新高考数学二轮复习创新题型专题10 解析几何专题（新定义）（解析版）

专题10解析几何专题（新定义）一、单选题1．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似于伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy中（O为坐标原点），把到定点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0距离之积等于SKIPIF1<0的点的轨迹称为双纽线，记为Γ，已知SKIPIF1<0为双纽线Γ上任意一点，有下列命题：①双纽线Γ的方程为SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0面积最大值为SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．其中所有正确命题的序号是（

）A．①② B．①②③C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】由已知SKIPIF1<0，代入坐标整理即可得出方程，判断①；根据正弦定理，结合已知条件，即可判断②；根据面积公式，结合②的结论，即可判断③；根据余弦定理，以及向量可推得SKIPIF1<0，即可判断④.【详解】对于①，由定义SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，所以双纽线Γ的方程为SKIPIF1<0，故①正确；对于②，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故②正确；对于③，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故③正确；对于④，SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故④正确.故选：D.2．（2023春·四川达州·高二四川省宣汉中学校考开学考试）定义：椭圆SKIPIF1<0中长度为整数的焦点弦(过焦点的弦)为“好弦”．则椭圆SKIPIF1<0中所有“好弦”的长度之和为（

）A．162 B．166 C．312 D．364【答案】B【分析】根据题意分类讨论结合韦达定理求弦长的取值范围，进而判断“好弦”的长度的取值可能，注意椭圆对称性的应用.【详解】由已知可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即椭圆SKIPIF1<0的右焦点坐标为SKIPIF1<0，对于过右焦点的弦SKIPIF1<0，则有：当弦SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴重合时，则弦长SKIPIF1<0，当弦SKIPIF1<0不与SKIPIF1<0轴重合时，设SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0，消去x得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，综上所述：SKIPIF1<0，故弦长为整数有SKIPIF1<0，由椭圆的对称性可得：“好弦”的长度和为SKIPIF1<0．故选：B．3．（2023秋·湖南郴州·高二校考期末）城市的许多街道是互相垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点SKIPIF1<0，定义两点间“距离”为SKIPIF1<0，则平面内与SKIPIF1<0轴上两个不同的定点SKIPIF1<0的“距离”之和等于定值（大于SKIPIF1<0）的点的轨迹可以是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分横坐标在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之外（内）的区域两种情况讨论，结合所给距离公式判断即可.【详解】解：根据题意，横坐标在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之外的区域，不能出现与SKIPIF1<0轴垂直的线段，否则该线段上的点与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的“距离”之和不会是定值；横坐标在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之内的区域，则必须与SKIPIF1<0轴平行，否则该线段上的点与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的“距离”之和不会是定值.故选：A.4．（2022·江苏·高二专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的蒙日圆方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点.离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为蒙日圆上一个动点，过点SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若SKIPIF1<0面积的最大值为36，则椭圆SKIPIF1<0的长轴长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得SKIPIF1<0，分析可知SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0的一条直径，利用勾股定理得出SKIPIF1<0，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的蒙日圆的半径为SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为蒙日圆的直径，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0面积的最大值为：SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0面积的最大值为36，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，进而有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故椭圆SKIPIF1<0的长轴长为SKIPIF1<0.故选：B5．（2023·全国·高三专题练习）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆SKIPIF1<0的蒙日圆的半径为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆SKIPIF1<0的两条切线SKIPIF1<0的交点在圆上，所以SKIPIF1<0，故选：A6．（2021秋·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据给定定义可得椭圆的短半轴长与半焦距相等，再对各选项逐一计算判断作答.【详解】由“对偶椭圆”定义得：短半轴长b与半焦距c相等的椭圆是“对偶椭圆”，对于A，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，A是“对偶椭圆”；对于B，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，B不是“对偶椭圆”；对于C，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，C不是“对偶椭圆”；对于D，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，D不是“对偶椭圆”.故选：A7．（2021春·上海闵行·高二闵行中学校考期末）若曲线SKIPIF1<0上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】通过图象，观察其图象是否满足在其图象上存在两个不同点处的切线重合，从而确定是否存在自公切线，进而得到结论.【详解】A：因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是抛物线，没有自公切线，故A错误；B：因为SKIPIF1<0，表示的是图形中的实线部分，没有自公切线，故B错误；C：因为SKIPIF1<0，表示的是图形中的实线部分，由两圆相交，可知公切线，故有自公切线，故C正确；D：因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是双勾函数，没有自公切线，故D错误；故选：C.8．（2021·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在平面直角坐标系中，定义SKIPIF1<0称为点SKIPIF1<0的“SKIPIF1<0和”，其中SKIPIF1<0为坐标原点，对于下列结论：（1）“SKIPIF1<0和”为1的点SKIPIF1<0的轨迹围成的图形面积为2；（2）设SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上任意一点，则点SKIPIF1<0的“SKIPIF1<0和”的最小值为2；（3）设SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上任意一点，则使得“SKIPIF1<0和”最小的点有无数个”的充要条件是SKIPIF1<0；（4）设SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上任意一点，则“SKIPIF1<0和”的最大值为SKIPIF1<0.其中正确的结论序号为（

）A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）【答案】B【解析】根据新定义“SKIPIF1<0和”，通过数形结合判断（1）正确，通过研究函数最值对选项（2）（3）（4）逐一判断即可.【详解】（1）当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0的轨迹如图，其面积为2，正确；（2）SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上的一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时递减，SKIPIF1<0时递增，故SKIPIF1<0的最小值在SKIPIF1<0时取得，SKIPIF1<0，正确；（3）同（2），SKIPIF1<0，可知当SKIPIF1<0时，都满足，“SKIPIF1<0和”最小的点有无数个，故错误；（4）可设椭圆参数方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，易知其最大值为SKIPIF1<0，正确.故选：B.【点睛】本题的解题关键是认真读题，理解新定义“SKIPIF1<0和”，再通过数形结合和函数最值的研究逐一判断即突破难点.9．（2022秋·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）若椭圆或双曲线上存在点SKIPIF1<0，使得点SKIPIF1<0到两个焦点SKIPIF1<0的距离之比为SKIPIF1<0，且存在SKIPIF1<0，则称此椭圆或双曲线存在“SKIPIF1<0点”，下列曲线中存在“SKIPIF1<0点”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】求出满足条件SKIPIF1<0时的SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，再求出SKIPIF1<0，验证SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0能否是三角形的三边长，即可得．【详解】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若是椭圆，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若是双曲线，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A中椭圆，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不存在SKIPIF1<0；B中椭圆，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不存在SKIPIF1<0C中双曲线，SKIPIF1<0，双曲线上点到到右焦点距离的最小值是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，构成SKIPIF1<0，存在“SKIPIF1<0点”，D中双曲线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不存在SKIPIF1<0故选：C．【点睛】本题考查新定义“SKIPIF1<0点”，解题方法是弱化条件，求出满足部分条件的SKIPIF1<0点具有的性质，验证是否满足另外的条件：构成三角形．从而完成求解．10．（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在椭圆上，且满足SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为坐标原点），则称点SKIPIF1<0为“★”点.下列结论正确的是（

）A．椭圆SKIPIF1<0上的所有点都是“★”点B．椭圆SKIPIF1<0上仅有有限个点是“★”点C．椭圆SKIPIF1<0上的所有点都不是“★”点D．椭圆SKIPIF1<0上有无穷多个点（但不是所有的点）是“★”点【答案】B【分析】设点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得出关于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的等式，由SKIPIF1<0，求出方程的解，即可得出结论.【详解】设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，所以，椭圆SKIPIF1<0上有且只有SKIPIF1<0个点是“★”点.故选：B.【点睛】本题考查椭圆中的新定义，考查椭圆方程的应用，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.11．（2019秋·北京·高二北京市第十三中学校考期中）已知两定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若直线上存在点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，则该直线为“SKIPIF1<0型直线”，给出下列直线，其中是“SKIPIF1<0型直线”的是（

）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0A．①③ B．①② C．③④ D．①④【答案】D【分析】易得点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为焦点的椭圆SKIPIF1<0上，“SKIPIF1<0型直线”和椭圆有公共点，逐个选项联立方程由判别式验证即可.【详解】SKIPIF1<0两定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为焦点的椭圆上，且SKIPIF1<0，故椭圆的方程为SKIPIF1<0，满足题意的“SKIPIF1<0型直线”和椭圆有公共点，联立SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0整理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即直线与椭圆有公共点，即为“SKIPIF1<0型直线”，联立SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，显然无交点，故不是“SKIPIF1<0型直线”，联立SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0整理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故不是“SKIPIF1<0型直线”，联立SKIPIF1<0和SKIPIF1<0消SKIPIF1<0整理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即直线与椭圆有公共点，即为“SKIPIF1<0型直线”，故选：D【点睛】本题考查了椭圆的定义以及椭圆的标准方程，此题属于圆锥曲线的新定义题目，同时考查了直线与椭圆位置关系的判断，属于中等题.12．（2017春·吉林·高一统考期末）已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|≤4，则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是(

)①SKIPIF1<0;②SKIPIF1<0;③SKIPIF1<0;④SKIPIF1<0.A．①③ B．①② C．②③ D．③④【答案】C【分析】根据已知条件，利用点到直线的距离公式进行计算.【详解】对于①，点M到直线y=x+1的距离SKIPIF1<0，故不存在点P使|PM|≤4，故①不是；对于②，点M到直线y=2的距离d2=2＜4，故存在点P使|PM|≤4，故②是；对于③，直线方程为4x-3y=0，点M到直线4x-3y=0的距离SKIPIF1<0，故存在点P使|PM|≤4，故③是；对于④，点M到直线y=2x+1的距离SKIPIF1<0，故不存在点P使|PM|≤4，故④不是.综上可知符合条件的有②③.故A，B，D错误.故选：C.二、多选题13．（2022秋·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo.设计师的灵感来源于曲线C：SKIPIF1<0.其中星形线E：SKIPIF1<0常用于超轻材料的设计.则下列关于星形线说法正确的是（

）A．E关于y轴对称B．E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过SKIPIF1<0C．E上的点到原点距离的最小值为SKIPIF1<0D．曲线E所围成图形的面积小于2【答案】ABD【分析】A由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均在曲线上即可判断；B应用基本不等式SKIPIF1<0即可判断；C由SKIPIF1<0，结合立方和公式及B的结论即可判断；D根据SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图形的位置关系判断.【详解】若SKIPIF1<0在星形线E上，则SKIPIF1<0也在E上，故E关于y轴对称，A正确；由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，B正确；由SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，故E上的点到原点距离的最小值为SKIPIF1<0，C错误；曲线E过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所围成的区域内部，而SKIPIF1<0所围成的面积为2，故曲线E所围成图形的面积小于2，D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：应用基本不等式有SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0及立方和公式求两点距离，利用SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图形的位置判断面积大小.14．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C的方程为SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，若对于任意的SKIPIF1<0，都存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，则称曲线C为Σ曲线.下列方程所表示的曲线中，是Σ曲线的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【分析】问题转化为SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，根据这一条件逐一判断即可.【详解】A：SKIPIF1<0的图象既关于x轴对称，也关于y轴对称，且图象是封闭图形.所以对于任意的点SKIPIF1<0，存在着点Q（x2，y2）使得SKIPIF1<0，所以满足；B：SKIPIF1<0的图象是双曲线，且双曲线的渐近线斜率为±1，所以渐近线将平面分为四个夹角为90°的区域，当P，Q在双曲线同一支上，此时SKIPIF1<0，当P，Q不在双曲线同一支上，此时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不满足；C：SKIPIF1<0的图象是焦点在x轴上的抛物线，且关于x轴对称，设P为抛物线上一点，过O点作OP的垂线，则垂线一定与抛物线交于Q点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0D：取P（0，1），若SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0显然不成立，所以此时SKIPIF1<0不成立，故选：AC【点睛】关键点睛：运用圆锥曲线的性质是解题的关键.15．（2021秋·河北保定·高二顺平县中学校考阶段练习）在平面内，若曲线SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离之和为10，则称曲线SKIPIF1<0为“有用曲线”，以下曲线是“有用曲线”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】利用有用曲线的定义逐项判断即可.【详解】解：设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离之和为10，由椭圆的定义可得点SKIPIF1<0的轨迹方程为：SKIPIF1<0，对A，由SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此曲线SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0满足条件，所以SKIPIF1<0是“有用曲线”，故A正确；对B，因为曲线SKIPIF1<0在曲线SKIPIF1<0的内部，无交点，所以SKIPIF1<0不是“有用曲线”，故B错误；对C，曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有交点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是“有用曲线”，故C正确；对D，曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0也有交点，所以SKIPIF1<0是“有用曲线"，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题利用所给曲线的定义进行判断，关键是由题意得出点SKIPIF1<0满足的方程，所给选项中的曲线只要与点SKIPIF1<0满足的方程有交点即符合题意.16．（2021秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段SKIPIF1<0长度为SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的轨迹称为双纽线.已知曲线SKIPIF1<0为双纽线，下列选项判断正确的是（

）A．曲线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0B．曲线SKIPIF1<0上的点的纵坐标的取值范围是SKIPIF1<0C．曲线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称D．SKIPIF1<0为曲线SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0【答案】ABC【分析】将点SKIPIF1<0代入曲线SKIPIF1<0方程可知A正确；利用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0可求得SKIPIF1<0，进而求得SKIPIF1<0的范围，知B正确；设曲线SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点SKIPIF1<0代入曲线SKIPIF1<0方程可知C正确；由SKIPIF1<0知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0面积最大，验证可知曲线SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，D错误.【详解】对于A，将SKIPIF1<0代入曲线SKIPIF1<0方程，知方程成立，SKIPIF1<0曲线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，A正确；对于B，SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时取等号），SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时取等号），SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时取等号），即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即曲线SKIPIF1<0上的点的纵坐标的取值范围是SKIPIF1<0，B正确；对于C，设曲线SKIPIF1<0上任一点为SKIPIF1<0，则其关于SKIPIF1<0轴对称的点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0也在曲线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0曲线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，C正确；对于D，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为曲线SKIPIF1<0上的点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即曲线SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D错误.故选：ABC.17．（2021秋·江苏南通·高二江苏省包场高级中学校考期中）黄金分割比例SKIPIF1<0具有严格的比例性、艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值．这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例．我们把离心率SKIPIF1<0的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下说法正确的是（

）A．椭圆SKIPIF1<0是“黄金椭圆”B．若椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则该椭圆为“黄金椭圆”C．设椭圆SKIPIF1<0的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，若SKIPIF1<0，则该椭圆为“黄金椭圆”D．设椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则该椭圆为“黄金椭圆”【答案】ABC【分析】定义离心率SKIPIF1<0的椭圆称为“黄金椭圆”，根据各命题中的椭圆方程，由题设及SKIPIF1<0、SKIPIF1<0列方程求椭圆离心率即可确定是否为“黄金椭圆”【详解】对于A：由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故椭圆SKIPIF1<0是“黄金椭圆”，故A正确；对于B：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），故该椭圆是“黄金椭圆”，故B正确；对于C：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，化简可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），故该椭圆是“黄金椭圆”，故C正确；对于D：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（负值舍去），故该椭圆不是“黄金椭圆”，故D错误．故选：ABC三、填空题18．（2023春·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是________.①卵圆SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称②卵圆上不存在两点关于直线SKIPIF1<0对称③线段SKIPIF1<0长度的取值范围是SKIPIF1<0④SKIPIF1<0的面积最大值为SKIPIF1<0【答案】①③④【分析】利用点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均满足方程，即可判断①；设SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都在卵圆SKIPIF1<0上，再解SKIPIF1<0即可判断②；利用两点间的距离公式表示SKIPIF1<0，然后利用导数研究其最值，即可判断③；利用三角形的面积公式表示出SKIPIF1<0，然后利用导数研究其最值，即可判断④.【详解】对于①，设SKIPIF1<0是卵圆SKIPIF1<0上的任意一个点，因为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0也在卵圆SKIPIF1<0上，又点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，所以卵圆SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，故①正确；对于②，设SKIPIF1<0在卵圆SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的点SKIPIF1<0也在卵圆SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以卵圆上存在SKIPIF1<0两点关于直线SKIPIF1<0对称，故②错误；对于③，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递减，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故③正确；对于④，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0的面积取得最大值SKIPIF1<0，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题考查了圆锥曲线的新定义问题，解决此类问题的关键在于理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答.19．（2023·高二课时练习）在平面直角坐标系中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若在曲线C上存在一点P，使得∠APB为钝角，则称曲线上存在“钝点”，下列曲线中，有“钝点”的曲线为______．（填序号）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0．【答案】①④⑤【分析】根据曲线上存在“钝点”的定义，依次判断各曲线是否存在“钝点”即可.【详解】设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，若∠APB为钝角，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0不共线，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0，反之若SKIPIF1<0，则∠APB为钝角，对于曲线SKIPIF1<0，取曲线上的点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为钝角，故曲线SKIPIF1<0为有“钝点”的曲线；对于曲线SKIPIF1<0，若曲线上的点SKIPIF1<0为“钝点”，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，矛盾所以曲线SKIPIF1<0不是有“钝点”的曲线；对于曲线SKIPIF1<0，若曲线上点SKIPIF1<0为“钝点”，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，矛盾所以曲线SKIPIF1<0不是有“钝点”的曲线；对于曲线SKIPIF1<0，取曲线上的点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为钝角，故曲线SKIPIF1<0为有“钝点”的曲线；对于曲线SKIPIF1<0，取曲线上的点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为钝角，故曲线SKIPIF1<0为有“钝点”的曲线.所以曲线①④⑤为有“钝点”的曲线.故答案为：①④⑤.20．（2023秋·广东茂名·高二统考期末）法国数学家蒙日SKIPIF1<0发现：双曲线SKIPIF1<0的两条互相垂直切线的交点SKIPIF1<0的轨迹方程为：SKIPIF1<0，这个圆被称为蒙日圆.若某双曲线SKIPIF1<0对应的蒙日圆方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.【答案】2【分析】根据题意写出双曲线SKIPIF1<0对应的蒙日圆方程，可得出关于SKIPIF1<0的等式，即可求得正数SKIPIF1<0的值.【详解】由双曲线SKIPIF1<0的方程可得SKIPIF1<0，由蒙日圆的定义可得双曲线SKIPIF1<0对应的蒙日圆方程SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故答案为：2.21．（2023·全国·高三专题练习）一条抛物线把平面划分为二个区域，如果一个平面图形完全落在抛物线含有焦点的区域内，我们就称此平面图形被该抛物线覆盖.那么下列命题中，正确的是___________.(填写序号)（1）任意一个多边形所围区域总能被某一条抛物线覆盖；（2）与抛物线对称轴不平行､不共线的射线不能被该抛物线覆盖；（3）射线绕其端点转动一个锐角所扫过的角形区域可以被某二条抛物线覆盖；（4）任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面.【答案】（1）（2）（4）【分析】由平面图形被该抛物线覆盖的定义逐项分析判断即可【详解】解：由抛物线的图像和性质可知，由于任意一个多边形所围区域沿着抛物线顶点出发向抛物线对称轴所在直线平移，总能把有限的区域放入抛物线内部，所以（1）正确；由于过抛物线内部一点的直线（不平行于轴）与抛物线都有两个交点，故抛物线无法覆盖一条直线，也不能覆盖与轴不平行、不共线的射线，所以（2）正确；由于锐角是由两条不平行的射线组成，故抛物线不能覆盖任何一个锐角，所以（3）错误；取一条直线，使它不平行于任一抛物线的对称轴，根据抛物线的图像和性质可知直线上的点不能被完全覆盖，如图，因为一条直线若被抛物线覆盖，它必须是抛物线的对称轴，所以任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面，所以（4）正确故答案为：（1）（2）（4）【点睛】关键点点睛：此题考查新定义，考查抛物线的性质的应用，解题的关键是对新定义的正确理解，属于中档题22．（2023·全国·高三专题练习）定义：点SKIPIF1<0为曲线SKIPIF1<0外的一点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的两个动点，则SKIPIF1<0取最大值时，SKIPIF1<0叫点SKIPIF1<0对曲线SKIPIF1<0的张角.已知点SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0上的动点，设SKIPIF1<0对圆SKIPIF1<0的张角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】先根据新定义，利用二倍角公式判断SKIPIF1<0最小时SKIPIF1<0最小，再设SKIPIF1<0，利用距离公式，结合二次函数最值的求法求得SKIPIF1<0最小值，即得结果.【详解】解：如图，SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0最小，则SKIPIF1<0最大，即需SKIPIF1<0最小.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于理解新定义，将SKIPIF1<0的最小值问题转化为线段SKIPIF1<0最小问题，结合二次函数求最值即突破难点.23．（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，点M不与原点О重合，称射线OM与SKIPIF1<0的交点N为点M的“中心投影点”，曲线SKIPIF1<0上所有点的“中心投影点”构成的曲线长度是_______【答案】SKIPIF1<0【解析】可作出对应曲线的图象，结合图形，求出题中“中心投影点”构成的曲线长度对应圆中的圆心角，从而求出其“中心投影点”构成的曲线的长度.【详解】曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为：SKIPIF1<0，设渐近线与圆SKIPIF1<0的交点分别为SKIPIF1<0,如下图则曲线SKIPIF1<0上所有点的“中心投影点”构成的曲线为圆弧SKIPIF1<0由题意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<024．（2020·浙江·高二期末）把椭圆SKIPIF1<0的短轴和焦点连线段中较长者､较短者分别作为椭圆SKIPIF1<0的长轴､短轴，使椭圆SKIPIF1<0变换成椭圆SKIPIF1<0，称之为椭圆的一次“压缩”.按上述定义把椭圆SKIPIF1<0“压缩”成椭圆SKIPIF1<0，得到一系列椭圆SKIPIF1<0，…当短轴长与焦距相等时终止“压缩”.经研究发现，某个椭圆SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0次“压缩”后能终止，则椭圆SKIPIF1<0的离心率可能是①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0中的______.（填写所有正确结论的序号）【答案】①②【解析】分类讨论，确定压缩数为SKIPIF1<0时，半长轴、半短轴、半焦距，利用离心率公式，即可求得结论.【详解】解：依题意，若原椭圆，短轴＞焦距，则压缩数为SKIPIF1<0时，半长轴为SKIPIF1<0，半短轴为SKIPIF1<0，半焦距为SKIPIF1<0所以压缩数为SKIPIF1<0时，半长轴为SKIPIF1<0，半短轴为SKIPIF1<0，半焦距为SKIPIF1<0；压缩数为SKIPIF1<0时，半长轴为SKIPIF1<0，半短轴为SKIPIF1<0，半焦距为SKIPIF1<0∵压缩数为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0同理，若原椭圆，短轴＜焦距，则压缩数为SKIPIF1<0时，半长轴为SKIPIF1<0，半短轴为SKIPIF1<0，半焦距为SKIPIF1<0所以压缩数为SKIPIF1<0时，半长轴为SKIPIF1<0，半短轴为SKIPIF1<0，半焦距为SKIPIF1<0；压缩数为SKIPIF1<0时，半长轴为SKIPIF1<0，半短轴为SKIPIF1<0，半焦距为SKIPIF1<0，∵压缩数为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0.故答案为：①②.【点睛】本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.25．（2018·北京·高二统考期末）已知两定点SKIPIF1<0,若直线上存在点SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0,则该直线为“SKIPIF1<0型直线”.给出下列直线,其中是“SKIPIF1<0型直线”的是___________.①SKIPIF1<0

②SKIPIF1<0

③SKIPIF1<0

④SKIPIF1<0【答案】①③【分析】根据椭圆的定义将“SKIPIF1<0型直线”的判定问题转化为直线与椭圆是否有公共点的问题.【详解】由椭圆的定义可知，点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点的椭圆，其方程为SKIPIF1<0，对于①中，直线SKIPIF1<0代入椭圆的方程SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是“SKIPIF1<0型直线”；对于②中，把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时无解，所以SKIPIF1<0不是“SKIPIF1<0型直线”；对于③中，把直线SKIPIF1<0代入椭圆的方程SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是“SKIPIF1<0型直线”；对于④中，把直线SKIPIF1<0代入椭圆的方程SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是“SKIPIF1<0型直线”，故答案为：①③.26．（2017·河南漯河·漯河高中校考三模）平面直角坐标系中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若曲线SKIPIF1<0上存在一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，则称曲线SKIPIF1<0为“合作曲线”，有下列曲线①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0，其中“合作曲线”是__________．（填写所有满足条件的序号）【答案】①③④【分析】设点SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0为“合作曲线”SKIPIF1<0存在点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0．解出即可判断出结论．【详解】解：设点SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0上存在一点SKIPIF1<0，使SK