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文档简介
专题06集合的概念及其表示
一、考情分析
二、经验分享
【知识点一、集合的概念】
1.集合与元素
一般地,我们把统称为元素,用小写拉丁字母4,4G…表示.把_________组成的总体叫做集
合,用大写拉丁字母…表示.
说明:组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式,也可以是人或物等.
2.元素与集合的关系
如果〃是集合A的元素,就说a属于集合A,记作;如果々不是集合A中的元素,就说"不
属于集合A,记作.
注意:4与。£4取决于元素a是否是集合力中的元素.根据集合中元素的确定性可知,对任何元素
a与集合4awA与。任A这两种情况中必有一种且只有一种成立.
3.集合中元素的特征
(1):集合中的元素是否属于这个集合是确定的,即任何对象都能明确它是或不是某个集合
的元素,两者必居其一.这是判断一组对象是否构成集合的标准.
(2):给定集合的元素是互不相同的.即对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同
的.
(3):集合中各元素间无先后排列的要求,没有一定的顺序关系.
4.集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.
【知识点二、常用的数集及其记法】
1.全体组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N;
2.所有________组成的集合称为正整数集,记作N*或N.;
3.全体________组成的集合称为整数集,记作Z;
4.全体组成的集合称为有理数集.记作Q;
5.全体组成的集合称为实数集,记作R.
易错点:N为非负整数集(即自然数集),包括0,而N-表示正整数集,不包括0,注意区分.
【知识点三、集合的表示方法】
1.列举法
把集合的元素________出来,并用花括号“0”括起来表示集合的方法叫做列举法.
注意:(1)用列举法表示的集合,集合中的元素之间用隔开,另外,集合中的元素必须满足确定
性、互异性、无序性.
(2)含有“所有”的含义,因此用{R}表示所有实数是错误的,应是R.
2.描述法
用集合所含元素的表示集合的方法称为描述法.具体方法是:在花括号内先写上表示这个集
合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的
说明:用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素,即代表元素是数、有序实数对、集合,还是其他
形式.
【知识点四、Venn图,子集】
1.Venn图的概念
我们经常用平面上_________的内部代表集合,这种图称为Venn图.
说明:(1)表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、矩形、椭圆,也可以是其他封闭曲
线.
(2)Venn图表示集合时,能够直观地表示集合间的关系,但集合元素的公共特征不明显.
2.子集
(1)子集的概念
一般地,对于两个集合4B,如果集合力中都是集合8中的元素,我们就说这两个集合有
包含关系,称集合)为集合8的子集,记作AqB(或83A),读作7含于8”(或“8包含
4').用Venn图表示如图所示:
或A(B)
(2)子集的性质
(i在何一个集合是它自身的子集,即AcA.
②7专递性,对于集合4,B,C如果4口8且BqC,那么AqC
【知识点五、从子集的角度看集合的相等】
如果集合A是集合8的(4cB),且集合B是集合A的(BqA),此时,集
合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合8相等,记作A=3.用Venn图表示A=8
如图所示.
【知识点六、真子集】
1.真子集的概念
如果集合AqB,但存在元素我们称集合A是集合8的真子集,记作4弓B(或
间).
如果集合4是集合3的真子集,在Venn图中,就把表示A的区域画在表示B的区域的内部.如图所
A,某届某校较优秀的毕业生;B.很接近近的所有实数;
C某班身高较高的男生;D数轴上所有的有理数点
【变式训练1-2】、(2021•浙江高三专题练习)下列各对象可以组成集合的是()
A.与1非常接近的全体实数
B.某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生
C.高一年级视力比较好的同学
D.与无理数乃相差很小的全体实数
(二)元素与集合之间的关系
元素与集合之间有且仅有“属于(w)”和"不属于(足)”两种关系,且两者必居其一.判断一个对
象是否为集合中的元素,关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征.
若集合是用描述法表示的,则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特彳E可据此列方程(组)或不
等式(组)求解参数;若awA,且集合A是用列举法表示的,则a一定等于集合力的其中一个元素,由
此可列方程(组)求解.
例2.(1)、(2022,广东广州•三模)若々€{1,3,/},贝心的可能取值有()
A.0B.0.1C.0,3D.0,1,3
(2).(2021・全国•高一专题练习)用符号“E”或P”填空:
(1)设集合3是小于jn■的所有实数的集合,则26B,1+72B;
(2)设集合C是满足方程工=/+1(其中〃为正整数)的实数x的集合,则3C.5C;
(3)设集合。是满足方程y=f的有序实数对(",),)组成的集合,则-1D,(-1,1)D.
【变式训练2・1】、(2020•江苏高一课时练习)M=|XG/?|(1+^2)X<V+41,对任意的攵eR,总有
A.22B.2wM,0wMC.2eM,0^MD.2任加,OcM
【变式训练2・2】、(2021•全国•高一课时练习)已知集合M有2个元素%2-占若-14M则下列说法一
定错误的是.
①2EM;②1EM;觌X3.
例3.(2020•安徽省太和中学高一月考)设数集A由实数构成,且满足:若且工工0),则
(1)若2EA,试证明A中还有另外两个元素;
(2)集合A是否为双兀素集合,并说明理由.
【变式训练3・1】、(2021•北京市八一中学高一阶段练习)以某些整数为元素的集合户具有以下两个性质:
①P中的元素有正整数,也有负整数;②若xwP,则x+ycP.
(1)若xwP,求证:3xwP;
⑵求证:OeP;
(3)判断集合户是有限集还是无限集?请说明理由.
(三)、集合的表示方法
对于元素较少的集合宜采用列举法表示,用列举法表示集合时,要求元素不重复,不遗漏、不计次序;
对于元素较多的集合宜采用描述法表示.
但是对于有些元素较多的集合,如果其中的元素具有规律性,那么也可以用列举法表示,常用省略号表
示多个元素.但要注意不要忽略集合中元素的代表形式.
例4.(2022・湖南•高一课时练习)用列举法表示下列集合:
⑴中国国旗的颜色组成的集合;
⑵单词mathematics中的字母组成的集合;
⑶自然数中不大于10的质数组成的集合;
f2x+4>0
⑷同时满足I:的整数组成的集合;
⑸由—+(a,R)所确定的实数组成的集合.
ah
【变式训练4・1】、(2021•全国高一课时练习)用列举法表示下列集合:
(1)大于1且小于6的整数;
(2)A={x|(x-l)(x+2)=0};
(3)B-[x^Z\-3<2x-\<3\.
(四)、集合相等
从集合相等的概念入手,寻找两个集合中元素之间的关系,看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元
素相等,一般需要分类讨论,在求出参数值后,要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的
代数式有意义.
例5.(1)、(2022,江苏・高一)设集合M={5,/),心{5x,5}.若M=N,则实数x的值组成的集合为
()
A.{5}B.{1}C.{0,5}D.{0,1}
(2)、(2022•浙江丽水滴期末)已知集合同一“口2十处.十A—0},占■⑶,若A=6,贝IJ实数。十〃一
【变式训练5・1】、(2020•江苏省通州高级中学高一月考)已知集合人={1,2,机},〃={1,3,〃},若
A=3,则"2+〃=.
(五)、判断两个集合之间的关系
(1)从集合关系的定义入手,对两个集合进行分析,
首先,判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合8,若是,则4G8,否则A不是8的子集;
其次,判断另一个集合3中的任意元素是否属于第一个集合A,若是,则8G4,否则5不是A的子集;
若既有AG4,又有4GA,则A=3.
(2)确定集合是用列举法还是描述法表示的,对于用列举法表示的集合,可以直接比较它们的元素;
对于用描述法表示的集合,可以对元素性质的表达式进行比较,若表达式不统一,要先将表达式统一,然
后再进行判断.也可以利用数轴或痴/?图进行快速判断.
例6.(1)、(2022,云南德宏・高一期末)下列四个选项中正确的是()
A.{QG{0,1}B.lc{0j}C.0e{O,l)D.le{0,l}
(2).(2021•江苏泰州市・泰州中学高三其他模拟)设集合A={x|x=2/i-L〃wZ},
^={X|X=4H-1,/IGZ),则()
A.ABB.BAC.AeBD.BeA
2
【变式训练6・1】、(2022•海南海口•模拟预测)已知集合〃={-2,0,1}.N={x\x+ax-2=0},若
NqM,则实数。=()
A.2B.1C.0D.-1
【变式训练6-2】、(2022・江苏•高一)(多选题)若{1,2}=3{1,2,3,4},则B=()
A.{1.2}B.{1,2,3}C.{1,2,4}D.{1,2,3,4}
(六)、确定集合的子集的个数
有限集子集的确定问题,求解关键有三点:
(1)确定所求集合;
(2)注意两个特殊的子集:0和自身;
(3)依次按含有一个元素的子集,含有两个元素的子集,含有三个元素的子集……写出子集.就可避免重
复和遗漏现象的发生.
例7.⑴(2021•全国高三二模)集合A={1,2,3}的子集个数为()
A.3B.6
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