第4章 数列 章末题型归纳总结（原卷版）

第4章数列章末题型归纳总结目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：等差与等比数列的基本运算经典题型二：等差、等比数列的判定经典题型三：求数列的通项公式经典题型四：数列求和经典题型五：数列的性质经典题型六：数学归纳法模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题经典题型一：等差与等比数列的基本运算例1．（2023·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）记是等差数列的前n项和，若，，则（

）A．16 B．8 C．4 D．2例2．（2023·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知等差数列中，，，则（

）A．0 B．-2 C．-4 D．-6例3．（2023·西藏拉萨·高二校考期中）已知是等差数列，，则等于（

）A．48 B．40 C．60 D．72例4．（2023·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）已知为等差数列，，，的前n项和为，则使得取得最大值的n的值为（

）A．18 B．19 C．20 D．21例5．（2023·全国·高二随堂练习）设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第37项为（

）A．1 B．0 C．100 D．3700例6．（2023·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知等差数列共有21项，若奇数项的和为110，则偶数项的和为（

）A．100 B．105 C．90 D．95例7．（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则（

）A． B． C． D．例8．（2023·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知3，，27三个数成等比数列，则（

）A．9 B．-9 C．9或-9 D．0例9．（2023·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）已知等比数列的前n项和为45，前2n项和为60，则其前3n项和为（

）A．65 B．80 C．90 D．105例10．（2023·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知等比数列的前n项和为．若，则等于（

）A． B．C． D．例11．（2023·全国·高二随堂练习）某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（

）万元．A． B． C． D．例12．（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）在等比数列中，，，则（

）A． B． C．32 D．64例13．（2023·江苏苏州·高二南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）等比数列满足，，数列满足，时，，则数列的通项公式为（）A． B． C． D．例14．（2023·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）在等比数列中，，，则（

）A．8 B．6 C．4 D．2经典题型二：等差、等比数列的判定例15．（2023·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知数列满足，且.(1)求；(2)证明：数列是等差数列，并求.例16．（2023·江苏连云港·高二赣榆一中校考阶段练习）已知数列满足，且.(1)证明：是等差数列；(2)求数列的通项公式.例17．（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知数列满足:.(1)证明:是等比数列;(2)求数列的前项和.例18．（2023·全国·高二课堂例题）已知，是项数相同的数列．(1)若数列是公差为d的等差数列，数列满足，证明数列是等比数列；(2)若数列是公比为q的正项等比数列，数列满足，证明数列是等差数列．例19．（2023·全国·高二课堂例题）已知数列中，在时恒成立，求证：是等差数列．例20．（2023·全国·高二专题练习）在数列中4，，．求证：数列{}是等差数列；例21．（2023·广东深圳·高二深圳市耀华实验学校校考阶段练习）若数列满足，，m为常数.(1)求证：是等差数列；(2)若对任意，都有，求实数m的取值范围.例22．（2023·江苏泰州·高二泰州中学校考期末）已知数列中，，当时，记，．(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式(2)求数列的前项和．例23．（2023·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）设数列的前n项和为，若．(1)求证：是等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．例24．（2023·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期中）已知数列满足：，，设．(1)求证：是等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)求数列的前项和．例25．（2023·江苏苏州·高二常熟中学校考阶段练习）已知数列满足，且．(1)求数列的前三项的值；(2)是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，设数列的前项和为，求证：．例26．（2023·四川巴中·高二四川省通江中学校考期中）已知数列的首项，且满足，若.(1)求证为等比数列；(2)在数列中，，对任意的，，都有，求数列的前项和.例27．（2023·全国·高二课堂例题）已知数列的首项．(1)若为等差数列，公差，证明数列为等比数列；(2)若为等比数列，公比，证明数列为等差数列．例28．（2023·江西萍乡·高二统考期中）在数列中，，.(1)证明：为等比数列.(2)设，若是递增数列，求的取值范围.经典题型三：求数列的通项公式例29．（2023·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期末）已知数列，则数列的通项公式．例30．（2023·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考阶段练习）已知数列的前项和，的通项公式为.例31．（2023·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）已知数列的前项和（为正整数），则此数列的通项公式.例32．（2023·上海闵行·高二校考阶段练习）在数列中，若，，则的通项公式为.例33．（2023·福建漳州·高二校考阶段练习）已知数列满足，则．例34．（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知数列满足，，则．例35．（2023·浙江嘉兴·高二浙江省海盐高级中学校考开学考试）已知数列的前项和为，则数列的通项公式.例36．（2023·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）若数列的前n项和，则数列的通项公式.例37．（2023·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）记为数列的前项和，且，则.例38．（2023·河南周口·高二统考期中）设数列的前项和为，且，则数列的通项公式为．例39．（2023·山东淄博·高二校考期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为例40．（2023·甘肃·高二统考期中）已知数列满足，，设.(1)求；(2)求的通项公式.例41．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式．例42．（2023·江苏·高二专题练习）已知数列满足：求通项.例43．（2023·江苏·高二专题练习）已知数列满足，．求数列的通项公式．例44．（2023·江苏·高二专题练习）已知：，时，，求的通项公式．例45．（2023·北京海淀·高二人大附中期末）求下列数列的通项公式.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；例46．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．例47．（2023·全国·高二专题练习）已知数列中，，求的通项公式．例48．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．例49．（2023·江西宜春·高二上高中学校考期中）设数列的前n项和为Sn，满足，且成等差数列．(1)求的值；(2)求数列的通项公式．例50．（2023·江苏·高二专题练习）已知，求的通项公式．经典题型四：数列求和例51．（2023·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且.(1)求与；(2)记，求数列的前n项和.例52．（2023·新疆乌鲁木齐·高二校考期中）已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，.(1)求与的通项公式；(2)设，求的前项和.例53．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考阶段练习）已知各项均为正数的等差数列的首项，，，成等比数列；(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．例54．（2023·上海虹口·高二上外附中校考阶段练习）数列中，，且对任意正整数m，数列，，是公差为的等差数列.(1)依次求，，，的值；(2)求数列的通项公式；(3)记（n为正整数），求数列的前n项和.例55．（2023·江苏苏州·高二星海实验中学校考阶段练习）已知数列的前项和为且成等差数列.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.例56．（2023·甘肃庆阳·高二校考阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，求数列的前项和.例57．（2023·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）若数列是公差为2的等差数列，数列满足，，且．(1)求数列，的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前n项和．例58．（2023·福建漳州·高二校考期中）设数列的各项都为正数，且．(1)证明数列为等差数列；(2)设，求数列的前项和．例59．（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知数列的首项且满足．(1)证明：是等比数列；(2)数列满足，，记，求数列的前n项和．例60．（2023·全国·高二随堂练习）（1）求数列，，，…的前项的和；（2）求数列5，55，555，…的前项的和．例61．（2023·甘肃白银·高二校考阶段练习）递增的等差数列中的前n项和为，且成等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前40项的和.经典题型五：数列的性质例62．（2023·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）已知等差数列的前项和有最小值，且，则使成立的正整数的最小值为（

）A．2022 B．2023 C．4043 D．4044例63．（2023·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）已知各项均为正数的数列满足，，则取最小值时，（

）A．3 B．4 C．5 D．6例64．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为有最小值，且，则使成立的正整数n的最小值为（

）A．9 B．10 C．17 D．18例65．（2023·安徽池州·高二校联考期中）设为实数，首项为、公差为的等差数列的前项和为，且满足：，的最小值为（

）A．6 B．8 C．9 D．10例66．（2023·河南南阳·高二唐河县第一高级中学校考阶段练习）等差数列{an}中，已知，，则的前n项和的最小值为（

）A．S4 B．S5 C．S6 D．S7例67．（2023·江苏南通·高二期末）等比数列中，，数列，的前n项和为，则满足的n的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9例68．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．没有最大值例69．（2023·福建龙岩·高二福建省永定第一中学校考阶段练习）设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．的最大值为或例70．（2023·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）已知数列的通项公式为，那么当数列的前项和取得最大值时，的值为（

）A．30 B．31 C．32 D．33例71．（2023·江西·高二统考期末）数列的前项和，则取最大值时的值为（

）A． B．2 C． D．4例72．（2023·广西河池·高二统考期末）已知数列满足，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例73．（2023·河南郑州·高二校联考期中）已知函数，若数列满足，且对任意的都有，那么实数的值范围是（

）A． B． C． D．例74．（2023·江苏·高二专题练习）设等差数列中首项为，公差为d，且从第5项开始是正数，则公差d的范围是A． B． C． D．例75．（2023·高二课时练习）在中，A、B、C分别为a、b、c所对的角，若a、b、c成等差数列，则B的范围是()A． B． C． D．经典题型六：数学归纳法例76．（2023·全国·高三专题练习）数列满足：，，求证：．例77．（2023·全国·高三专题练习）设，数列满足，，求证：，且．例78．（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）已知数列，满足，，，.(1)设数列满足，求的通项公式；(2)设数列满足，求证：.例79．（2023·高二课时练习）当时，求证：.例80．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，且数列的前n项和为，求证：当时，．例81．（2023·全国·高三专题练习）f（n）定义在正整数集合上，且满足f（1）=2，f（n+1）=（f（n））2－f（n）+1，n=1，2，3，…．求证；对所有整数n>1，1－＜例82．在用数学归纳法证明时，第（1）步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第（2）步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.例83．（2023·全国·高三专题练习）设，对于,,，…，定义，求证：对于，有．例84．（2023·高二课时练习）求证：对任何正整数n，数都能被8整除模块三：数学思想方法①分类讨论思想例85．（2023·福建省漳州市·月考试卷）若数列满足，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．例86．（2023·安徽省滁州市·单元测试）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．已知数列满足，且，若，数列的前n项和为，则（

）A．4956 B．4959 C．4962 D．4965例87．（2023·天津市市辖区·模拟题）等比数列的公比为q，前n项和为设甲：，乙：是递增数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件例88．（2023·全国·同步练习）已知数列满足，下面说法正确的是（

）

①当时，数列为递减数列；

②当时，数列不一定有最大项；

③当时，数列为递减数列；

④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项．A． B． C． D．例89．（2023·上海市市辖区·模拟题）设数列，若存在常数t，对任意小的正数s，总存在正整数，当时，，则数列为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（

）A．若等比数列是收敛数列，则公比B．等差数列不可能是收敛数列C．设公差不为0的等差数列的前n项和为，则数列一定是收敛数列D．设数列的前n项和为，满足，，则数列是收敛数列例90．己知正项数列满足，则下列正确的是（

）A． B．数列是递减数列C．数列是递增数列 D．②转化与化归思想例91．（2023·浙江省绍兴市·月考试卷）已知数列，，下列说法正确的是．（

）A．对任意的，存在，使数列是递增数列；B．对任意的，存在，使数列不单调；C．对任意的，存在，使数列具有周期性；D．对任意的，当时，存在例92．（2023·湖北省襄阳市·单元测试）已知数列满足，，若存在实数t，使单调递增，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．例93．已知在数列中，，，若是等比数列，不等式对一切恒成立，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．例94．（2023·江西省萍乡市·单元测试）斐波那契数列是数学史上一个著名数列，它是意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖时发现的，若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，该数列有很多奇妙的性质，如根据可得……，类似的，可得（

）A． B． C． D．例95．（2023·浙江省杭州市·单元测试）若两个等差数列，的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数n的个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6例96．（2023·江苏省南通市·月考试卷）已知数列满足，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．例97．（2023·辽宁省锦州市·期末考试）康托是十九世纪末二十世纪初德国伟大的数学家，他创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，当记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使“康托三分集”的各区间长