专题13 导数的运算法则在抽象函数中的应用（原卷版）

专题13导数的运算法则在抽象函数中的应用一、考情分析导数与不等式都是高考中的重点与难点,与抽象函数有关的导数问题更是一个难点,求解此类问题的关键是根据导数的运算法则构造合适的函数,再利用导数的运算法则确定所构造函数的性质,最后再利用函数性质求解.二、解题秘籍(一)抽象函数的奇偶性及应用若可导函数是偶（奇）函数，则是奇（偶）函数.【例1】已知函数及其导函数的定义域均为，是偶函数，记，也是偶函数，求的值.【解析】因为是偶函数，所以是奇函数，即，所以，所以，令可得，即，因为为偶函数，所以，即，所以，即，得，所以4是函数的一个周期，所以．(二)和差型抽象函数的应用解答此类问题时一般要根据题意构造辅助函数求解,构造时要结合所求的结论进行分析、选择,然后根据所构造的函数的单调性求解．如给出式子,可构造函数，给出式子,可构造函数，一般地，若给出通常构造函数.【例2】已知的导函数满足且，求不等式的解集．【解析】令，则，∴在上为单调递增．又∵，∴，则可转化为，根据单调性可知不等式的解集为．(三)积型抽象函数的应用若给出形如的式子通常构造函数，如给出可构造函数，如给出，可构造函数，如给出，可构造函数.【例3】设是定义在上的非负可导函数，且满足，当时，证明:.【解析】是定义在上的非负可导函数，且满足，故不为常数函数，且，构造函数，则，在上单调递减，又，且，故，则①，又，所以②，①②两式相乘得，即.【例4】设定义在上的函数的导函数为，若，，求不等式（其中e为自然对数的底数）的解集【解析】设，则,∵，∴,而,故,∴在R上单调递增，又，故，∴的解集为，即不等式的解集为.【例5】定义在上的函数，其导函数是，且恒有成立，比较与的大小.【解析】因为，所以，．由，得．即．令，，则．所以函数在上为增函数，则，即，所以，即．(四)商型抽象函数的应用若给出形如的式子通常构造函数，如给出可构造函数，给出，可构造函数，给出，可构造函数.【例6】已知函数在恒有，其中为函数的导数，若，为锐角三角形两个内角，比较的大小.【解析】设，则所以函数在上单调递增.，为锐角三角形两个内角,则所以，由正弦函数在上单调递增.则所以，即所以.(五)根据构造函数若给出形如的式子通常构造偶函数或奇函数.【例7】设函数在上存在导函数,,有,在上有,若,求实数的取值范围.【解析】因为,所以令即函数为偶函数,因为上有,所以即函数在单调递增；又因为所以即,所以,解得,故选B.(六)信息迁移题中的抽象函数求解此类问题关键是如何利用题中的信息.【例8】已知定义在上的函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数为“线性控制函数”.(1)判断函数和是否为“线性控制函数”，并说明理由；(2)若函数为“线性控制函数”，且在上严格增，设为函数图像上互异的两点，设直线的斜率为，判断命题“”的真假，并说明理由；(3)若函数为“线性控制函数”，且是以为周期的周期函数，证明：对任意都有.【解析】（1），故是“线性控制函数”；，故不是“线性控制函数”.（2）命题为真，理由如下：设，其中由于在上严格增，故，因此由于为“线性控制函数”，故，即令，故，因此在上为减函数，综上所述，，即命题“”为真命题.（3）根据（2）中证明知，对任意都有由于为“线性控制函数”，故，即令，故，因此在上为增函数因此对任意都有，即当时，则恒成立当时，若，则，故若时，则存在使得故1，因此综上所述，对任意都有.（事实上，对任意都有，此处不再赘述）【例9】定义：若曲线C1和曲线C2有公共点P，且在P处的切线相同，则称C1与C2在点P处相切．(1)设．若曲线与曲线在点P处相切，求m的值；(2)设，若圆M：与曲线在点Q（Q在第一象限）处相切，求b的最小值；(3)若函数是定义在R上的连续可导函数，导函数为，且满足和都恒成立.是否存在点P，使得曲线和曲线y=1在点P处相切？证明你的结论．【解析】（1）设点，由，求导得，于是，解得，由，得，解得，所以m的值为9.（2）设切点，由求导得，则切线的斜率为，又圆M：的圆心，直线的斜率为，则由，得，令，求导得，当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，因此当时，，所以当时，.（3）假设存在满足题意，则有，对函数求导得：，于是，即，平方得，即有，因此，整理得，而恒有成立，则有，从而，显然，于是，即与恒成立矛盾，所以假设不成立，即不存在点满足条件.三、典例展示【例1】已知函数的定义域为，导函数为，若恒成立，求证：.【解析】设函数，因为，，所以，则，所以在上单调递减，从而,即，所以.【例2】已知函数满足，且，判断函数零点的个数.【解析】，∴，，∵代入，得，∴.或，；，如图所示，函数与函数的图像交点个数为2个，所以的解得个数为2个；综上，零点个数为3个.【例3】已知函数的导函数为，若，且，求不等式的解集【解析】令，则，在上递增，，，由，化为，即，，即不等式的解集为.【例4】已知定义在R上的函数的导数为,且满足,当时,求不等式的解集.【解析】设,则,所以=,所以是偶函数,设,则,所以,即,所以时,所以时,在上是增函数,所以,故选C.【例5】已知定义域为的函数，其导函数为，满足对任意的都有.(1)若，求实数a的取值范围；(2)若存在，对任意，成立，试判断函数的零点个数，并说明理由；(3)若存在a、，使得，证明：对任意的实数、，都有.【解析】（1）若，则，由题意，对任意的都有，则，即，所以，由于的最小值为，的最大值为，所以，即实数a的取值范围为；（2）依题意，，所以，在上为减函数，所以至多一个零点；，，当时，，当时，，所以存在零点，综上存在1个零点；（3）因为，由导数的定义得，即，不妨设若，则若，则.【例6】若定义域为D的函数使得是定义域为D的严格增函数，则称是一个“T函数”．(1)分别判断，是否为T函数，并说明理由；(2)已知常数，若定义在上的函数是T函数，证明：；(3)已知T函数的定义域为，不等式的解集为．证明：在上严格增．【解析】（1），定义域为，则是在上严格单调递增函数，则是“T函数”；，定义域为，则不是在上严格单调递增函数，则不是“T函数”；（2）定义在上的函数是T函数，则在上严格单调递增，设，则，故在上单调递增，故，即，（3）T函数的定义域为，故在上严格单调递增，，设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，故，即，当时，恒成立，则恒成立，故，若存在，使，则当时，，这与，矛盾，故不存在使，故恒成立，故在上严格增.四、跟踪检测1.函数满足（为自然数的底数），且当时，都有（为的导数），比较的大小.2.设函数在R上可导，其导函数为，且．求证：. 3.定义在上的函数有不等式恒成立，其中为函数的导函数，求证：.4．已知为定义域上函数的导函数，且，，且，求不等式的解集5.定义在区间上函数使不等式恒成立，（为的导数），求的取值范围.6.设是定义在上的奇函数.若是严格减函数，则称为“函数”.(1)分别判断和是否为函数，并说明理由；(2)若是函数，求正数的取值范围；(3)已知奇函数及其导函数定义域均为.判断“在上严格减”是“为函数”