专题10 切线问题（解析版）

专题10切线问题一、考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点,用导数研究曲线的切线是一个主要命题点,如2023年高考全国卷已卷在解答题中考查曲线的切线问题,曲线的切线内容主要涉及求曲线的斜率与方程、曲线的条数、公切线问题,确定切线满足条件的切线是否存在或由切线满足条件求参数或参数范围等.二、解题秘籍(一)求曲线在某点处的切线求以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简．【例1】（2024届陕西省榆林市府谷县高三上学期第一次联考）已知函数（）．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性．【解析】（1）若，则，所以，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2），当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增当时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，由在上恒成立，所以在上单调递增；当时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．(二)求曲线过某点的切线求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x0,y0),解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切点(x0,y0),进而确定切线方程．【例2】（2024届重庆市第一中学高三上学期开学考试）已知函数.(1)设，经过点作函数图像的切线，求切线的方程；(2)若函数有极大值，无最大值，求实数的取值范围.【解析】（1）时，设切点为，则切线斜率为，切线方程：，将点带入得：，此时斜率，所以切线方程为.（2）函数的定义域为，令，则（1）当时在单调递增，注意到时，，注意到时，，故存在，使得，在时单调递减，在时，单调递增，函数有极小值，无极大值，不符合题意.（2）当时，令，令，所以在单调递增，在单调递减.当时，当时，所以，若，则恒成立，在单调递减，无极值和最值.若，即，此时存在，使得，且在有单调递减；在有单调递增，此时为的极大值.注意到时，要使无最大值，则还应满足，即，同时，带入整理得.由于，且在单调递减，故，即，综上实数的取值范围为.(三)求曲线的切线条数求曲线切线的条数一般是设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,把切线条数问题转化为关于t的方程的实根个数问题.【例3】（2024届江苏省南通市如东县高三上学期期初学情检测）已知是函数的极值点.(1)求的极值；(2)证明：过点可以作曲线的两条切线.【解析】（1）因为，所以.因为是函数的极值点，所以，所以.即，易知当时，；当或时，；因为在上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以当时，取得极大值；当时，取得极小值.（2）设切点，则切线方程是.代入得，整理得.设，则.易知在上单调递减，上单调递增，上单调递减，上单调递增，又因，所以在上有且只有一个零点.又因为，，所以在上有且只有一个等点.又因为当时，，所以在上没有零点；即有且仅有两个零点，也即过点可以作曲线的两条切线.综上可知，命题得证.(四)曲线的公切线研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线.【例4】（2024届湖南省长沙市第一中学高三上学期月考）已知函数.(1)若.求证：；(2)若函数与函数存在两条公切线，求整数的最小值.【解析】（1）当时，，令，则，令，因为，所以在区间上单调递增，且，所以存在，满足，当时，单调递减；当时，单调递增；则当时，取得最小值，可得，因为，所以不成立，故等号不成立，则，所以当时，.（2）设公切线与两函数的图象分别相切于点和点，因为，所以直线的方程可表示为或，则有，①，②由①可得，代入②可得，即，令，则，令，则，，所以由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，又，根据零点存在定理知，存在，使得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.因为在上单调递增，所以，则，又为整数，所以，故所求整数的最小值是.(五)确定满足条件的切线是否存在或根据切线满足条件求参数的值或范围此类问题或判断符合条件的切线是否存在,或根据切线满足条件求参数的值或范围,求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数,再根据方程根的情况或函数性质去求解.【例5】已知函数,(1)若直线与曲线和分别交于两点且曲线在处的切线与在处的切线相互平行,求的取值范围；(2)设在其定义域内有两个不同的极值点且.已知,若不等式恒成立,求的取值范围.【解析】(1),,,；在处的切线与在处的切线相互平行,,即在上有解,则问题等价于与在上有交点,当直线与相切时,设切点为,,,解得：,；由图象可知：当,即时,与在上有交点,实数的取值范围为.(2),；是的两个极值点,,,；,,则由得：,,即,；令,则；令,则；①当时,恒成立,在上单调递增,,即恒成立,满足题意；②当时,若,则,在上单调递减,此时,即,不合题意；综上所述：若不等式恒成立,则,又,,即的取值范围为.三、典例展示【例1】（2024届河南省新未来高三上学9月联考）已知函数.(1)若的图缘在点处的切线经过点，求；(2)为的极值点，若，求实数的取值范围.【解析】（1）函数，求导得，于是函数的图象在点处的切线方程为，即，而切线过点，因此，整理得，解得或，所以或.（2）由（1）知，方程，即有两个不等实根，则，解得，且，于是，由，得，解得，因此，所以实数的取值范围是.【例2】（2022高考全国卷甲文）已知函数,曲线在点处的切线也是曲线的切线．（1）若,求a；（2）求a的取值范围．【解析】（1）由题意知,,,,则在点处的切线方程为,即,设该切线与切于点,,则,解得,则,解得.（2）因为,所以在点处的切线方程为,整理得,设该切线与切于点,,则,则切线方程为,整理得,则,整理得,（另法：求出在点处的切线方程后代入解析式,用求解）令,则,令,解得或,令,解得或,则变化时,的变化情况如下表：01000则的值域为,故的取值范围为.【例3】（2024届四川省成都市第七中学高三上学期入学考试）已知函数有三个零点（）.(1)求a的取值范围；(2)过点与分别作的切线，两切线交于M点，求M点到y轴的距离.【解析】（1）由得，当时，，则在上单调递增，函数至多一个零点，不符合题意；当时，由题意只需使在有两个异号根即可，所以，解得；综上，.（2）当时，.又，故，.又知当时，有，所以，即，故.又，所以在处的切线方程为，所以在处的切线方程为，联立整理得两直线交点横坐标.故M点到y轴的距离0.【例4】（2024届黑龙江省实验中学高三上学期月考）已知函数.(1)若曲线在点处的切线与轴，轴分别交于点，，求的面积（为坐标原点）；(2)求与曲线相切，并过点的直线方程.【解析】（1）∵，∴，又，∴在处的切线方程为：，即，∴可得，，∴；（2）设过点的直线与相切于点，由，∴，∴切线方程为：又切线过点，∴，解得：，∴所求切线方程为：，即.【例5】（2024届江苏省南通市高三上学期质量监测）已知函数的极小值为，其导函数的图象经过，两点.(1)求的解析式；(2)若曲线恰有三条过点的切线，求实数的取值范围.【解析】（1），因为，且的图象经过，两点.所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以在处取得极小值，所以，又因为，，所以，，解方程组得，，，所以.（2）设切点为，则，因为，所以，所以切线方程为，将代入上式，得.因为曲线恰有三条过点的切线，所以方程有三个不同实数解.记，则导函数，令，得或1.列表：01+0-0+↗极大↘极小↗所以的极大值为，的极小值为，所以，解得.故的取值范围是.【例6】（2023届湖北省九校教研协作体高三上学期起点考试）设函数．(1)求的单调区间；(2)已知,曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：（ⅰ）若,则；（ⅱ）若,则．（注：是自然对数的底数）【解析】（1）,当,；当,,故的减区间为,的增区间为.（2）（ⅰ）因为过有三条不同的切线,设切点为,故,故方程有3个不同的根,该方程可整理为,设,则,当或时,；当时,,故在上为减函数,在上为增函数,因为有3个不同的零点,故且,故且,整理得到：且,此时,设,则,故为上的减函数,故,故.（ⅱ）当时,同（ⅰ）中讨论可得：故在上为减函数,在上为增函数,不妨设,则,因为有3个不同的零点,故且,故且,整理得到：,因为,故,又,设,,则方程即为：即为,记则为有三个不同的根,设,,要证：,即证,即证：,即证：,即证：,而且,故,故,故即证：,即证：即证：,记,则,设,则即,故在上为增函数,故,所以,记,则,所以在为增函数,故,故即,故原不等式得证：四、跟踪检测1．（2024届福建省莆田哲理中学高三上学期月考）已知函数，.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)试讨论函数的单调性.【解析】（1）因为，所以，则，切点为又因为所以，即所以曲线在点处的切线方程是，即.（2）因为，，所以，当时，，则在上单调递减；当时，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增2．（2024届四川省成都市蓉城联盟高三上学期联考）已知函数．(1)求过原点的切线方程；(2)证明：当时，对任意的正实数，都有不等式恒成立．【解析】（1）因为，，设切点为，所以切线斜率为，切线为，将点代入切线解得，故切线方程为；（2）令，，则原不等式即为，显然，又，且，再令，则，当时，，，所以恒成立，当时，，所以当时，恒有，所以在区间上为增函数，即在区间上为增函数，因为当时，有，所以在上为增函数，所以，不等式恒成立．3．（2024届辽宁省名校联盟高三上学期9月联考）已知函数，．(1)若，，求a的取值范围；(2)设函数，，若斜率为1的直线与曲线，都相切，求b的值．【解析】（1）解：由题意，，得，即在时有解．设，则，易知．令，则，所以单调递增，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以，所以．（2）由题意得，所以，令，解得，，所以直线与的两个切点坐标分别为，，所以切线方程分别为和．令，得，令，解得或．令，得，令，无解．经检验，直线与的两个切点坐标分别为，，综上，或．4．（2024届四川省成都市石室中学高三上学期开学考试）设．(1)证明：的图象与直线有且只有一个横坐标为的公共点，且；(2)求所有的实数，使得直线与函数的图象相切；(3)设（其中由（1）给出），且，，求的最大值．【解析】（1）考虑函数，在上单调递增，且，．因此有且只有使得，即的图象与直线有且只有一个公共点，且该公共点的横坐标为．（2），．设是的图象上一点，则该点处的切线为，整理得．令，解得或．因此与与函数的图象相切．因此所求实数的值为或．（3）设，则．设，则．当时，；当时，．因此在上单调递增，在上单调递减．从而在上单调递增，上单调递减．注意到，故当时，当时，因此在上单调递减，在上单调递增．所以当时，．另一方面，注意到，故必然存在，使得，且当时，当时．因此在上单调递减，在上单调递增．显然，而．因此当时，．综上可知当时，即，当且仅当时等号成立．由于，故当，即时，，当且仅当，即时等号成立．因此，当且仅当时等号成立．因此的最大值为．5．（2023届河南省部分学校高三押题信息卷）已知函数．(1)求证：曲线仅有一条过原点的切线；(2)若时，关于的方程有唯一解，求实数的取值范围．【解析】（1）的定义域为，，设切点，则切线方程为，当切线过原点时有，即，故，因为，所以，即切点有且只有一个，则曲线仅有一条过原点的切线，即得证.（2）关于的方程有唯一解，即方程，有唯一解，令，则.因为，故当，即时，，函数单调递增，且当时，，当时，.易知的图象与直线有且仅有一个交点，满足题意，此时；当，即时，设有两个根，，则，，故.①若，则当时，单调递增；当时，单调递减，且当时，，当时，.故要使得有唯一解，则或恒成立.此时，即，，.则极大值，令，则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以，又恒成立，故，；同理，极小值，当时无最小值，此时无实数使得恒成立.②若，则，，不满足；③若，由①可得；故当时，.综上所述：当时，；当时，.6．（2023届四川省成都市四七九名校高三全真模拟）已知函数在处的切线与y轴垂直.（其中是自然对数的底数）(1)求实数的值；(2)设，，当时，求证：函数在的图象恒在函数的图象的上方.【解析】（1）由，求导可得，则在处切线斜率为，由在处的切线与轴垂直，则，解得.（2）要证：函数在的图象恒在函数的图象的上方，只需证：在恒成立，不等式，由，，则，化简为，令，求导可得，令，则，令，解得，最小值，由，则，所以在单调递增，则，故在恒成立.7．（2024届陕西省汉中市高三上学期联考）已知函数．(1)若曲线在点处的切线方程为，求的值；(2)当时，求在上的最大值．【解析】（1）由，得，，又曲线在点处的切线方程为，故，．（2）当时，，由、在上分别单调递增、单调递减可得：在上单调递增，而，，使得，故在上单调递减，在上单调递增，又，在上的最大值为．8．（2024届西省赣州市第四中学高三上学期考试）设m为实数，函数.(1)当时，直线是曲线的切线，求的最小值；(2)已函数有两个不同的零点，（），若，且恒成立，求实数的范围.【解析】（1）当时，，∴，设切点为，则切线斜率，∴切线方程为，∴，，∴，令，则，由，可得；由，可得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，即的最小值为；（2）∵有两个不同的零点，（），∴，，，∴，∴，设，则，又，∴，将代入上式可得：恒成立，又，则，∴恒成立，设，，则，，（ⅰ）当时，，∴，∴在上单调递减，恒成立，∴；（ⅱ）当时，∵，∴时，，在上单调递减；时，，在上单调递增，∴时，，综上可得.9．（2024届湖北省武汉市江汉区高三上学期考试）已知，函数．(1)讨论的单调性；(2)求证：存在，使得直线与函数的图像相切．【解析】（1）的定义域是，，当时，恒成立，在单调递增；当时，令，则，显然成立，解得：，，当时，；当时，，的增区间是和，减区间是．（2），则，设切点坐标为．由直线与函数的图象相切，则，解得：．显然直线过原点，则，所以．整理得，即：，得：．设，．当时，，递减，当时，，递增．又，．所以存在，使得．存在，使得直线与函数的图像相切．10．（2023届重庆市巴蜀中学高三上学期适应性月考）已知函数在时取得极小值,其中是自然对数的底数.(1)求实数、的值；(2)若曲线在点处的切线过原点,求实数的值.【解析】（1）解：因为,该函数的定义域为,则,由已知可得,解得.此时,,由可得,当时,,此时函数单调递减,当时,,此时函数单调递增,合乎题意.综上,,.（2）解：曲线在点处的切线方程为,将原点坐标代入切线方程可得,即,解得.11.已知（e为自然对数的底数,）.(1)对任意,证明：的图象在点处的切线始终过定点；(2)若恒成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为,所以,,所以.所以的图象在点处的切线为经过定点.即的图象在点处的切线始终过定点.(2)因为恒成立,即为对恒成立.记,只需..不妨设.因为,所以在上单增,当时,；当时,,故在存在唯一零点,记.因为.令,解得：；令,解得：；所以在上单减,在上单增,所以.所以.而,所以,所以.当且仅当即时等号成立,即,所以.解得：,即实数a的取值范围为.12.已知函数(1)若在时取得极小值,求实数k的值；(2)若过点可以作出函数的两条切线,求证：【解析】(1)解：∴,∴当时,令,得∴在单调递减,在单调递增,所以在时取得极小值,∴(2)证明：设切点为,∴切线为,又切线过点,∴∴,(*)设则∴在单词递减,在单调递增.∵过点可作的两条切线,∴方程(*)有两解∴,由,得∴,即.13.已知函数,.(1)若与在处有相同的切线,求实数的值；(2)当,时,求证：.【解析】(1),；,,解得：.(2)由题意得：,令,与在上单调递增,在上单调递增,；令,则；令,则,在上单调递增,,即,在上单调递增,,.综上所述：.14.已知函数,其中.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若过点P(1,0)且与曲线相切的直线有且仅有两条,求实数a的取值范围.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),．①当时,,f(x)在(0,+)上单调递增；②当时,,令可得,令可得,∴f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减；综上所述,当时,f(x)在(0,+)上单调递增；当a<0时,f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减．(2)设切点为,m>0,则在点Q处的切线方程：,将P(1,0)的坐标代入得：,整理为：,令,x>0,若过点P(1,0)且与曲线)相切的直线有且仅有两条,相当于函数y=g(x)的图像和函数y=-a+1