第1章 直线与方程章末题型归纳总结（原卷版）

第1章直线与方程章末题型归纳总结目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：斜率与倾斜角的关系经典题型二：直线方程的求法及应用经典题型三：两直线的平行与垂直经典题型四：两直线的交点与距离问题经典题型五：线段和差最值问题经典题型六：直线与坐标轴围成的面积问题经典题型七：点线对称、线点对称、线线对称问题模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题经典题型一：斜率与倾斜角的关系例1．（2023·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．例2．（2023·浙江绍兴·高二校考期中）若，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．例3．（2023·全国·高二专题练习）直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角范围是（）A． B．C． D．例4．（2023·广西贵港·高二校联考开学考试）若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则（

）A． B．5 C． D．例5．（2023·江苏·高二校联考开学考试）已知点，，若过的直线与线段相交，则实数k的取值范围为（

）A． B． C．或 D．例6．（2023·广西南宁·高二南宁市邕宁高级中学校考开学考试）设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．例7．（2023·山西·高二校联考开学考试）直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是（

）

A． B． C． D．例8．（2023·高二课时练习）直线l经过两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为（

）A． B．∪C． D．例9．（2023·浙江·高二浙江省余姚市第五中学校联考期中）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．例10．（2023·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知倾斜角为的直线与直线的夹角为，则的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或经典题型二：直线方程的求法及应用例11．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）过点作直线，若经过点和，且均为正整数，则这样的直线可以作出（

），A．条 B．条 C．条 D．无数条例12．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）已知直线过点，且与向量平行，则直线在轴上的截距为（

）A． B． C． D．例13．（2023·高二课时练习）已知直线l的斜率与直线的斜率相等，且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24，则直线l的方程是（

）A． B．C． D．例14．（2023·安徽安庆·高二校考阶段练习）将直线绕点按逆时针方向旋转后所得直线方程是（

）A． B．C． D．例15．（2023·全国·高二专题练习）平面直角坐标系中下列关于直线的几何性质说法中，正确的有几个（

）①直线：过点②直线在轴的截距是2③直线的图像不经过第四象限④直线的倾斜角为A．1 B．2 C．3 D．4例16．（2023·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（

）A．4条 B．2条 C．3条 D．1条例17．（2023·全国·高二专题练习）已知直线在x轴的截距大于在y轴的截距，则A、B、C应满足条件（

）A． B． C． D．例18．（2023·高二课时练习）已知三条直线为，则下列结论中正确的一个是（

）A．三条直线的倾斜角之和为B．三条直线在y轴上的截距满足C．三条直线的倾斜角满足D．三条直线在x轴上的截距之和为．例19．（2023·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（

）A． B．C． D．例20．（2023·黑龙江绥化·高二海伦市第一中学校考期中）已知直线l过点，且与直线：和：分别交于点A，B．若P为线段AB的中点，则直线l的方程为（

）A． B．C． D．经典题型三：两直线的平行与垂直例21．（2023·高二课时练习）是否存在实数，使直线与直线平行？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.例22．（2023·高二课时练习）根据下列给定的条件，用多种方法判断直线与直线的位置关系：(1)经过点，，经过点，；(2)经过点，，经过点，．例23．（2023·高二课时练习）已知三条直线，，．(1)若，且过点，求、的值；(2)若，求、的值．例24．（2023·全国·高二课堂例题）已知点，，，，若，求m的值．例25．（2023·广东佛山·高二校联考期中）在菱形ABCD中，对角线BD与x轴平行，，点E是线段BC的中点．(1)求直线AE的方程；(2)求过点A且与直线DE垂直的直线．例26．（2023·高二课时练习）已知的顶点为，，，是否存在使为直角三角形，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．例27．（2023·四川成都·高二校考期中）已知直线经过点．(1)若直线平行于直线，求直线的方程．(2)若直线垂直于直线，求直线的方程．例28．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）已知直线，互相垂直，则实数的值为（

）A． B．或 C． D．或例29．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考阶段练习）已知过点和点的直线为l1，.若，则的值为（

）A． B．C．0 D．8例30．（2023·湖南衡阳·高二校考期末）已知直线与直线，若，则（

）A． B．2 C．2或 D．5例31．（2023·全国·高二专题练习）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（

）A． B． C． D．例32．（2023·全国·高二专题练习）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个例33．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知，若的平分线方程为，则所在的直线方程为．例34．（2023·全国·高二专题练习）经过两条直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为（

）A． B．C． D．例35．（2023·广东广州·高二广州市从化区从化中学校考期末）过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（

）A． B．C．或 D．或例36．（2023·辽宁大连·高二育明高中校考阶段练习）若直线m被两平行线：与：所截得的线段的长为，则直线m的倾斜角可以是（

）A． B． C． D．例37．（2023·全国·高二专题练习）经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（

）A． B．C． D．例38．（2023·高二课时练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．例39．（2023·高二课时练习）在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点．设k为整数，当直线与直线的交点为整点时，k的值可以取（

）个．A．8个 B．9个 C．7个 D．6个例40．（2023·全国·高二专题练习）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（

）A．个 B．个C．个 D．个例41．（2023·高二课时练习）设集合，，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．例42．（2023·江西九江·高二永修县第一中学校考开学考试）已知直线与的交点在第四象限，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．例43．（2023·江苏·高二专题练习）两条直线和的交点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．例44．（2023·高二课时练习）已知实数满足，则直线必过定点，这个定点的坐标为A． B． C． D．例45．（2023·全国·高二专题练习）若过点且互相垂直的两条直线分别与轴、轴交于、两点，则中点的轨迹方程为.例46．（2023·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是．例47．（2023·全国·高二专题练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的值是.例48．（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）直线l过点，且横截距为纵截距的两倍，则直线l的方程是.（请用直线方程的一般式作答）经典题型四：两直线的交点与距离问题例49．（2023·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为.例50．（2023·高二课时练习）已知的三个顶点坐标分别为，，，则的面积为．例51．（2023·高二课时练习）已知满足，则的最小值为例52．（2023·全国·高二专题练习）点关于点对称，则．例53．（2023·全国·高二专题练习）已知直线l到两条平行直线与的距离相等，则直线l的方程为．例54．（2023·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）已知点在直线上，则的最小值为．例55．（2023·河南·高二宜阳县第一高级中学校联考阶段练习）已知直线与平行，则，间的距离为.经典题型五：线段和差最值问题例56．（2023·浙江·高二校联考期中）已知点，，点在直线：上运动，则的最小值为.例57．（2023·全国·高二课堂例题）的最小值为．例58．（2023·河北邯郸·高二武安市第三中学校考开学考试）已知，若点P是直线上的任意一点，则的最小值为．例59．（2023·安徽芜湖·高二芜湖一中校考期末）已知，则的最小值为.例60．（2023·上海徐汇·高二上海市第二中学校考阶段练习）设，求的最小值是．例61．（2023·湖北省直辖县级单位·高二校考阶段练习）已知点，点P是直线上动点，则的最小值是．例62．（2023·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习）过点作直线分别交x，轴正半轴于A，B两点，则的最小值为.例63．（2023·福建泉州·高二福建省南安市侨光中学校考阶段练习）已知，O为坐标原点，点分别在线段上，则周长的最小值为.例64．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）已知直线，，则直线与之间的距离最大值为.例65．（2023·高二单元测试）已知点，，直线，点P为直线l上一点，则的最大值为．例66．（2023·高二课时练习）已知、，若P是直线上的点，则的最大值为．例67．（2023·高二单元测试）当实数k变化时，直线到直线的距离的最大值是.例68．（2023·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值.经典题型六：直线与坐标轴围成的面积问题例69．（2023·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知直线的横截距为m，且在x轴，y轴上的截距之和为4.(1)若直线的斜率为2，求实数的值；(2)若直线分别与轴、轴的正半轴分别交于两点，是坐标原点，求面积的最大值及此时直线的方程.例70．（2023·山西·高二校联考开学考试）已知直线：恒过点，且与轴，轴分别交于，两点，为坐标原点.(1)求点的坐标；(2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程；(3)当取得最小值时，求的面积.例71．（2023·高二课时练习）过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于A，B两点，求（O为坐标原点）面积取得最小值时的直线方程．例72．（2023·全国·高二专题练习）过点作直线分别交，的正半轴于，两点．

(1)求面积的最小值及相应的直线的方程；(2)当取最小值时，求直线的方程；(3)当取最小值时，求直线的方程．例73．（2023·全国·高二专题练习）直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．(1)若直线l与2x+3y﹣2＝0法向量平行，写出直线l的方程；(2)求△AOB面积的最小值；(3)如图，若点P分向量AB所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标．例74．（2023·高二课时练习）已知直线经过点，且与轴、轴的正半轴分别交于点A、点，是坐标原点.(1)当的面积最小时，求直线的一般式方程；(2)当取最小值时，求直线的一般式方程，并求此最小值．例75．（2023·山东潍坊·高二统考期中）已知直线经过点，且与轴､轴的正半轴交于两点，是坐标原点，若满足__________.(1)求直线的一般式方程；(2)已知点为直线上一动点，求最小值.试从①直线的方向向量为；②直线经过与的交点；③的面积是4，这三个条件中，任选一个补充在上面问题的横线中，并解答.注：若选择两个或两个以上选项分别解答，则按第一个解答计分.例76．（2023·全国·高二专题练习）已知直线(1)若直线的倾斜角，求实数m的取值范围；(2)若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求面积的最小值及此时直线l的方程．例77．（2023·四川成都·高二校考阶段练习）已知直线.(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围；(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，求面积的最小值.经典题型七：点线对称、线点对称、线线对称问题例78．（2023·四川成都·高二成都七中校考期中）已知直线​的方程为​，点​的坐标为​.(1)若直线与​关于点​对称，求​的方程;(2)若点​与​关于直线​对称，求​的坐标.例79．（2023·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第六中学校考阶段练习）已知点，直线.求：(1)直线l关于点A的对称直线的方程；(2)直线关于直线l的对称直线的方程.例80．（2023·高二课时练习）已知直线，点．(1)求点关于直线的对称点；(2)求直线，关于点的对称直线的方程．例81．（2023·全国·高二课堂例题）已知不同的两点与关于点对称，则（

）A． B．14 C． D．5例82．（2023·全国·高二专题练习）若直线和直线关于直线对称，则直线恒过定点（

）A． B． C． D．例83．（2023·四川泸州·高二统考期末）点与点关于直线l对称，则l的方程是（

）A． B． C． D．例84．（2023·全国·高二专题练习）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（）A． B．C． D．例85．（2023·四川广安·高二统考期末）已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（

）A． B．C． D．例86．（2023·重庆北碚·高二统考期末）若直线与直线关于点对称，则直线恒过的定点为（

）A． B． C． D．例87．（2023·全国·高二专题练习）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（

）A． B． C． D．例88．（2023·江苏扬州·高二仪征中学校考期中）已知点、，若、关于直线对称，则实数的值是（

）A．3 B．1 C． D．例89．（2023·江苏南京·高二统考期中）直线与直线关于直线对称，则直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．例90．（2023·江西南昌·高二南昌二中阶段练习）已知直线与关于直线对称，与垂直，则A． B． C． D．2例91．（2023·高二课时练习）已知直线：，若直线与关于直线对称，则直线的斜率为（

）A． B． C．2 D．例92．（2023·全国·高二专题练习）点关于直线的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．模块三：数学思想方法①分类讨论思想例93．过定点A的直线与过定点B的直线交于点，则的值为（

）A． B．10 C．20 D．例94．已知直线的方程是