二次函数与幂函数（解析版）-2024年高考数学一轮复习导学案

第11讲二次函数与累函数

1.辕函数

(I)塞函数的定义

一般地，形如31的函数称为幕函数，其中x是自变量，。为常数.

(2)常见的五种基函数的图象

(3)豪函数的性质

①暴函数在(0,+8)上都有定义；

②当。＞0时，幕函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上单调递增;

③当。＜0时，哥函数的图象都过点(1,1),且在(0,+8)上单调递减.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：Ax)=ax+bx+c(a^0).

顶点式:f(x)=a(L〃+〃(aW0),顶点坐标为(卬，〃).

零点式：fCr)=a(x—汨)(x—加)(&W0),汨，莅为£(才)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

函数y=ax+5x+c（a〉0）y=ax+bx+c（a〈O）

图象

(抛物线)必°IV/;

定义域R

4ac-g\

值域[4a，+F

I4a」

b

对称轴x=­r-

顶点(_b_4ac一/

(一子4a)

坐标

奇偶性当b=0时是假函数，当一#0时是非奇非偶函数

在（在（-8,一卷上是增函数；

「8'T.上是减函数；

单调性

）上是增函数一/，+8）上是减函数

在IS+8在

1、【2021年甲卷文科】下列函数中是增函数的为（）

A.f(x)=-xC.f(x)=x2D.=私

【答案】D

【解析】对于A,T为R上的减函数，不合题意，舍.

对于B,〃力=0为R上的减函数，不合题意，舍.

对于C,/"）=/在（-8,0）为减函数，不合题意，舍.

对于D,7（力二也为R上的增函数，符合题意，

故选：D.

42]_

2、（2016全国山）已知a—23,Z?-45,c-253,贝ij

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

412111

【解析】因为a=23=16"b=^=\^,c=25"且恭函数y=/在R上单调递增，指数函数y=16*

在R二单调递增，所以bva<c,故选A.

1、若幕函数人幻二^/一小"+外凌/-.”在田，+8）上为增函数，则相的值为（）

A.1或3B.1

C.3D.2

【答案】B

【解析】由题意得评-4m+4=1,m2—6m+8>0,解得，〃=1.

2、若二次函数g(x)满足g(l)=l,g(—1)=5,且图象过原点，则g(x)的解析式为()

A.^(x)=2x2—3x

B.g(x)=3x2~2x

C.g(x)=3x2+2x

D.g(x)=~3x2—2x

【答案】B

【解析】二次函数g(x)满足g(l)=l,g(—1)=5,且图象过原点，

2

设二次函数为g(x)=ax+bxt

［〃+/>=1,

可得A<

6=5,

解得。=3,力=一2,

所求的二次函数为g(x)=3f-2x.

3、已知ac{—2,—l,—g,g,l,2,3},若第函数f(x)=/为奇函数，且在(0,+8)上递减，则。=

【答案】-1

【解析】由题意“幻为奇函数，所以a只能取t,1,3,又/(x)在(0,+8)上递减，所以a=_］

4、若二次函数¥=收一人+2在区间［1,2］上是单调递增函数，则实数攵的取值范围为()

A.［2,+8)B.(2,+8)

C.(一8,0)D.(一8,2)

【答案】A

9

【解析】二次函数y=〃V—4x+2的对称轴为x=］,当〃>0时，要使函数尸於2-4*+2在区间［1,2］上

A

2

是增函数，只需解得A22.

K

当*<0时，!<0,此时抛物线的对称轴在区间［1,2］的左侧，该函数y=4V-4x+2在区间［1,2］上是减函

数，不符合要求.综上可得实数在的取值范围是［2,+8)

p*

考向一幕函数的图像与性质

例1、(1)累函数>=/(%)的图像过点(4,2),则爆函数)，=/)的解析式为.

(2)图中曲线是基函数y=K在第一象限的图像.已知。取士2,弓四个值，则相应于曲线G，G，C3,C4

【答案】—4%+5(答案不唯一)

【解析】由二次函数的对称性、值域及单调性可得兀r)的解析式可以为«r)=(x—2)2+1,

此时危)图象的对称轴为x=2,开口向上，满足②，

二•对任意汨，&£(—8,0),且X1WX2,

都35)一15)VQ

X\—X2

等价于O)在(一8,0)上单调递减，

-W=(^-2)2+1满足③，

又40=。-2)2+121,满足①，

故兀0的解析式可以为於)=f—4x+5.

(2)已知二次函数人用满足犬2)=—1,人-1)=-1,且贝x)的最大值是8,则八/)=.

【答案】一4f+4x+7

【解析】法一(利用“一般式”)

设/U)=加+版+c(aW0).

4o+2b+c=—1,

a—b+c=—1,

由题意得，解得qb=4,

4i7(?—b2

4a=8,c=l.

，所求二次函数的解析式为<x)=—41+4x+7.

法二(利用“顶点式”)

设/(x)=a(x-〃?)2+〃(a#0).

vy(2)=y(-i),

，抛物线的对称轴为d+「=；

.1

••m=].

又根据题意，函数有最大值8,所以〃=8,

2

・"=©=&：-；)+8.

2

V/(2)=-l,..”(2—+8=—1,解得。=一4,

2

•'•Ax)=£)+8=_4.F+4X+7.

法三(利用“零点式”)

由已知H>)+1=0的两根为XI=2,X2=-1,

故可设凡6+1=4(x—2)(x+D3W0),

即/(%)=加_好_2。_1.

-一叫一0,»(~2a—1)—(—a)2

.又函数有最大侑8,即----------4----------=8.

解得a=-4或4=0(舍).

故所求函数的解析式为式幻=—4f+4x+7.

变式1、已知二次函数共制的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x£R,都有人2

一x)=7(2+x),则«r)=.

【答案】丁一4入+3

【解析】因为A2-x)=F(2+x)对x£R恒成立，

所以尸F(x)的图象关于x=2对称.

又y=f{x)的图象在x轴上截得的线段长为2,

22

所以f(x)=0的两根为2—5=1或2+^=3.

所以二次函数F(x)与x轴的两交点坐标为(1,0)和(3,0).

因此设f(x)=a(>—1)(x—3).

又点(4,3)在y=F(x)的图象上,

所以3a=3,则a=L

故f(x)=(x—1)(x—3)=/—4x4-3

变式2、(多选)如图是二次函数y=o?+瓜+c(oW0)图象的一部分，图象过点4一3,

0),充称轴为x=-1.给出下面四个结论正确的为()

A..b2>4acB.2a~b=\

C.a—P+C=0D.5aV。

【答案】AD

【解析】因为图象与x轴交于两点，所以护一4伙?>0,即〃>4ac,A正确.

对称轴为x=-1,即—/=-1，2a—b=0,B错误.

结合图象，当％=—1时，y>0,即。-6+。>0,C错误.

由对称轴为x=—1知，b=2a.

根据抛物线开口向下，知。<0,所以5〃V2a,即5〃Vb,D正确

方法总结：求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函

数解析式的形式，一般选择规律如下：

考向三一元二次函数的最值问题

例3、已知函数y=4f-12x+3.当x£R时，值域为；当x6［2,3］时，值域为；

当/£［-1,5］时，值域为.

2.若函数y=f—2K+3在区间［0,问上有最大值3,最小值2,求实数机的取值范围.

3.求函数yu)=f一%在区间［0,1］上的最小值.

【解析】；1.因为y=4/一11¥+3=4G-—6,所以

当x£R时，值域为［-6,+oo)；

当x£［2,3］时，*［2,31，根据函数图象知函数在区间［2,3］上单调递增，故当x=2时，丁取得最小值一5,

当x=3时，y取得最大值3,则值域为［-5,3］.

当日一1,5］时，|e［-i,5］,则当x岩时，y取得最小值一6,当尸5时，y取得最大值43,故值域为［一

6,43］.

2.作出函数y=f—2x+3的图象如图.

由图象可知，要使函数在［0,6］上取得最小值2,则1七［0,m］,从而他1,

当x=0时，y=3；当％=2时，y=3,

所以要使函数取得最大值为3,则,正2,

故所求小的取值范围为［I,2］.

3.fix)=x1—2ax=(x—a)2—a2,对称轴为x=a.

(1)当0Vo时，小：)在［0,1］上是增函数,

・7/Wmin=y(0)=0.

2

⑵当时，J(x)min=J(a)=—a.

(3)当。＞1时，段)在［0,1］上是减函数，

***7(-^)inin=fi1)=1-2m

0,a<0,

综上所述,Ax)mn--a*2,0<a<l,

I~2a,a>1.

变式1、求函数y=a?—2x+3(a£R)在区间［0,1］上的最大值.

【解析】当。=0时，y=-2r+3在区间［0,1］上单调递减，则y的值域为［1,3］;

若。>0,则当%I,即OvaWl时，函数在区间［0,1］上单调递减，则y的值域为［a+1,3J；

当。［当即心2时，函数在区间［。，上单调递减，在区间［5,1］上单调递增，则y的值域为

3——，a+1;

Lay

当聂<1,即l<a<2时，函数在区间［o,上单调递减,在区间七，1］上单调递增，则)，的值域为上一131;

若标0,则函数在区间［0,1］上单调递减，则y的值域为［a+1,3］.

综上，当a£(—8,2)时，y的最大值为3;

当。£［2,+8)时，),的最大值为。+1.

变式2、若函数y=f-2x+3在区间［0,阳］上有最大值3,最小值2,求实数机的取值范围.

【解析】由题意，得函数在区间(一8,I)上单调递减，在区间(1,十8)上单调递增.

令y=3,f—2x=0,解得x=0或x=2,

令y=2,x2—2x4-1=0,解得x=l.

因为函数在区间［0,〃"上有最大值3,最小值2.

所以实数m的取值范围是［1,2］.

2

1、已知y=/(x)是奇函数，当工20时，/*)=/,则/(一8)的值是.

【答案】-4

22

【解析】y=f(x)是奇函数，当xNO时，/(x)=x\i|iij/(-8)=-/(8)=-83=-4.

2、(2022・山东•烟台二中模拟预测)请写出一个定义在R上的函数，其图象关于)，轴对称，无最小值，且最

大值为2.其解析式可以为f(x)=.

【答案】一一+2或(_/+2,-IM+2等)(答案不唯一)

【解析】根据题中的条件可知函数是偶函数，最大值为2,所以/(刈=-/+2满足题中的条件，再如

/（X）=-X4+2,再如/（力=第+2等等（答案不唯一）.

故答案为：一一+2或（一/+2,-凶+2等）（答案不唯一）.

22

3、（2022.湖北省新高考联考协作体高三起点考试）若。=（21，b=J=,则小b,cf

。的大小关系是（）

A.a>b>c>dB.b>a>d>cC.b>a>c>dD.a>b>d>c

【答案】C

【解析】幕函数y=j在（0,故）上单调递增，又

3^2>2^2>f—~~:.b>a>c>d,故选：C.

4、（2022•江苏淮安市六校第一次联考）已知函数_/（x）是定义在R上的偶函数，当X20时，_/（X）=/一以，则

不等式“r+2）V5的解集为（）

A.（-3,7）B.（-4,5）C.（一7,3）D.（-2,6）

【答案】C

【解析】由题意可知，因为函数4》）为偶函数，所以川x+2|）=/U+2）,则不等式y（x+2）V5可化为犬k+2|）

<5,即|X+2|2—4|X+2|V5,可化为（|x+Z+1）（仅+2]—5）<0,

解得k+21V5,解得一7VxV3,故答案选C.

1_£

5、（2022•江苏镇江中学高三10月月考）满足（6+D3<（3一2"）的实数〃的取值范围是（）

人•停（IB.（fC.（*）0（f一1）《羽

【答案】D

【解析】事函数广■在（。收）为减函数,且函数值为正，在S,o）为减函数，且函数值为负,

3-2m>0m+\<03->0

（加+1）3V（3_2"）3等价于，《

/w+1>3-2m[m+l>3-2m/??+1<0

o3

解得<〃2〈一或加£。或加<一1,所以不等式的解集为（-00,-1）U

32HJ.

故选：D.

6、(多选)已知函数_/U)="—2or+"awR),给出下列命题，其中是真命题的是()

A.若〃一bWO,则段)在区间+8)上是增函数

B.存在〃£R,使得人幻为偶函数

C.若大0)二夫2),则《力的图象关于x=l对称

D.若合一万一2>0,则函数/?。)=逐力-2有2个零点

【答案】AB

【解析】对于选项A,若a'—bWO,则/'(*