果其中的元素具有规律性,那么也可以用列举法表示,常用省略号表

示多个元素.但要注意不要忽略集合中元素的代表形式.

例4.(2022・湖南•高一课时练习)用列举法表示下列集合:

⑴中国国旗的颜色组成的集合;

⑵单词mathematics中的字母组成的集合;

⑶自然数中不大于10的质数组成的集合;

f2x+4>0

⑷同时满足I:的整数组成的集合;

⑸由—+(a,R)所确定的实数组成的集合.

ah

【变式训练4・1】、(2021•全国高一课时练习)用列举法表示下列集合:

(1)大于1且小于6的整数;

(2)A={x|(x-l)(x+2)=0};

(3)B-[x^Z\-3<2x-\<3\.

(四)、集合相等

从集合相等的概念入手,寻找两个集合中元素之间的关系,看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元

素相等,一般需要分类讨论,在求出参数值后,要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的

代数式有意义.

例5.(1)、(2022,江苏・高一)设集合M={5,/),心{5x,5}.若M=N,则实数x的值组成的集合为

()

A.{5}B.{1}C.{0,5}D.{0,1}

(2)、(2022•浙江丽水滴期末)已知集合同一“口2十处.十A—0},占■⑶,若A=6,贝IJ实数。十〃一

【变式训练5・1】、(2020•江苏省通州高级中学高一月考)已知集合人={1,2,机},〃={1,3,〃},若

A=3,则"2+〃=.

(五)、判断两个集合之间的关系

(1)从集合关系的定义入手,对两个集合进行分析,

首先,判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合8,若是,则4G8,否则A不是8的子集;

其次,判断另一个集合3中的任意元素是否属于第一个集合A,若是,则8G4,否则5不是A的子集;

若既有AG4,又有4GA,则A=3.

(2)确定集合是用列举法还是描述法表示的,对于用列举法表示的集合,可以直接比较它们的元素;

对于用描述法表示的集合,可以对元素性质的表达式进行比较,若表达式不统一,要先将表达式统一,然

后再进行判断.也可以利用数轴或痴/?图进行快速判断.

例6.(1)、(2022,云南德宏・高一期末)下列四个选项中正确的是()

A.{QG{0,1}B.lc{0j}C.0e{O,l)D.le{0,l}

(2).(2021•江苏泰州市・泰州中学高三其他模拟)设集合A={x|x=2/i-L〃wZ},

^={X|X=4H-1,/IGZ),则()

A.ABB.BAC.AeBD.BeA

2

【变式训练6・1】、(2022•海南海口•模拟预测)已知集合〃={-2,0,1}.N={x\x+ax-2=0},若

NqM,则实数。=()

A.2B.1C.0D.-1

【变式训练6-2】、(2022・江苏•高一)(多选题)若{1,2}=3{1,2,3,4},则B=()

A.{1.2}B.{1,2,3}C.{1,2,4}D.{1,2,3,4}

(六)、确定集合的子集的个数

有限集子集的确定问题,求解关键有三点:

(1)确定所求集合;

(2)注意两个特殊的子集:0和自身;

(3)依次按含有一个元素的子集,含有两个元素的子集,含有三个元素的子集……写出子集.就可避免重

复和遗漏现象的发生.

例7.⑴(2021•全国高三二模)集合A={1,2,3}的子集个数为()

A.3B.6

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