专题02 数与式的相关计算（解析版）

专题02数与式的相关计算目录热点题型归纳 1题型01实数的运算 1题型02代数式求值 3题型03整式的混合运算 5题型04分式的混合运算 7题型05二次根式的混合运算 9题型06化简求值 11题型07非负数 13中考练场 15题型01实数的运算【解题策略】（1）绝对值化简：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数：（2）根式化简：；（3）指数化简：不会改变原数的正负性；（4）特殊的三角函数值要记牢。实数的运算：实数的运算加法同号两数相加，取原来的符号。并把它们的绝对值相加。异号两数相加，取绝对储较大的加数的符号，并用较大数的绝对值减失较小数的绝对值。减法减去一个效等于加上这个数的相反数乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相乘几个非零实数相乘。积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负n个数相乘，有一个因数为0，积为0.除法两数相除，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相除0除以任何一个不等于0的数都得0乘方几个相同因数的积的运算，叫做乘方，记作an（a≠0，n为正整数）开方与乘方互为逆运算运算顺序分级：加减是一级运算。除是二级运算，乘方和开方是三级运算，三级运算的题序是三二一、（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）【典例分析】例1．（2023·北京）计算：4sin 60【答案】解：原式=4×32+3+2−23

【解析】本题考查的是实数的运算，熟记特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质是解题的关键．

根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质计算．例2．（2023·湖南）计算：8−2sin30°−|1−【答案】解：原式=22−2×12−(【解析】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握二次根式和绝对值的性质、熟记特殊锐角三角函数值、负整数指数幂与零指数幂的规定．先化简二次根式、代入三角函数值、去绝对值符号、计算负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得．【变式演练】1.（2024·陕西模拟）计算：|−23【答案】解：|−23|+(4−π)0−12【解析】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则，算术平方根的计算，数的乘方法则及绝对值的性质是解答此题的关键．

分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、算术平方根、数的乘方法则及绝对值的性质计算出各数，再进行加减计算即可．2.（2024·湖南模拟）计算：3【答案】解：原式==1+4+=【解析】此题考查了特殊角的三角函数值和实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入式子，然后按照实数的运算法则进行计算即可．题型02代数式求值【解题策略】代数式的概念及求值1．代数式的概念用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数与字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式．2．代数式的值用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值。求代数式的值分两步；第一步，代数；第二步，计算。要充分利用“整体”思想求代数式的值.【典例分析】例1．（2024·内蒙古模拟）先化简，再求值：a(a−2b)−(a+b)(a−b)，其中a=12，b=−1．【答案】解：a(a−2b)−(a+b)(a−b)

=a2−2ab−a2+b2

=−2ab+b2，

【解析】根据单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．

本题考查整式的混合运算−化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的计算方法．例2．（2024·安徽模拟）已知：x2=y3=z4【答案】解：设x2=y3=z4=k，

则x=2k，y=3k，z=4k，

∵2x−3y+4z=22，

∴4k−9k+16k=22【解析】本题考查了比例的性质和代数式求值．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．

根据题意，设x=2k，y=3k，z=4k.又因为2x−3y+4z=22，则可得k的值，从而求得x、y、z的值，故x+y+z可求．【变式演练】1.（2024·全国模拟）先化简，再求值：(2x+y)2+(x−y)(x+y)−5x(x−y)，其中x=2【答案】解：(2x+y)2+(x−y)(x+y)−5x(x−y)

=4x2+4xy+y2+x2−y2−5x2+5xy

【解析】本题主要考查了整式的混合运算−化简求值问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要注意先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．

首先化简(2x+y)2+(x−y)(x+y)−5x(x−y)，然后把x=2.（2024·江苏模拟）先化简，再求值：x(x+2)−(x+1)(x−1)，其中x=12【答案】解：x(x+2)−(x+1)(x−1)，=x=x=2x+1，当x=12时，原式【解析】根据单项式乘多项式的法则和平方差公式计算化简，然后代入数据计算即可．考查了整式的混合运算．主要考查了整式的乘法、合并同类项的知识点．注意运算顺序以及符号的处理．题型03整式的混合运算【解题策略】幂的运算：①同底数幂的乘法：am·an=am+n；②幂的乘方：(am)n=amn；③积的乘方：(ab)n=anbn；④同底数幂的除法：am÷an=am-n。整式乘法公式：①平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²；②完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b²。运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的，先算括号内的，去括号时，先去小括号，再去中大括号。整式运算幂的运算同底数幂乘法am·an＝am＋n（a≠0）am＋n＝am·an同底数幂除法eq\f(am,an)＝am－n(m，n是正整数)am－n＝eq\f(am,an)幂的乘方(am)n＝amn（a≠0）amn＝(am)n积的乘方(ab)n＝anbnanbn＝(ab)n乘法公式平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2a2－b2＝(a＋b)(a－b)完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2a2±2ab＋b2＝(a±b)2整式加减①整式的加减其实就是合并同类项；②整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．整式乘法①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．②单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC．③多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb．整式除法①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．②多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.【典例分析】例1．（2023·福建模拟）先化简，再求值：[(x+2y)2−(x+y)(3x−y)−5y2【答案】解：原式=(x2+4xy+4y2−3x2+xy−3xy+y2−5y2)÷(2x)

【解析】此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

原式中括号中利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【变式演练】1.（2023·湖南模拟）先化简，再求值：a(a−2b)−(a−1)2−2a，其中a=−1，b=【答案】解：原式=a2−2ab−(a2−2a+1)−2a=a2−2ab−【解析】原式利用单项式乘以多项式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．

此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2.（2023·全国模拟）已知3a2−4a−7=0，求代数式(2a−1【答案】解：原式=4a2−4a+1−a2+b2−b2=3【解析】原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．

此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．题型04分式的混合运算【解题策略】在运算过程中去括号时，括号前面是“﹣”，去掉括号和它前面的“﹣”号，括号里面的每一项都要改变符号分式混合运算应注意的七点1．注意分式混合运算的顺序.2．进行分式与整式的加减运算时,可将整式视为分母为1的代数式,然后与分式进行通分,再依照运算法则进行运算.3．除法运算一定要转化为乘法后再运算,如果分子、分母是多项式,可先将分子、分母因式分解,再进行运算.4．分式的混合运算中,若有“A(B+C)”这种形式,且A·B,A·C均可约分时,可利用乘法分配律简化运算.5．进行分式的加减运算时,注意与分式方程的解法区别开来,不要“去分母”.6．化简结果要最简.7．代入求值时,尽可能用“整体代入法”求值,且代入的值不能使原式中的分式和化简过程中出现的分式的分母为0.分式运算分式加减同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c).异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad±bc,bd).分式乘除分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd).分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(ad,bc)分式的混合运算在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．【典例分析】例1．（2024·安徽模拟）(2023·合肥三模)化简：a2−2a+1a2+a【答案】解：原式=a−12a(a+1)÷(a+1a+1−2【解析】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．

根据分式的混合运算法则计算，得到答案．例2．（2023·江苏模拟）计算：(x2x−1【答案】解：原式==1

【解析】先计算括号内同分母的加法运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．【变式演练】1.（2024·四川模拟）计算：

m+2+52−m【答案】解：原式=(m+2)(2−m)+52−m⋅2(m−2)3−m

=(3−m)(3+m)【解析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键.先算括号内的加法，然后再进行乘法，约分化简即得结果．2.（2023·辽宁模拟）计算：1a+1÷a+2【答案】解：原式=1a+1÷a+2a+12−【解析】本题主要考查的是分式的混合运算的有关知识，直接利用分式的混合运算的运算法则进行计算即可．题型05二次根式的混合运算【解题策略】一、二次根式的性质（1）()2＝a(a≥0)．（2）＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a<0）.))（3）＝·(a≥0，b≥0)．（4）(a≥0，b>0)．（5）双重非负性：二次根式⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(被开方数a≥0,\r(a)≥0))二、二次根式的运算1．二次根式的加减：先将各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．2．二次根式的乘除（1）二次根式的乘法：·＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)；(2)二次根式的除法：＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)；（3）二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式或整式．3．二次根式的开方：＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a＜0）.))4．二次根式的混合运算在进行二次根式的混合运算时，应注意以下几点：（1）二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序相同，即先乘方，再乘除，最后算加减，有括号要先去括号；（2）加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和对加法的分配律在二次根式的混合运算中仍然适用；（3）多项式的乘法公式仍然适合于二次根式的运算；（4）二次根式混合运算的结果要化为最简二次根式．【典例分析】例1．（2024·四川模拟）计算下列各题．(1)(2)3×1【答案】解：(1)原式=2

(2)原式=

=

=−3+2

【解析】本题考查了二次根式的混合运算，按照二次根式的运算法则分别计算，先乘除，后加减，注意结果需要化简为最简二次根式．【变式演练】1.（2023·广东模拟）计算：48【答案】解：原式=16【解析】本题主要考查二次根式的混合运算.掌握二次根式的性质和法则是解题的关键.先根据二次根式的乘除法法则计算，再根据二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可．2.（2023·云南模拟）计算：(43−3【答案】解：原式=(43)2−(32)2−6【解析】先根据平方差公式，乘法分配律计算，然后先算乘法，最后再算加减．

本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则以及平方差公式(a+b)(a−b)=a题型06化简求值【解题策略】1.分式化简(求值)的步骤及注意事项步骤(1)凡是遇见分子、分母是多项式，先因式分解，然后通分或约分；(2)有括号先计算括号里面的；(3)进行乘除计算；(4)进行加减运算；(5)代入求值注意事项(1)化简求值题一定要做到“先”化简，“再”求值；(2)通分时要记得给不含分母的项乘最简公分母；(3)化简结果应为最简分式或整式；(4)求值时必须保证所“代”数值使原分式的分母及运算过程中分式的分母都不为0【典例分析】例1．（2024·广东模拟）先化简再求值：(1−1x−1)÷x2【答案】解：原式=x−2x−1⋅x(x−1)(x−2)2

=x【解析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．

本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．例2．（2023·江苏模拟）先化简、再求值：(1−2x)÷【答案】解：原式==x+2x−∵x∴x∴原式=4

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，整体代入计算，得到答案．本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．【变式演练】1.（2023·湖南模拟）先约分，再求值：2x+6x2−4x+4⋅x−2【答案】解：原式=2(x+3)(x−2)2⋅x−2x(x+3)

=2x(x−2)，【解析】先将分式的分子、分母因式分解，再约分即可化简，继而将x的值代入计算可得．

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．2.（2023·辽宁模拟）先化简(1−3a+2)÷a2−2a+1a【答案】解：原式=a−1a+2⋅(a+2)(a−2)(a−1)2=a−2a−1，

由−5<a<5，a+2≠0，【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出a的值代入计算即可求出值．

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．题型07非负数【解题策略】1.常见的非负数有(a≥0)，|a|，a2.2.若几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0.如：若|，则a＝b＝c＝__0_．【典例分析】例1．（2024·甘肃模拟）先化简，后求值：3a2−b2【答案】解：由题意可知：a+12=0，b−3=0，

∴a=−12，b=3

原式=3a2−b【解析】根据整式的运算法则即可求出答案．

本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．例2．（2024·安徽模拟）若|m+4|与n2−2n+1互为相反数，把多项式x2【答案】解：由题意可得|m+4|+(n−1)2=0，

∴m+4=0n−1=0，

解得m=−4n=1，

∴x2+4y2【解析】由题意可知|m+4|与n2−2n+1互为相反数，即|m+4|+(n−1)2=0，根据非负数的性质求出m=−4，n=1，再把m，n的值代入所求代数式利用分组分解法和完全平方公式、平方差公式分解因式即可．

【变式演练】1.（2023·广东）已知a−2+|b−2a|=0，则a+2b的值是(

)A.4 B.6 C.8 D.10【答案】D

【解析】解：∵a−2+|b−2a|=0，

∴a−2=0，b−2a=0，

解得：a=2，b=4，

故a+2b=10．

故选：D．

直接利用绝对值和算术平方根的非负性分别化简得出答案．

此题主要考查了非负数的性质，正确得出a2.（2023·湖南）已知等腰三角形的三边x、y、z满足(x−4)2+y−2+|z−a|=0A.2 B.3 C.4 D.2或4【答案】C

【解析】解：∵(x−4)2+y−2+|z−a|=0，

且(x−4)2≥0，y−2≥0，|z−a|≥0，

∴x−4=0，y−2=0，z−a=0，

∴x=4，y=2，z=a，

∵三角形为等腰三角形，

∴a=4或a=2，

当a=2时，2+2=4，不能构成三角形，

∴a=4，

故选：C1.（2023·江苏）计算：|3−1|+(π−3【答案】解：|3−1|+(π−3)0−tan60°【解析】此题主要考查了实数运算，特殊角的三角函数值.正确化简各数是解题关键．

直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和绝对值的性质化简得出答案．2.（2023·广东）计算：(1+π)0+2−|−3|+2sin【答案】解：原式

=1+2−3+2×=2

【解析】根据零指数幂，绝对值的性质及特殊角的三角函数值可进行求解．

本题主要考查实数的运算，熟练掌握相关性质和运算法则是解题的关键．3.（2023·湖南）计算：π−3.140+−1【答案】解：原式=1−1+==−1．

【解析】本题主要考查的是实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.首先根据零指数幂、有理数的乘方的法则及绝对值的性质、特殊角的三角函数值对原式进行化简，再结合实数的运算法则进行计算即可得出结果．4.（2023·湖南）先化简，再求值．

(x+y)(x−y)−(4x3y−8xy3)÷2xy，其中【答案】解：(x+y)(x−y)−(4x3y−8xy3)÷2xy

=x2−y2−2【解析】根据平方差公式和多项式除以单项式可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．

本题考查整式的混合运算−化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．5.（2023·湖北）化简：(1−4a+3)÷【答案】2a−1．【解析】略6.（2023·湖北）化简：(1−aa+1)÷【答案】解：原式=1a+1⋅(a+1)(a−1)