四川省德阳市金轮某中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷(含详解)

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四川省德阳市金轮第一中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试

题

本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，答题卡共6页.满分150分，考试时间

120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用05毫米黑色签字笔填写在答题卡上，并认真核

对条形码上的姓名、考号.

2.选择题使用25铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后

再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域

书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效.

3.考试结束后将答题卡收回.

第I卷（选择题，共36分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有

一项是符合要求的）

1.下列事件中，是必然事件的是（）

A.通常加热到100C时，水沸腾B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中

C.射击运动员射击一次，命中靶心D.掷一次骰子，向上一面的点数为6

2.在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是中心对称图形的是（）

3下列说法：

①等弧所对的圆心角相等；

②经过三点可以作一个圆；

③劣弧一定比优弧短；

④平分弦的直径垂直于这条弦;

⑤圆的内接平行四边形是矩形.

其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图，A、B是。。上的两点，NAO8=120。，C是45的中点，则四

边形O4CB是（)

A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形

5.如果将抛物线）=-/+以+1平移，使它与抛物线厂9+1重合.那么平移的方式可以是（）

A.向左平移2个单位，向上平移4个单位

B.向左平移2个单位，向下平移4个单位

C.向右平移2个单位，向上平移4个单位

D.向右平移2个单位，向下平移4个单位

6.新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平

均一个人传染了x个人，下列列式正确是（）

A.x+x（l+x）=121B.1+x+x2=121

C.（1+x）2=121D.x（l+x）=121

7.已知机是一元二次方程一一31一1=0的一个根，贝11一3利2+9〃2+2022的值为（）

A.2022B.2021C.2020D.2019

148

8.如图，两个反比例函数y=—和y=-在第一象限内的图象分别是G和C，，设点尸在G上，PAVx

XX

轴于点A,交。2于点8,则△PO8的面积为（）

C.3D.4

9.小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面.已知扇形的半径为5cm,弧长是8乃cm,那么这个圆锥的

高是（

B.6cmC.3cmD.4cm

10.如图，在AABC中，NACB=90°,AC=6,8c=8,将AABC绕点8顺时针旋转60°得到

△BDE，连接OC交A8于点凡则AACF与△血厅的周长之和为（）

A.16B.24C.32D.40

11.从地面竖直向上抛出一小球，小球高度力（单位：m）与小球运动时间1（单位：s）之间的函数关系

路程是40m；

②小球运动的时间为6s；

③小球抛出3秒时，速度为0：

④当r=1.5s时，小球的高度30m.

其中正确的是（）

A.②③B.②③④C.①②④D.①③④

12.如图，在矩形ABCD中，A£>=8,E是边A8上一点，且6AE=AB.已知。。经过点E,与边C。

所在直线相切于点G（NGEB为锐角），与边A8所在直线交于另一点F,且印=4）,当边AQ或BC

所在的直线与O。相切时，AB的长是（

C.5或四D.6或把

A.5或9B.6或9

55

第n卷(非选择题，共64分)

二、填空题：

13.等边三角形的外接圆与内切圆的半径之比是.

14.有甲、乙两把不同的锁和A、8、C三把不同的钥匙.其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙

不能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开甲锁，恰好能打开的概率是.

15.(一2,芳)、(—1,%)、(1,%)都在双曲线丫=一1?11上，把V、4、为按从小到大顺序排列

16.如图，的直径AB=8,AM,BN是它的两条切线，OE与。。相切于点E,并与AM,BN分别相

交于£>,C两点，BE,0C相交于点凡若CE>=1(),则8F的长是.

17.和谐号动车刹车后作匀减速运动，速度v(km/min)与刹车

BC

时间f(min)与之间满足关系式丫=-jf+5.匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度万与路程s、

时间，的关系为：s=B动车要准确停站，应在距离站台停止线千米开始刹车.18.AABC中，

ZACB=90°，ZB=30°,AC=4,E是AC中点，MN分别是边AB、BC上的动点，力也是BC边上

的一个动点，以CQ为直径作。0,连接EO交。。于凡连接尸M,MN,则RM+MN的最小值为

三、解答题:

19.(1)解方程：x2-6x+9=(5-2x)2

(2)已知AABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，把AABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到

△AgG.

20.把一副扑克牌中的13张红心牌洗匀后背面朝上放在桌子上，其中只有“人Q、K”三张上带人像.

(1)从中随机抽1张，牌面带人像的概率是.

(2)把“2、4、6”洗匀，放一堆；把“3、5、7”洗匀，另放一堆.分别从两堆中各抽出一张，抽出的

牌面数字恰好是连续数字的概率是多少？

21.若关于x的一元二次方程(m-1)/+2犬+1=0有两个不等实数根,

(1)求机的取值范围.

(2)若抗取最大整数，把+2X+1分别化成＞和y=a(x-〃)2+k的形

式.

22.如图，平面直角坐标系中，双曲线丁=芯与直线丁=区+1相交于点4一1‘幻、

(1)求胆、k的值；

(2)求AAOB的面积：

(3)把直线丁=履+1向上平移”个单位长度，平移后直线交y轴于P,交x轴于。，与第二、四象限双

曲线交于点C、D,若CP=PQ=DQ,求平移后直线解析式.

23.成绵苍巴高速正在修建中，某单向通行隧道设计图由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示，隧洞

限高4米，隧洞道路正中间标有一条实线.

匚工二二工

6

if（1）水平安置一根限高杆，两端固定在洞门上，求限高杆的最小长度.

8m*

（2）某卡车若装载一集装箱箱宽3m,车与车箱共高3.8m,此车能否不跨越标线通过隧道（标线宽度不

计）？说明理由.

24.已知/为三角形ABC的内心，连接4/交三角形48c的外接圆于点。，如图所示，连接8。和CD.

(1)求证：BD=CD=ID.(2)ZR4c=60。，AB=4,

AC=5,求AD.

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积.

25.已知抛物线＞=。*-3）2+7过点。（0,4）.顶点为M,与x轴交于A、B两点.如图所示以A8为直

径作圆，记作

（3）抛物线对称轴上是否存在点P,若将线段CP绕点「顺时针旋转90°,使C点的对应点C’恰好落在

抛物线上？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.

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四川省德阳市金轮第一中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试

题

本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，答题卡共6页.满分150分，考试时间

120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用05毫米黑色签字笔填写在答题卡上，并认真核

对条形码上的姓名、考号.

2.选择题使用25铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后

再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域

书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效.

3.考试结束后将答题卡收回.

第I卷（选择题，共36分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有

一项是符合要求的）

1.下列事件中，是必然事件的是（）

A.通常加热到100C时，水沸腾B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中

C.射击运动员射击一次，命中靶心D.掷一次骰子，向上一面的点数为6

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案.

【详解】解：A、通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件，符合题意；

8、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不合题意；

C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不合题意；

£＞、掷一次骰子，向上一面的点数为6,是随机事件，不合题意；

故选：A.

【点睛】此题主要考查了随机事件以及必然事件的定义，正确掌握相关定义是解题关键.

2.在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是中心对称图形的是（）A.

【答案】B

【解析】

【分析】根据中心对称图形的概念解答即可.

【详解】A、不是中心对称图形.故错误；

B＞是中心对称图形.故正确；

C、不是中心对称图形.故错误；

D、不是中心对称图形.故错误.

故选B.

【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重

合.

3.下列说法：

①等弧所对的圆心角相等；

②经过三点可以作一个圆；

③劣弧一定比优弧短；

④平分弦的直径垂直于这条弦；

⑤圆的内接平行四边形是矩形.

其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】解：①等弧所对圆心角相等，正确，符合题意；

②经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故原说法错误，不符合题意；

③同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短，故原说法错误，不符合题意；

④平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原说法错误，不符合题意；

⑤圆内接四边形对角互补，平行四边形对角相等，所以圆的内接平行四边形是矩形，正确，符合题意，

正确的有2个，

故选：B.【点睛】本题考查了圆周角定理、确定圆的条件、垂径定理及圆内接四边形的性质等知识，熟练

利用相关知识是解题关键.

4.如图，A、B是。。上的两点，ZAOB=nO°,C是AB的中点，则四边形0AC8是（）

C.菱形D.正方形

【答案】C

【解析】

【分析】连接0C,如图，利用圆心角、弧的关系得到NAOC=/2OC=gNAOB=60。，可判断△OAC和

△OCB都是等边三角形，所以OA=AC=OB=BC,于是可判断四边形OACB为菱形.

【详解】解：连接。C,如图,

是的中点,

ZAOC=ZBOC=gN408=gxl20°=60°,

；OA=OC,OC=OB,

...△OAC和△0C2都是等边三角形,

OA=AC=OB=BC,

.•.四边形。4cB为菱形.

故选：C.

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一

组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.也考查了菱形的判定.

5.如果将抛物线产-x2+4x+1平移，使它与抛物线）=/+］重合.那么平移的方式可以是（）

A向左平移2个单位，向上平移4个单位

B.向左平移2个单位，向下平移4个单位C.向右平移2个单位，向上平移4个单位

D.向右平移2个单位，向下平移4个单位

【答案】C

【解析】

【分析】先将抛物线产-N+4X+1化为顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“左加乂减，上加下减”解答

即可.

【详解】解：抛物线)=-N+4X+1=(X+2)2—3,

,/抛物线y=-x2+4x+l平移后与抛物线y=x2+l重合，

.••平移的方式是向右平移2个单位，向上平移4个单位，

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解答的关键.

6.新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平

均一个人传染了x个人，下列列式正确是()

A.x+x(l+x)=121B.1+X+X2=121

C.(1+x)2=121D.x(l+x)=121

【答案】C

【解析】

【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列出一元二次方程即可求解.

【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得，

(1+X)2=121.

故选C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键.

7.已知〃?是一元二次方程/一31—1=0的一个根，贝［1一3租2+9〃7+2022的值为()

A.2022B.2021C.2020D.2019

【答案】D

【解析】

【分析】根据一元二次方程根的定义，可得加2-3〃2=1，整体代入代数式即可求解.

【详解】解：是一元二次方程》2—3x—1=0的一个根，3/〃=1，

-3m2+9m+2022=-3(m2-3m)+2022

=-3+2022=2019.

故选D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，整体代入是解题的关键.

148

8.如图，两个反比例函数丁=—和y=-在第一象限内的图象分别是G和。2,设点P在上，PA^x

xx

【解析】

女I1

【分析】根据反比例函数y=—（原0）系数左的几何意义得到5“祇=一乂14=7,S«BOA=-X8=4,然

x22

后利用S“OB=S“04-18fM进行计算即可•

【详解】解：轴于点A,交G于点3，

Ic1

••S-POA—5X14=7,S^BOA--x8=4,

,•SAPOB=7-4=3.

故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数y=K（原0）系数上的几何意义：从反比例函数y=&（原0）图象上任

xx

意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|林

9.小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面.已知扇形的半径为5cm,弧长是8万cm,那么这个圆锥的

【答案】C

【解析】

【分析】结合圆锥的性质和勾股定理即可计算出圆锥的高.

【详解】设圆锥底面半径为叱〃?，由题可知圆锥底面周长为8cm,即2m*=8刖，解得r=4cm,圆锥的

母线长/=5cm，由勾股定理得〃=J/_/=3cw.

故选C.

【点睛】本题主要考查圆锥的性质和勾股定理.

10.如图，在△A8C中，NACB=90°,AC=6,BC=8,将AABC绕点B顺时针旋转60°得到

△BDE,连接。C交A8于点F,则AAC/与ABDE的周长之和为（）

A.16B.24C.32D.40

【答案】C

【解析】

【分析】根据将△48C绕点8顺时针旋转60。，得到ABDE,可得△ABCg^EBD,NCBD=60。，BD=

BC=8,从而得到△BCQ为等边三角形，得到C£»=BC=C£>=8,在RoACB中，利用勾股定理得到A8

=10,所以△ACF与△8OF的周长之和=AC+AF+CF+8F+OF+8D=AC+A8+C£>+8£>,即可解答.

【详解】解：；将AABC绕点8顺时针旋转60。，得到△BDE,

:.△ABgAEBD,ZCBD=60°,

，BQ=BC=8,

...△BCD为等边三角形，

：.CD=BC=CD=8,

•：AB=7AC2+BC2=762+82=1°，•,•△ACF与△BOF的周长之和MAC+AF+CF+BF+OF+BZ）：

AC+A8+CO+B£）=6+10+8+8=32,

故选：C.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，解决本题的关键是由旋转得到相等的边.

11.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度人（单位：m）与小球运动时间f（单位：s）之间的函数关系

如图所示.下列结论：

③小球抛出3秒时，速度为0：

④当f=1.5s时，小球的高度/z=30m.

其中正确的是（）

A.②③B.②③④C.①②④D.①③④

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次函数图像依次判断各选项即可，由最高点可知路程为40x2=80m,根据抛物线与x轴的

交点可知运动时间为6s,根据函数图象可知，小球抛出3秒时，速度为0,将f=L5s代入解析式即可求解.

【详解】解：①由图象知小球在空中经过的路程是40x2=80m；故①错误；

②当仁6时，高度为0,则运动时间是6s,故②正确；

③小球抛出3秒时达到最高点即速度0,故③正确；

④设函数解析式为：h=a（r-3）2+40,

把。点（0,0）代入得0=“（0—3）2+40,

40

解得：a=----

9

40->40?

...〃=—亍(，—3)一+40,当/=1.5时，h=---(1.5-3)~+40,

解得：〃=30米，故④正确；

故选B.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意，求出二次函数解析式.

12.如图，在矩形ABC。中，AO=8,E是边AB上一点，且6AE=A6.已知0。经过点E,与边CD

所在直线相切于点G（NGEB为锐角），与边48所在直线交于另一点况且防=4）,当边4。或BC

所在的直线与相切时，AB的长是（）

D

54

A.5或9B.6或9C.5或一

5

【答案】D

【解析】

【分析】边BC所在的直线与。。相切时，过点G作GNL4B,垂足为N,可得EN=NF,由石尸=4),

依据勾股定理求出半径r,根据AE=计算即可；当边4。所在的直线与。。相切时，同理可求.

6

【详解】解：边8c所在的直线与。。相切时,

切点为K,连接0K,过点G作GNLAB,垂足为N,

：.EN=NF,

又'：EF=AD，

:.：.EN=FN=4

设。。的半径为r,由0E2=EM+0M,

得：t2—16+(8-r)2,

r—5,

・・・0K=NB=5,

工EB=9,

又AE=1A8,即=

66

当边AO所在的直线与。。相切时.，切点为从连接。"，过点G作GNLA8,垂足为N,

同理，可得0”=AN=5,

：.AE=\,

又

6

：.AB=6,

故选：C.

【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利

用勾股定理求出对应圆的半径.

第n卷（非选择题，共64分）

二、填空题：

13.等边三角形的外接圆与内切圆的半径之比是.

【答案】2:1

【解析】

【分析】作出辅助线。。、0E,证明△AOQ为直角三角形且为30。，即可求出。。、OA的比.

【详解】解:如图，连接O。、OE；

A

EO=DO,

所以△AEO丝△AOO(HL),

故NDAO=NEAO；

又：△ABC为等边三角形，

ZBAC=60°,

：.ZOAC=60°x^=30°,

：.OD:AO=\:2.

等边三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比是：2:1.

故答案为：2:1.

【点睛】此题主要考查了三角形的内心与外心，找到直角三角形，将三角形内切圆和三角形外接圆联系起

来是解题的关键.

14.有甲、乙两把不同的锁和A、B、C三把不同的钥匙.其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙

不能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开甲锁，恰好能打开的概率是.

【答案】:

3

【解析】

【分析】根据题意可知，三把钥匙中只有一把可以打开甲锁，算出概率即可.

【详解】根据题意得：

随机拿出一把钥匙的情况一共有：A、B、C,三种，

YA、B、C中只有一把钥匙可以打开甲锁，

:.P=一,

3

故答案为：一.

3

【点睛】本题主要考查了概率的求法，在解题过程中注意排除干扰，已经确定了锁为甲，则不需要再去对

锁进行选择；找出选择钥匙的所有可能是解题的关键.

15.(—2,y)、(T%)、0,%)都在双曲线丫=31一上'把/、%、为按从小到大的顺序排列

【答案】

【解析】【分析】利用配方法和非负数的性质可判断一1々1一1<0,易得为<°，x>°，%>o,然后根据

反比例函数的性质可判断从而得到%、为、%的大小关系.

【详解】解：-Ri-i<0,

22)、(—1,%)、(1,%)在反比例函数丫=二片」的图象上，

故答案为为

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数产&a为常数，片0)的图象是双曲

x

线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值鼠即孙=&.

16.如图，。。的直径A8=8,AM,BN是它的两条切线，DE与。。相切于点£,并与AM,8N分别相

交于D,C两点，BE,OC相交于点F,若CD=10,则8F的长是

【解析】

【分析】如图，过点短作。G_LBC于点G,根据勾股定理求得CG,根据切线长定理求得BG,进而求

得BC,勾股定理求得OC,等面积法求得,即可求解.

【详解】如图，过点。作。G_L3C于点G,

•.•ADDC,8c是。。的切线，

：.DA=DE,CE=CB,/ECO=ZBCO,

:.CO±BF,

：.AD+BC=CE+£>E=10,

AB±AC,ABIBC,DG1BC,

四边形ASG。是矩形，

..DG=AB=8,AD=BG,

RtADGC中,GC=NDC?-DG。=6,

AD=8G=g(20—CO-CG)=g(20—16)=2,

;.BC=BG+GC=2+6=8,

RSBOC中，QC=y]OB2+BC2=742+82=4石，

­.-BOBC^-BFOC,

22

cBOBC4x8875

••Hr=---------=—f==------，

OC4石5

故答案为：延.

5

【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，掌握切线长定理是解题的关键.

17.和谐号动车刹车后作匀减速运动，速度v(km/min)与刹车时间f(min)与之间满足关系式

v=--t+5.匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度万与路程s、时间f的关系为：s=行动车要准

4

确停站，应在距离站台停止线千米开始刹车,【答案】10

【解析】

【分析】根据题意求得刹车时的速度，以及刹车到停止的时间间隔，再求得平均速度，代入函数关系式即

可求解.

【详解】解：•••速度y(km/min)与刹车时间r(min)与之间满足关系式丫=-£+5,均速度0与路程s、

时间力的关系为：s=W

.*.0=--r+5,

4

解得f=4

当v=5时，f=0

当f=0时，u=5,当/=4时u=0

.•.5=空、4=10故答案为：10

2

【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解题意求得平均速度是解题的关键.

18.AABC中，NAC8=90°,ZB=30°,AC=4,E是AC的中点，MN分别是边AB、8C上的动

点，。也是BC边上的一个动点，以CO为直径作G)O,连接交。。于尸，连接FM,MN,则

EM+MN的最小值为.

【解析】

【分析】连接CF,由CD是。。的直径可知NC/£>=90°,从而得出△CEF是直角三角形，再取CE的中

点G,可知EGnLcEnJACnl,故尸点在以G为圆心的单位圆上，作出这个单位圆.将AABC沿

24

AB向下翻折得到△A8C',并取N点对称点N1连接MV,显然要求尸M+MN的最小值就是

求尸M+MN的最小值.过点G作GNUBC于V,交。G于F,交AB于M,根据垂线段最短可知此时

FM+MN取最小值，延长线段MG,BA交于点P,利用含30°角的直角三角形的性质可以求出/M+MN取

最小值.

【详解】如图，连接CF,取CE的中点G,连接FG,将将△ABC沿A8向下翻折得到△ABC,并取N点

对称点H,连接MM,则MN=MM,ZCBC'=2ZABC=60°.

•.,CD是。。的直径，

ZCFD=90°,

NCEE=90°,

...△CEF是直角三角形，

FG^-CE.

2

又：AC=4,E是AC的中点,

C£=-AC=2,

2

FG=-CE=\,

2

，尸点在以G为圆心的单位圆上.

如下图，以G为圆心画出这个单位圆.

「GF为定值，要求FM+MN的最小值可先求GF+PM+MN的最小值，即GF+FM+MM的最小值.

交0G于F,交A3于M,延

长线段N，G,BA交于点尸.（将原图剩余线段与圆补齐）

P、、

VZCBC'=60°,

N'

/.ZP=30°.

又•:CG=FG=>CE=T,

2

；.PG=2,PC=6

在△ABC中，ZACB=90°,NB=30。,AC=4,

BC—4>/3，

：.PB=BC+PC=5y/3■

在△尸BN'中，NPN'B=90。,ZPBN'=ZCBC'=60°,尸2=56，

15

:.PN'=—,

2

GF+FM+MM的最小值也就是G到BC的距离GN'=PN'-PG=—，

2

9

.•.FM+MV的最小值=GN'-GF=~,

2

9

即FM+MN的最小值是二.

2

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，垂线

段最短.能推出尸在以G为圆心的单位圆上和灵活运用垂线段最短是解题的关键.

三、解答题：19.（1）解方程：》2_6x+9=（5—2x）2

（2）己知AABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，把AABC绕点A按逆时针方向旋转90。后得到

△ABG.

①画出

②求AABC旋转中扫过的面的面积.

Q

【答案】（1）%=2,々=§；（2）①画图见解析；②2+5万

【解析】

【分析】（1）利用因式分解法解方程即可:

（2）①根据题意画出对应的旋转图形即可；②AABC扫过的面积即为扇形CCJ和的面积之

和，据此求解即可.

【详解】解：（1）;f—6x+9=（5—2x）2,

.,.(x-3)2=(5-2x)\

.••(X-3)2-(5-2x)2=0,

(x—3+5—2x)(x-3-5+2x)=0,

Q

解得%,；

=2,x2=-

（2）①如图所示，4G即为所求;

②如图所示，aABC扫过的面积即为扇形CGA和的面积之和,

由题意得AC="2+2?=2后，

.i90x乃x(26『

•.S扫过的面积=5、2X2+———=2+51；

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，勾股定理，坐标与图形，画旋

转图形，求图形扫过的面积，熟知相关知识，利用数形结合的思想求解是解题的关键.

20.把一副扑克牌中的13张红心牌洗匀后背面朝上放在桌子上，其中只有“人Q、K”三张上带人像.

(1)从中随机抽1张，牌面带人像的概率是.

(2)把“2、4、6”洗匀，放一堆：把“3、5、7”洗匀，另放一堆.分别从两堆中各抽出一张，抽出的

牌面数字恰好是连续数字的概率是多少？

【答案】(1)43

13

⑵-

9

【解析】

【分析】(1)直接根据概率公式计算即可；

(2)利用列表法得出所有可能的结果，然后得出满足条件的结果，即可得出相应概率.

【小问1详解】解：根据题意，共有13张牌，有人像的3张，

3

(牌面带人像的概率)=一；

13

【小问2详解】

列表如下：

246

3(3,2)(3,4)(3,6)

5(5,2)(5,4)(5,6)

7(7,2)(7,4)(7,6)

共有9种等可能结果，其中满足出的牌面数字恰好是连续数字的有(3,2),(3,4),(5,4),(5,6),

(7,6),5种结果，

(牌面数字恰好是连续数字)=焉.

【点睛】题目主要考查简单的概率公式及利用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法求概

率是解题关键.

21.若关于x的一元二次方程(〃?-1)/+2》+1=0有两个不等实数根，

(1)求，〃的取值范围.

⑵若，〃取最大整数，把)，=(利-1)/+2》+1分别化成y=a(x—玉)(1-£)和y=a(x—〃)2+k的形

式.

【答案】(1)〃z<2且加

(2)y=-卜-1-夜+，y=-(x-l1+2

【解析】

【分析】(1)根据一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据题意令△>(),即可求解;

(2)根据(1)中加的最大值，求得一元二次方程的解，进而化为y=a(x-x,)(x-w)和

y=a(x-h)2+k的形式.

【小问1详解】

解：•.•一元二次方程(m-I)f+2x+l=0有两个不等实数根，

A=4-4(,加―1)>0,且mHI解得"z<2且〃2Hl

小问2详解】

解：:桃<2,且加。1

・・・加的最大整数为0,

y=-x2+2x+1

令y=°,即一/+2%+1=0,

解得用=1+及,W=1_J5

y-—(x-l-1+V2jy=—x2+2x+1=-(x-1]+2即y——(x—+2

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，配方法解一元二次方程，掌握以

上知识是解题的关键.

m(3

22.如图，平面直角坐标系中，双曲线)，=一与直线丁=依+1相交于点A(-l,a)、B\-,k

x\2

值;

(2)求AAQB的面积;

(3)把直线丁=依+1向上平移〃个单位长度，平移后直线交)，轴于P,交x轴于Q,与第二、四象限双

曲线交于点C、D,若CP=PQ=DQ,求平移后直线解析式.

【答案】(1)k=—2,m——3

(3)y=-2x+V3

【解析】【分析】(1)根据题意将点B的坐标代入丁=代+1,求得A的值，进而将点8的坐标代入y=一

即可求得〃?的值；

(2)设直线y=-2x+l与y轴交于点E，连接OAOB,根据直线解析式求得E的坐标，根据

一即可求解；

(3)根据题意作出图形，根据平移可得y=—2x+l+“，根据CP=PQ=DQ,求得点。的坐标，进而

代入反比例函数解析式即可求解.

【小问1详解】

解：将点B的坐标代入丁=依+1,得

-k+l^k,

2

解得：%=—2,

••・直线解析式为y=-2x+i,呜，-2),

将点呜,臼代入y=g

3

•.m=-3.••反比例函数的解析式为y=--,

【小问2详解】

3

・・・点A(T,Q)在y=一二上,

-a=—3解得。=3

・•.A(-l,3)设直线y=—2x+l与y轴交于点后，连接0AoB,如图,

;由y=-2x+l,令X=(),得y=l

则E（O,1）

II35

•'-^AOB=2^-I^-XBI=2X1X2+1=4【小问3详解】

・•・把直线y=区+1向上平移〃个单位长度，得到y=—2x+1+〃，

1+〃

令x=0,得丁=〃+1,令y=0,得*=----,

2

•.•平移后直线交），轴于P,交x轴于。，第二、四象限双曲线交于点C、D,

：.尸（0,〃+1）,。（号,0）,

:.QN=OQ,OP=ND,

同理可得AOP。gAMPC,

1l+〃

•••%一%=_%=〃+l，-Xc=XD-XQ=—^9

}

=2（〃+l）,%=一（"+1）,xc=--^-,尤0=1+〃，

3

将点。（z1+〃，一1一〃）代入），=一二，

X

即（1+〃）2=3,

解得"=6-1或一百—1（舍去），.<.y=-2x+l+V3-l=-2x+V3,

即平移后的直线解析式为y=-2x+43-

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，全等三角形的性质与判定，一次函数的平移问题，

掌握一次函数与反比例函数图象的性质是解题的关键.

23.成绵苍巴高速正在修建中，某单向通行隧道设计图由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示，隧洞

限高4米，隧洞道路正中间标有一条实线.

.与

卜存三工兀今。^S

1（1）水平安置一根限高杆，两端固定在洞门上，求限高杆的最小长度.

（2）某卡车若装载一集装箱箱宽3m,车与车箱共高3.8m,此车能否不跨越标线通过隧道（标线宽度不

计）？说明理由.

【答案】（1）4五米

（2）能不跨越标线通过隧道

【解析】

【分析】（1）根据题意建立直角坐标系，得出4-4,-4）,8（4,-4）,设抛物线的解析式为y=«%2,然后将点

代入得出y=-'x2,再由题意得当产-2时满足条件，求解即可；

4

（2）根据题意结合（1）中函数解析式求当43时，y的值，然后结合图形即可得出结果

【小问1详解】

解：如图所示建立直角坐标系，根据题意得:

AD=EF=BC=2,0F=6,

.•.A(-4,-4),8(4,-4),

设抛物线的解析式为>=依2,

将点A代入得：-4=16«,

解得：“=—L

4

1

・・・抛物线的解析式为y=--%29,

4

•••隧洞限高4米，隧洞道路正中间标有一条实线,

.•.当）=一2时满足条件，

1

即一2=—x9，

4

解得：X=±2y[2-

，限高杆的最小长度为4加米；

【小问2详解】

•••集装箱箱宽3〃?，且不跨越标线通过隧道，

当x=3时,

9

y=--=-2.25,

4

V2.25+2>3.8,

；•能不跨越标线通过隧道.

【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，建立恰当的直角坐标系确定函数解析式是解题关键.

24.己知/为三角形ABC的内心，连接A/交三角形A8C的外接圆于点。，如图所示，连接8。和CD.

(1)求证：BD=CD=ID.

(2)ZE4c=60°,AB=4,AC=5,求AD.

(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积.【答案】（1）见解析⑵3百

(3)

【解析】

【分析】（1）连接3/,根据/为三角形ABC的内心，可得N54O=NZMC,ZABI=/CBI,进而可

得BD=DC,进而证明=可得BD=ID，即可得证；

（2）过点8作于”，过点。作DGLBC于点G,解Rtz^AB”，勾股定理求得8C,进而

求得30,过点/，作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为M,K,N,根据等面积法求得进而求得

A1'根据4+即可求解;

（3）设。为三角形ABC的外接圆的圆心，连接O&OC,由（2）的条件求得圆的半径为J7,根据

S阴影部分=S扇形OBC一S四边形0B0C即可求解.

【小问1详解】

证明：如图，连接5/，

:/为三角形ABC的内心,

■.ABAD=ADAC,ZABI=NCBI,

：.BD=CD，

BD=DC>

•/ABID=ZABI+ABAD-A1BD=ZCBI+ZDBC，

ZCAD=ABAD=ZDBC,

:.ZDBI=/BID，

:.BD=DI，

BD=CD=ID；

【小问2详解】

如图，过点8作B〃_LAC于H,过点。作。G_L3C于点G,

•••ZR4C=60°,AB=4,4c=5，则NAB"=3