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上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编二（华二）有一个多项式，除以，商式是，余式是，则该多项式为。解：。（复附）若只能取，且满足，，则。解：设有个，个，个。则，解得∴。（华二）有一张长方形纸片，其长为，宽为，先将这张纸片按下右图的方式拼成矩形，其中两块阴影部分没有被纸片覆盖，这两个阴影部分的面积之差为，当的长改变时，不变，和满足的关系为。解：设，易知，，，，，∴，∵当的长改变时，不变，∴，∴。（上中）有个实数，可以使得为整数？解：设（为自然数）；∴；∵；∴不大于的平方数有个（可取）；则有个实数，可以使得为整数。（上中）设，，则以下四个选项中最接近的整数为（）解：∵；∴，∴最接近的整数为；故选.（复附）如图，⊙是等腰△的内切圆，⊙与⊙外切且与相切，⊙与⊙的半径分别为，求△的面积。解：∵∴∴，∵，∴,∴，∵∴∴.（交附）证明不是有理数。（七年级第二学期第12章阅读材料）证明：假设是一个有理数，那么可以得到，其中为整数，与互素，且，∴，于是有，则是的倍数，在设，则，∴，则是的倍数，可见与不是互素的，与前面所假设的与互素矛盾，因此不是有理数。（交附）如图，分别以△的三边向外作正方形、、，证明：。（八年级第一学期第19章阅读材料二）证明：过点作于点，交于点，连结，。易证△≌△（）∴∵，∴，∴同理可得：∴∴。帕普斯对勾股定理的“推广”：公元前年，古希腊数学家帕普斯证明了勾股定理的一个有趣的变形，他将直角三角形三边上的正方形改成平行四边形，这三个平行四边形的作图方法如下：如图，对于△，分别以两直角边为边，作两个平行四边形；分别延长两个平行四边形中平行与直角边的两边，他们相交于点；作射线，与相交于点，再截取；以为一边作平行四边形，使另一组对边平行且等于。对于以上的作图，试证明：斜边上的平行四边形面积等于两条直角边上的平行四边形的面积的和。证明：如图，延长，交于点.易知四边形为平行四边形，∵□与□同底同高，∴易知四边形为平行四边形，且，∴∴同理可证：∴.（建平）如图，在任意△中，有以下定理成立：（1）（2），，。阅读以上定理，解下面问题：某观测站在目标南偏西方向上，从出发有一条南偏东走向的公路，在处测得公路上与相距千米的处有一人正沿着此公路向走去，走千米到达，此时测得距离为千米，求此人所在处距还有多少千米？解：∴∵∴∵∴∴∴（负值舍去）∴。【备用】已知，，则。解：易知∵∴∴∴正实数满足，设

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