7.2 空间几何体积与表面积（精讲）（教师版）

7.2空间几何体积与表面积（精讲）一．空间几何体的结构特征1.多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2.常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系3.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆面侧面展开图矩形扇形扇环二．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l三．柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3四．直观图1.画法：常用斜二测画法.2.规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.五．平面有关的基本事实及推论1.与平面有关的三个基本事实基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l2.基本事实1的三个推论推论内容图形作用推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面确定平面的依据推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面3.基本事实4和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.六．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α一.空间几何体表面积的求法1.旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.2.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.二.求空间几何体的体积的常用方法(1)公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解；(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体；(3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积.三．立体中的截面、截线1.作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线.作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有：(1)确定平面的条件；(2)三线共点的条件；(3)面面平行的性质定理．2.作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.四．证明点或线共面问题的2种方法1.先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；2.直接证明这些点都在同一条特定直线上．3．证明线共点问题的常用方法;先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．考法一基本立体图形【例1-1】（2023春·河北石家庄）（多选）下列说法中不正确的是（

）A．正四棱柱一定是正方体B．圆柱的母线和它的轴不一定平行C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥【答案】ABD【解析】对A：正方体一定是四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故A错误，对B：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故B错误；对C：由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确；对D：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故D错误．故选：ABD．【例1-2】（2023浙江省台州市）已知圆柱体的底面半径为，高为，一只蜗牛从圆柱体底部开始爬行，绕圆柱体4圈到达顶部，则蜗牛爬行的最短路径长为______．【答案】【解析】根据题意，从圆柱底部点绕圆柱体的侧面旋转4圈到达顶部的点，沿将侧面展开后，最短路程，如图所示，其中矩形的高等于圆柱的高，矩形的宽等于圆柱的底面圆的周长的4倍，即，所以蜗牛爬行的最短路径为.故答案为：.【例1-3】（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）（多选）正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则（

）

A．为锐角三角形B．的面积为C．的周长为D．的面积为【答案】CD【解析】如图，因为正三角形的边长为，故，所以，，在中，，由余弦定理得，,在中，，由余弦定理得，,选项A，在中，因为，由余弦定理知，故选项A错误；选项B和D，，故选项B错误，选项D正确；选项C，的周长为，故选项C正确.

故选：CD.【一隅三反】1．（2023春·福建南平）（多选）下列命题正确的（

）A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形B．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．用平面截圆柱，得到的截面可以是等腰梯形D．底面是正方形，两个侧面是矩形的四棱柱是正四棱柱【答案】AC【解析】棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，则A选项正确；两个面平行，其余各面都是梯形的多面体，不一定是棱台，还需强调所有梯形的两腰延长线都交于同一点，则B选项错误；用平面截圆柱得到的截面可能是圆、矩形、等腰梯形，则C选项正确；底面是正方形，两个侧面是矩形的四棱柱，可能为斜棱柱，则D选项错误．故选：AC．2．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（

）

A．面积为的矩形 B．面积为的矩形C．面积为的菱形 D．面积为的菱形【答案】C【解析】，所以，故在原图中，，，所以四边形为菱形(如图所示)，，则原图形面积为.

故选：C.3（2023·全国·高三专题练习）如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（

）A． B． C．6 D．【答案】B【解析】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点的最短距离为，设，圆锥底面周长为，所以，所以，在中，由，得故选：B．4（2023广东）如图，正三棱锥P﹣ABC的顶点P为圆柱OO1的上底面的中心，底面ABC为圆柱下底面的内接等边三角形，四边形DEFG为圆柱的轴截面，BODG，，.现有一机器人从点A处开始沿圆柱的表面到达E点，再到达点P处，再从P处沿正三棱锥P﹣ABC的表面返回A处，则其最短的路程约为___________.(参考数据：，结果精确到)【答案】【解析】因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以（劣弧）的长为，由图可知，当从到经过的路程最短时，总路程最短，将圆柱侧面展开，从到的最短距离为线段的长度，此时，所以最短路程为，故答案为：.考法二表面积【例2-1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为6cm，上､下底面圆的半径分别为4cm和2cm.为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为（不考虑水杯材质和杯套的厚度）（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，杯套的形状可看作一个圆台，且该圆台的母线长是圆台形水杯的母线长的，即4cm，下底面圆的半径为圆台形水杯的下底面圆的半径，即2cm，上底面圆的半径是，所以杯套的表面积.故选：C.【例2-2】．（2023·山东烟台·统考三模）已知底面半径为的圆锥，其轴截面为正三角形，若它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图作出圆锥的轴截面，依题意，，，所以，易知，则，所以，即圆锥的内接圆柱的底面半径，高，所以圆柱的侧面积.故选：C【例2-3】（2023·河北·统考模拟预测）柷（zhù），是一种古代打击乐器，迄今已有四千多年的历史，柷的上方形状犹如四方形木斗，上宽下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞击其内壁发声，表示乐曲将开始.如图，某柷（含底座）高，上口正方形边长，下口正方形边长，底座可近似地看作是底面边长比下口边长长，高为的正四棱柱，则该柷（含底座）的侧面积约为（）（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】如图正四棱台中，连接，，过点、分别作、，交于点、，依题意，，，则，所以，所以正四棱台的斜高为，所以正四棱台的侧面积，又正四棱柱的侧面积，所以该柷（含底座）的侧面积约为；故选：B

【一隅三反】1．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知圆锥SO的母线长为2，AB是圆O的直径，点M是SA的中点．若侧面展开图中，为直角三角形，则该圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，且为直角三角形，则，又因为为的中点，则，可得为等边三角形，即，则侧面展开图的圆心角为所以该圆锥的侧面积.故选：C.2．（2023·河北·统考模拟预测）《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成的正四棱台（如图所示），其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高为棱台上底面边长的倍.已知方亭的体积为，则该方亭的表面积约为（

）（，，）A． B． C． D．【答案】C【解析】设方亭相应的正四棱台的上底面边长，则，棱台的高，所以，解得，所以正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，棱台的高为，所以方亭的斜高为，由于各侧面均为相等的等腰梯形，所以，所以方亭的表面积.故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）如图，将一个圆柱等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”．若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，设圆柱的底面半径为，高为，则，所以圆柱的侧面积为．故选：A.4．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围如图，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分除去两个球冠如图，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为，球冠的高为，则球冠的面积已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则围成该灯笼所需布料的面积为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意得圆柱的底面圆直径为，半径为，即球冠底面圆半径为.已知该灯笼的高为，圆柱的高为，所以该灯笼去掉圆柱部分的高为，所以，得，，所以两个球冠的表面积之和为，灯笼中间球面的表面积为．因为上下两个圆柱的侧面积之和为，所以围成该灯笼所需布料的面积为．故选：B．考法三体积【例3-1】（2023·山东潍坊·三模）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：“有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？”按照上述方法，截得的该正四棱台的体积为（

）（注：1丈尺）A．11676立方尺 B．3892立方尺C．立方尺 D．立方尺【答案】B【解析】如图所示，正四棱锥的下底边长为二丈，即尺，高三丈，即尺；截去一段后，得正四棱台，且上底边长为尺，所以，解得，所以该正四棱台的体积是（立方尺）．故选：．【例3-2】．（2023·全国·高三对口高考）如图，四棱锥中，底面，，E是的中点．

(1)求证：；(2)求证：面；(3)若，求三棱锥体积．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)【解析】（1）由平面，平面，可得，又平面，则平面，又平面，则.（2）连接，△中，，则，又E是的中点，则，又，平面，可得平面，又平面，则，由平面，平面，可得，又平面，则平面，又平面，则,又，，平面，则平面.

（3）△中，，则，在△中，过点C作于N，则，又由平面，平面，可得平面平面，又平面平面，则平面，则点C到平面的距离为，又E是的中点，则点E到平面的距离为，则

【一隅三反】1．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知圆台上下底面半径之比为1：2，母线与底面所成的角为60°，其侧面面积为54π，则该圆台的体积为（

）A．56π B．63π C． D．【答案】C【解析】圆台轴截面如图，则，∴.圆台高，∴.

故选：C2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，四边形与四边形是全等的矩形，，若是的中点.

(1)求证：平面平面；(2)如果，求三棱锥与多面体的体积比值.【答案】(1)证明见解析(2).【解析】（1）由题意证明如下：∵，所以，又因为，且，面，面∴平面，又平面，所以.，即，所以，所以，同理，所以，即.又由于，∴，∵，平面，平面，所以平面，∵平面，∴平面平面.（2）由题意及（1）得，几何体为直三棱柱，，∵，，∴，而，∴.3．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，已知底面为梯形，，，.(1)证明：.(2)若平面，，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）因为，，由余弦定理得，所以，则，因为平面平面，且相交于，面，所以平面，平面，所以.（2）因为平面，所以，由平面，则，故，在△中，，，设点到平面的距离为，所以，解得，即点到平面的距离为.4．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）如图；在直三棱柱中，，，，点D为AB的中点．

(1)求证；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)8【解析】（1）在中，因为，，，所以，所以为直角三角形，即，又因为在直三棱柱中，平面，且平面，所以，又，平面，所以平面，又因为平面，所以．（2）在中，过C作，F为垂足，

由直三棱柱得平面平面，且平面平面，，平面，所以平面，在中，，又因为，所以．5．（2023·贵州·校联考模拟预测）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体.如图，在羡除中，底面是边长为2的正方形，.(1)证明：平面平面.(2)求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2).【解析】（1）分别取和的中点，连接，因为底面是边长为2的正方形，，所以.在梯形中，，分别作垂直于，垂足分别为，则，故由勾股定理得，所以，易知，故.又，所以，因为，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.

（2）连接.因为，所以四边形的面积，所以.因为，平面，所以平面，因为平面，所以.因为，平面，所以平面，且.因为，所以，即四棱锥的体积为.考法四截面、截线【例4-1】（2023春·河北邯郸）（多选）用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是（）A．锐角三角形 B．直角梯形C．正五边形 D．六边形【答案】BC【解析】对于A：截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形.

如图所示的截面三角形.设，所以，，.所以由余弦定理得：所以为锐角.同理可求：为锐角，为锐角.所以为锐角三角形.故A正确.对于B：截面图形如果是四边形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形，可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形.

B选对于C：当截面为五边形时，不可能出现正五边形.对于D，当截面过棱的中点时，如图，即截面为正六边形.

故选：BC.【例4-2】（2023·全国·高三对口高考）正四棱锥的底面边长为2，高为2，E是边的中点，动点P在表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为（

）A． B． C．4 D．【答案】A【解析】如图，设交于，连接，由正四棱锥的性质可得，平面，因为平面，故.又，，平面，故平面.由题意，则动点P的轨迹为过E且垂直的平面与正四棱锥的交线，即如图，则平面.由线面垂直的性质可得平面平面，又由面面平行的性质可得，，，又E是边的中点，故分别为的中位线.由题意，故.即动点P的轨迹的周长为.

故选：A【例4-3】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）直三棱柱中，，P为BC中点，，Q为上一点，，则经过A，P，Q三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是（

）A． B．4 C． D．5【答案】C【解析】如图，在上取点M，使得，取的中点N，连接，则，又，所以，得A、P、M、Q四点共面，又，为BC的中点，所以，由，得，又平面，所以平面，由平面，得，所以截面为直角梯形APQM，且，得，所以，作于D，则，所以.故选：C．【一隅三反】1．（2023·海南海口·校联考一模）如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为45°，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若点P在正方形内，过点P作平面于，连接.则为直线与平面所成的角，则，又，则，则，则点的轨迹为以为圆心半径为2的圆（落在正方形内的部分），若点P在正方形内或内，轨迹分别为线段，因为点P不可能落在其他三个正方形内，所以点的轨迹长度为.故选：A2（2023·河南洛阳·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，SC的中点为E，过点E做与SC垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】连接，由题意可得：，即为等边三角形，且E为SC的中点，可得，故平面，连接，设，连接，可得平面，且平面，则，，平面，所以平面，平面，则，在直线取一点，连接，使得，在中，，因为，可得，故，同理在棱取一点，使得，连接，则，故平面截正四棱锥所得的截面面为四边形，因为，则//，由，可得，所以四边形的面积.故选：A.3．（2023·河北衡水·模拟预测）已知正方体的棱长为分别为棱的中点，点是棱上靠近点的三等分点，则平面截该正方体所得截面的面积为（

）A． B． C．10 D．12【答案】B【解析】如图所示，分别是中点，则，作，交于，连接，并延长交的延长线于点，连接，并延长交的延长线于点，连接交于点，交于点，则为过三点的截面.由面面平行的性质定理得，从而有，，则，因为是中点，，所以，又因为，所以，同理，梯形是等腰梯形，且梯形与梯形全等，高为，截面面积.故选：B.考法五空间几何题中的最值【例5-1】（2023·四川·校联考模拟预测）已知三棱锥各顶点均在以为直径的球面上，，是以为斜边的直角三角形，则当面积最大时，该三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，设为的外心，则为的中点，又设，中边上的高为.

由已知，，，当且仅当等号成立，即当时，面积取得最大值4.此时，.显然，的最大值等于，故，即三棱锥体积的最大值为.故选：A【例5-2】（2023·上海·统考模拟预测）若矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值为____．【答案】【解析】如图所示，不妨设矩形的长与宽分别为，，旋转形成的圆柱的底面半径为，母线长，则，即，，得，当且仅当时取等号，旋转形成的圆柱的侧面积，旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为．故答案为：．【一隅三反】1．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知长方体的外接球的表面积为，，点P在四边形内，且直线BP与平面所成角为，则长方体的体积最大时，动点P的轨迹长为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为长方体的外接球的表面积为，设外接球的半径为，所以，解得或（舍去），即外接球的直径为，设，，则，可得，所以，当且仅当时，等号成立．如图，设，相交于点，因为，，平面，所以平面，直线与平面所成角为，所以，故，则点的轨迹是以为圆心，半径的半圆弧，所以动点的轨迹长为．故选：C2．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）已知正方形ABCD的边长是1，将沿对角线AC折到的位置，使（折叠后）A、、C、D四点为顶点的三棱锥的体积最大，则此三棱锥的表面积为______．【答案】【解析】在翻折过程中，三棱锥的底面始终是，故当二面角为时，三棱锥的体积最大，如图，取的中点，连结，由题意可知，，，则，且，所以，所以和是边长为1的等边三角形，,和是等腰直角三角形，所以三棱锥的表面积为.

故答案为：3．（2023·全国·高三专题练习）已知球O的半径为，正三棱锥O－ABC的底面的各个顶点均在球O的球面上，当正三棱锥O－ABC的体积取得最大值时，其侧面积为______【答案】【解析】如图，因为正三棱锥的底面的各个顶点均在球的球面上，所以球心在底面上的投影为底面三角形的中心，设边长为，外接圆半径为，因为为正三角形，所以易知，所以，故,易知，所，又，当且仅当，即时，取等号，此时的最大值为，故当正三棱锥O－ABC的体积取得最大值时，边长为4，又，故侧面均为直角三角形，所以正三棱锥O－ABC的侧面积为，故答案为：12.考法六基本事实及应用【例6-1】（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）（多选）已知，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，且，则B．若A，B，C是平面内不共线三点，，，则C．若且，则直线D．若直线，直线，则a与b为异面直线【