2019年宁夏高职自主招生文科数学模拟试题(二)【含答案】

2019年宁夏高职自主招生文科数学模拟试题（二）【含答案】

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项（）是符合题目要求的.）

1.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,4},B={4,5},则（［UA）nB=（）

A.{5}B.{4}C.{1,2}D.{3,5}

2.在复平面内，复数z满足（3-4i）Z=5（i为虚数单位）,则z的虚部为（）

__51

A.-4B.4C.4D.5

&一一

3.在ZkABC中,sinA=5,AB«AC=6,则21ABC的面积为（）

12

A.3B.5C.6D.4

4.下列说法正确的是（）

A.在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等

B.为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行编

号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样

C.\=广是“X2-3X+2=（T的必要不充分条件

D.命题p:叼xO€R,使得x02-3x0+2<0的否定为:“XZx€R,均有x2-3x+2>（T

5.已知lal=hlbIM历，且Z1G-E）,则向量西向量E的夹角是（）

nnJin

A.4B.3c.2D.6

29

6.设Fl和F2为双曲线a-b=i（a>0,b>0）的两个焦点，若Fl,F2,P（0,2b）是

正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）

3,5.

A.2B.2C.2D.3

7.执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2,则输入的P值为（）

A.2B.3C.4D.5

rx-y-4<0

<x-3y>0

8.若实数x,y满足不等式组y>°，则x-2y的最大值为（）

A.IB.2C.0D.4

7T.

9.函数f（x）=sin（2x+4））（|（|><2|）的图象向左平移6个单位后关于原点对称，求函

数f（x）在［0,T］上的最小值为（）

返11VI

A.一2B.-2c.2D.2

10.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）

俯视图

（9+2兀）75（8+2河）6（6+九）«（8+兀）«

A.6B.6c.6D.6

25冗

口.点A,B,C,D在同一个球面上，AB=BC=V2,AC=2,若球的表面积为4,则四面

体ABCD体积最大值为（）

11_2

A.4B.2C.3D.2

f（'—■）1f（0）ff（-

12.已知函数f（x）=x2-cosx,则52的大小关系是（）

f（o）<f（4）<f（--^）f（o）<f（--i-Xf（4）f淄）<f（-±）Vf（o）

A.52B.25c・52

D.25

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知曲线Y=x2-alnx在点（1,1）处的切线方程为y=l,则a=.

14.已知长方形ABCD中，AB=4,BC=1,M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P,P

与M的距离小于1的概率为.

b_

15.在AABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,A=60°,7c2-7b2=5a2,则c的值为.

16.已知A（-3,0）,圆C:（x-a-l）2+（y-V^）2=l上存在点M,满足条件|MA|二2|MO|,

则实数a的取值范围为.

三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

二c

17.已知数列｛an｝前n项和为Sn,苜项为al,且彳'/，恸等差数列.

<I）求数列｛an）的通项公式；

(II)数列满足bn=(Iog2a2n+1)X(log2a2n+3),求证:

18.随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化.某机构随机调查了n个人，其中

21

男性占调查人数的后.已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有写的人的休闲

方式是运动.

（1）完成下列2X2列联表：

运动非运动总计

男性

女性

总计n

（2）若在犯错误的概率不超过0Q5的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被

调杳的人数至少有多少？

<3）根据（2）的结论，本次被谪查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？

2_n(ad-be)2

参考公式：K~(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.

P(K2^K0)0.0500.0100.001

KO3.8416.63510.828

19.如图，四棱锥P-ABCD,侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD

是/ABC=60号］菱形，M为PC的中点.

（1）求证：PC1AD;

（2）求点D到平面PAM的距离.

或y2

21

20.已知椭圆M：:a+3=i（a>o）的一个焦点为左右顶点分别为A,B.经

过点F的直线I与椭圆M交于C,D两点.

（I）求椭圆方程；

（II）当直线I的倾斜角为45。时,求线段CD的长;

（III）记4ABD与AABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S21的最大值.

73f（X）=lnx*x2-（a+l）x

21.已知函数2

2019年宁夏高职自主招生文科数学模拟试题（二）参考答案

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项（）是符合题目要求的.）

1.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,4},B={4,5},则（［UA）nB=（）

A.{5}B.{4}C.{1,2}D.{3,5}

【考点】交、并、补集的混合运算.

【分析】根据补集的定义求得［UA,再根据两个集合的交集的定义求得［UAnB.

【解答】解：•・•全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,4},B={4,5},

A［UA={3,5},

A［UAnB={5},

故选：A.

2.在复平面内，复数z满足（3-4i）z=5（I为虚数单位）,则z的虚部为（）

__5_4

A.-4B.4C.4D.5

【考点】复数代数形式的乘除运算.

【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出.

【解答】解：•・・（3-4。Z=5,

（3Mi）（3-4i）z=5（3+4i）,

/.25z=5（3+4i）,

3.4

化为z=5

1

Az的虚部为5.

故选：D.

工一一

3.在^ABC中，5inA=5,AB・AC=6,则4ABC的面积为（）

12

A.3B.5c.6D.4

【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】由题意结合数量积的运算和同角的平方关系可得I蒜I•沃|口0,而4ABC的面积

1,■・...

S=2|AB|.AC|・sinA,代入数据计尊可得.

【解答】解：由题意可得屈•记西|•菽|•cosA=6,

J,3.

又sinA=5,故可得COSA=5,

故|AB|.AC|=io,

工_一工&

故AABC的面积S=2|AB|.AC|.sinA=2Xi0X5=4.

故选D.

4.下列说法正确的是（）

A.在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等

B.为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行编

号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽洋方法为分层抽样

C.是〃X2-3X+2=O”的必要不充分条件

D.命题p：“mxO£R,使得x02-3x0+2<0的否定为：“VX€R,均有x2-3x+2三（T

【考点】命题的真假判断与应用.

【分析】A.根据频率分布直方图的性质进行判断，

B.根据系统抽样的定义进行判断，

C.根据充分条件和必要条件的定义进行判断，

D.根据含有量词的命题的否定进行判断.

一数

【解答】解：A.在频率分布直方图中，面积是频率，（每个小长方形的面积S*X^=组距

X组距趣率），中位数左右两边的频数是相等的，中位数是最中间的那个数，所以面积是相

等的，而众数左边和右边的直方图的面积相等不正确，故A错误，

B.为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行编

号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为系统抽样，故

B错误，

C.由X2-3x+2=0得x=l或x=2,贝旷x=l〃是，2-3x+2=（r的充分不必要条件，故C错误，

D.命题p：“mxOWR,使得x02-3x0+2<0的否定为："Vx€R,均有x2-3x+2》（T,故D

正确

故选：D

5.已知lal=hlb|=V2,且（a-b）,则向蚩蕃向量E的夹角是（）

.JT7T.

A.4B.3C.2D.6

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角.

【分析】由自二匕B且知彳・G-E）=Z-a-b=1_ix

x

V2cos<a,b>=0,由此能求出向量语向量盲］夹角.

【解答】解：

一/一—、一2—-•

.・.a・（a-b）=a-a*%,

•/|al=l,lb1=72^

—2l.o

/.a=|a|-1,

p,,x

a*b=Ia||blcos<a,b>=1xV2cos<a,b>=&Xcos<a,b>,

，l-V^Xcos<a,b>=o.

一一返

b>=2,

故选A.

Z£

22

6.设Fl和F2为双曲线a-b力(a>0,b>0)的两个焦点，若Fl,F2,P(0,2b)是

正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为()

A.2B.2C.2D.3

【考点】双曲线的简单性质.

2

2bT

【分析】c=tan60°=V3=>4b2=3c2=^4(c2-a2)=3c2=c2=4a2=a=4=e=2.

|P0|

【解答】解：如图，V|Fl0|=tan60%

2b

.-.T=V3,

.\4b2=3c2,

.*.4(c2-a2)=3c2,

/.c2=4a2,

2

c

~2

二.a=4,

.'.e=2.

故选B.

7.执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2,则输入的P值为（）

A.2B.3C.4D.5

【考点】循环结构.

【分希】根据谕入A的值，然后根据S进行判定是否满足条件SW2,若满足条件执行循环

体，依此类推，一旦不满足条件SW2,退出循环体，求出此时的P值即可.

13,

【解答】解：s=l,满足条件SW2,则P=2,S=l+5=^

满足条件SW2,则P=3,S=l+'2+'3=T

11

满足条件SW2,则P=4,S=l+5+5+W=H

不满足条件SW2,退出循环体，比时P=4

故选：C

\-y-4<0

,x-3y>0

8.若实数x,y满足不等式组7>0，则x-2y的最大值为（）

A.IB.2C.0D.4

【考点】简单线性规划.

【分宗】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可.

_l_x__z

【解答】解：由z=x-2y得y=5、~2,

作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分”

__z

平移直线冲万、5,

_1_z_1___z

由图象可知当直线彳，过点A时，直线彳的截距最小，此时Z最大，

/-y-4=0rx=4

由1尸。,得（尸°,即A（%o）

代入目标函数Z=x-2y,得z=4,

，目标困数Z=x-2y的最大值是4.

故选：D.

冗冗

9.内数f(x)=sin(2x+<t))(|4><^"|)的图象向左平移飞"个单位后关于原点对称，求函

数f”)在[0,"T]上的最小值为(〉

返11英

A.-2B.-2c.2D.2

【考点】函数y=Asin(3x+»的图象变换；三角函数的最值.

【分析】由条件根据函数户Asin(3X+4))的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得

冗n

3+4>=kn,k€z,由此根据仲|V2求得。的值.

九冗

【解答】解：函数f(x)=sin(2XH|))(|4>|<-T)的图象向左平移至个单位后，得到函数

兀7T

y=sin[2(x+6)+4>]=sin(2x+3停)的图象，

71

再根据所得图象关于原点对称，可得3+4>=kn,k€z,

nJr

.\4>=-3,f(x)=sin(2x-3),

TTTTH2—

由题意x€[o,2],得2x-30-3,3],

._返

.'.sin(2x-3)€[2,1]

nIT

二.函数y=5in(2x-3)在区间[0,2]的最小值为2.

故选：A.

10.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）

正视图侧视图

俯视图

（9+2九）病（8+2冗（6+九）畲（8+冗）如

A.6B.6c.6D.6

【考点】由三视图求面积、体积.

【分析】这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，从而求两个体积之和即可.

【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，

半个圆锥的体积为3x

四棱锥的体积为5X2X2X73=^73

（8+H）V3

故这个几何体的体积

故选D.

11.点A,B,C,D在同一个球面上，AB=BC=V2,AC=2,若球的表面积为4,则四面

体ABCD体积最大值为（）

112

A.4B.2C.3D.2

【考点】球的体积和表面积.

【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积.

【解答】解：根据题意知，^ABC是一个直角三角形，其面积为1.其所在球的小圆的圆心

在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q,

25兀

球的表面积为飞-,

2_25兀1

球的半径为r,r-4,r=W,

四面体ABCD的体积的最大值，底面积SAABC不变，高最大时体积最大，

就是D到底面ABC距离最大值时，

22

h=r+7r-1=2.

~--X-^-X<\/2V22

四面体ABCD体积的最大值为3xsAABCXh=32=3,

故选：c.

£（3）f（0）f（一1）

12.已知函数f（x）=X2-COSX,则‘5''彳的大小关系是（）

f（0）＜f（1-）＜f（-不f（0Xf（-^-Xf（4）f（-Xf（-^Xf（0）

A.52B.25c.52

f（--i-）＜f（o）＜f（4）

D.25

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【分析】求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行比校即可.

【解答】解：•.・函数f（x）K2-COSX为偶函数，

.'.f（-0.5）=f（0.5）,f（x）=2x+sinx,

冗冗

当（Xx＜2时，v（x）=2x+sinx＞0,...函数在（0,2）上递增，

：.f（0）＜f（0.5）＜f（0.6）,

即f（O）＜f（-0.5）＜f（0.6）,

故选：B

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知曲线y=x2-alnx在点＜1,1）处的切线方程为y=l,则a=2.

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得斜率为。，即可解得a=2.

a

【解答】解：y=x2-alnx的导数为/=2x-x,

可得在点（1,1）处的切线斜率为2-a,

由切线方程为y=l,可得2-a=0,

解得8=2.

故答案为：2.

14.已知长方形ABCD中，AB=4,BC=1,M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P,P

7T

与M的距离小于1的概率为V.

【考点】几何概型.

【分析】本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积.欲求荻到的点P到M的距

离大于1的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可.

【解答】解：根据几何概型得：

取到的点到M的距离小1的概率：

d圆的内部面积

p=5.矩形的面积

=4X1=8.

71

15.在^ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,A=60°,7c2-7b2=5a2,则C的值为

2

【考点】余弦定理；正弦定理.

,2,2_2

b+ca

【分析】由余弦定理可得：cos6(r=2bc，化为：bc=b2+c2-a2,与7c2-7b2=5a2

联立，消去a化简即可得出.

2,2.2

kb+ca

【解答】解：由余弦定理可得：8560。=2bc'化为：bc=b2+c2-a2,

又7c2-7b2=5a2,

.\7c2-7b2=5(b2+c2-bc),

化为：12b2-5bc-2c2=O,

b.2

解得。=3,

2

故答案为：

16.已知A(-3,0),0C:(x-a-1)2+(y-5/羯)2=1,上存在点M,涌足条件|MA|二2|MO|,

rl_Ai[-W

L2f2JUL2

则实数a的取值范围为

【考点】直线与圆的位置关系.

【分析】求出M在圆心为D(l,0),半径为2的圆上，根据点M在圆C上，可得圆C与

圆D有公共点，从而可得不等式，解不等式，即可求a的取值范围.

【解答】解：设M(X,丫)，

\'A(-3,0),OC:(x-a-1)2+(y-V3a)2=1上存在点M,满足条件|MA|=2|MO|,

2222即

.•.V(x+3)+y=2Vx+y,x2+y2-2x-3=O,

:京瓯2的圆上.

・••点M在圆心为D(l,0),半径为

又点M在圆C:(x-a-1)2+(y-V3a)2=1上,

・•・圆C与圆D有公共点，

•••He的圆心C(a+1,V3a),半径

，1W|CD|W3,

.'.1^Va2+3a2=2|a|^3,

解得一系,＜《或如㊀吗，

rl旦1r,l

・.・实数a的取值范围为、2'万」uI

故答案为：L2，2」(JL2，2」.

三、解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

1s

17.已知数列｛an｝前n项和为Sn,首项为al,且2'械等差数列.

(I)求数列｛an｝的通项公式：

”＜工

数列满足求证：

(II)bn=(log2a2n+l)X(log2a2n+3),［b2b3bn2.

【考点】数列与不等式的综合；等差数列的性质.

~97\~—

Oa-C-L—Q

【分析】(I)由题意可得"-n2,令n=l可求al,n"2时，2,

e=O_--1-

n-1-n-12,两式相减可得递推式，由递推式可判断该数列为等比数列，从而可得

an；

1

(II)表示出bn,进而可得bn,并拆项，利用裂项相消法可求和，由和可得结论；

【解答】解：(I)•・•，‘'ll成等差数列，.・.2%=Sn+万，

当旧时，2%衿+了,解得力勾

当众:2B寸，Sn=2an-^1=2^-1"T,

两式相减得:an=Sn-Sn-l=2an-2an-1,an-^,

1=^X2n-1=2n-2

所以数列｛an提首项为2,公比为2的等比数列，a％2

(II)bn=(Iog2a2n+1)X(log2a2n+3)

1o2n+l-21n2n+3-2

_log22xlog2?

=(2n-1)(2n+l),

b_(_2n___1)I_(_2n_+_l)2%-12n+l'

Inl■

紫（1一卷）+号一卷）+…+q11-9\）］

=23352n-12n+l

=22n+l；2.

18.随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化.某机构随机调查了n个人，其中

21

男性占调查人数的5.已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有3的人的休闲

方式是运动.

（1）完成下列2X2列联表：

运动非运动总计

男性

女性

总计n

<2）若在犯错误的概率不超过0Q5的前提下，可认为，性别与休闲方式有关”，那么本次被

调查的人数至少有多少？

（3）根据（2）的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？

2_n(ad-be)2

参考公式：K(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)f其中n=a+b+c+d.

P(K2^K0)0.0500.0100.001

KO3.8416.63510.828

【考点J独立性检蛤；独立性检蚣的基本思想.

2

【分析】（1）依据某机构随机调查了n个人，其中男性占调查人数的了.已知男性中有一半

的人的休闲方式是运动，而女性只有5的人的休闲方式是运动.即可完成表格；

n(ad-bc)2

v2=.__________________________

(2)将表格中的数据代入"(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),得到K2^K0=3.841,解出n即

可J

2_

(3)由(2)知，至，1为所求.

【解答】解：(D2X2列联表：

运动非运动总计

男性112

尹Tn铲

女性123

尹?n

总计23n

铲尹

<2)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，则K2孑

K0=3.841

Jv2_1v1、2

n—-

2n(ad-bc)223《2“3-_n_

由于K-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=TnXTnXTnXTn=茄，

n「7

故36”,，即B138.276,又由5，故n>140,

则若在犯错误的概率不超过。.。5的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调

查的至少有140人；

2_

(3)根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有亏*140二56人的休闲方式是运动.

19.如图，四棱锥P-ABCD,侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD

是NABC=60°的菱形，M为PC的中点.

(1)求证：PC1AD;

(2)求点D到平面PAM的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征.

【分析】(D取AD中点。，由题意可证AD1平面POC,可证PC1AD;

(2)点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，可证PO为三棱锥P-ACD的体高.设

点D到平面PAC的距离为h,由VD-PAC=VP-ACD可得h的方程，解方程可得.

【解答】解：(D取AD中点O,连结OP,OC,AC,依题意可知^PAD,ZkACD均为正三角

形，

/.OClAD,OP1AD,又OCCOP=O,OCU平面POC,OPU平面POC,

，AD1平面POC,又PCU平面POC,.'.PC1AD.

<2）点D到平面PAM的距离即点、D到平面PAC的距离，

由（1）可知PO1AD,又平面PAD1平面ABCD,

平面PADC平面ABCD=AD,POU平面PAD,

二.POl平面ABCD,即PO为三棱锥P-ACD的体高.

在RtAPOC中，P0=0C=V3,PC=V6,

LJPA2-PM2=—

在^PAC中，PA=AC=2,边pc上的高AM=V"2,

・•.△PAC的面积S~AC寺「Atx&X嘤弯，

设点D到平面PAC的距离为h,由VD-PAC=VP-ACD得3SapaC"h"3S^ACD叩°

又SAACD半X2?二"x年吆4乂«乂西

27152相

解得八一5，，点D到平面PAM的距离为5.

2

20.已知椭圆M::a+3=i（a>0）的一个焦点为F（-l,0）,左右顶点分别为A,B.经

过点F的直线I与椭圆M交于C,D两点.

（I）求椭圆方程；

（ID当直线।的倾斜角为45。时，求线段CD的长：

（III）记4ABD与^ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的最大值.

【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程.

【分析】（I）由焦点F坐标可求c值，根据a,b,c的平方关系可求得a值；

（II）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦

长公式即可求得|CD|;

（III）当直线।不存在斜率时可得，|S1-S2|=O;当直线I斜率存在（显然印0〉时，设直

线方程为尸k（x+1）（k£o）,与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示

xl+x2,xlx2,|S1-S2|可转化为关于xl,x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本

不等式即可求得其最大值；

【解答】解：（I）因为F（-1,0）为椭圆的焦点，所以81,又b2=3,

22

所以a2=4,所以椭圆方程为43=1；

(II)因为直线的倾斜角为45。，所以直线的斜率为1,

所以直线方程为y=x+i,和椭圆方程联立得到

I/?।

<才+1■=1

.y=x+1，消掉y,得到7x2+8x-8=0,

88

所以△=288,xl+x2=7,xlx2=-7,

所以|CD|=Vl+k2|xl-x21=V2XV(X1+X2^2"4X1X2=^

(HD当直线।无斜率时，直线方程为X=-l,

3.J.

此时D(-l,2),c(-1,-2),AABD,AABC面积相等,|Sl-S2|=0,

当直线I斜率存在(显然印0)时，设直线方程为y=k(x+1)(印o),

设C(xl,yl),D(x2,y2),

1"口

・431

和椭圆方程联立得到〔尸k(x+l)，消掉y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,

8k24k2-12

20

显然△>(),方程有根，且xl+x2=-3+4k,xlx2=3+4k,

lttM|Sl-S2|=2||yl|-|y2||=2|yl+y2|=2|k(x2+l)+k(xl+1)|

,,1212

121kl--------吆75

4Ik|3±

=2|k(x2+xl)+2k|=3+4k2="|kr<面*4旧=2V12=V3,(k=TB寸等号

成立)

所以Isi-S21的最大值为V3.

不贴f(x)二Inx*/一(a+l)x

21.已知函数2.

(1)若曲线y=f(X)在X。处的切线方程为y=-2,求f(X)的单调区间；

f(x)<f'(x)

(2)若x>0时，X2恒成立，求实数a的取值范围.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程.

fz(x)=(a+1)

【分析】(1)由已知得K，则f⑴=0,f(1)=-2,解得a.分别

解出f(x)>0,f(x)<0,即可得出单调区间.

f(x)(x)Inxa

X-(a+1)<4普-斗血_上〈平

(2)若x-_2-，得丁22x22,即x2x2

Inx_1

在区间(0,+B)上恒成立.设二~云，利用导数研究其单调性极值与最值即可

得出.

(x)=~^ax-(a+1)

【解答】解：⑴由已知得‘'x，则f⑴=0,

f(l)=lnl-Pz--(a+l)=--z--1y=-1

而22,.•.函数f(x)在x=l处的切线方程为2

一2-1二-2

则2，解得a=2,

f(x)=lnx+x2_3x,fz(X)=JL+2X_3

那么x,

F(x)=L2X_3XX

=22—3+1>00<x<l

由，得2或x>l,

(0,5)

因则f(x)的单调递增区间为2'与(1,+8)；

¥(x)二工**2乂-3<0=<x<l

由x，得2,

1)

因而f(X)的单调递减区间为,2'.

皿<1乎皿*X-(a+l)<；普-噜

(2)若x2,得x22x22,

Inx_1Va+1

即x2x2在区间(o,+~)上恒成立.

1-Inx1_3-21nx

3」h'(x)

、h(x)二222

设x2x,则x2x-2x,

由h*(x)>0,得°<x<一,因而h(x)在(0,e2)上单调递增,

由h'(x)<0,得x>/，因而h(x)在(e2，+8)上单调递遍.

_1

-La+1、2-

Ah(x)的最大值为h(小)=e、因而2

从而实数a的取值范围为匕Ia〉2已2-1).

选做

22.如