9.2 椭圆（精讲）（教师版）

9.2椭圆（精讲）一．椭圆的定义1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．2.焦点：两个定点F1，F2.3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|.4.半焦距：焦距的一半．5.其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.二．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长为2b，长轴长为2a焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点离心率e＝eq\f(c,a)(0＜e＜1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2一.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则1.b≤|OP|≤a；2.a－c≤|PF|≤a＋c.二.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中：(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.三．标准方程1.利用定义法求椭圆标准方程，要注意条件2a＞|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式.2.椭圆的标准方程的两个应用①方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1与eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝λ(λ＞0)有相同的离心率.②与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)共焦点的椭圆系方程为eq\f(x2,a2＋k)＋eq\f(y2,b2＋k)＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便.四．椭圆离心率建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：1.直接求出a，c，利用离心率公式e＝eq\f(c,a)求解．2.由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解．3.构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系式，从而求得e.五．弦长(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|(k≠0)．六．直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数问题；(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．考点一椭圆的定义及应用【例1-1】（2023春·江西·高三统考阶段练习）已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若的周长为4，则（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】设椭圆的焦距为，则，的周长为，解得，故选：D【例1-2】（2023·河南开封·统考三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【解析】由椭圆，得，，.

设，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故选：C.【一隅三反】1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【解析】因为,所以四边形是平行四边形.所以.由椭圆的定义得.所以.故选：C

2．（2024秋·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）椭圆的两焦点分别为，是椭圆上一点，当的面积取得最大值时，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以，所以，则当最大时，面积最大，此时点位于椭圆的上下端点，则，因为，所以，所以.故选：C.

3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意椭圆，为两个焦点，可得，

则①，即，由余弦定理得，，故，②联立①②，解得：，而，所以，即，故选：B考点二椭圆的标准方程【例2】（2023秋·课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在轴上，且经过两个点和；(2)经过点和点Q.(3)两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点；(4)焦点在y轴上，且经过两个点和；(5)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点．【答案】(1)(3)(4)(5)【解析】（1）由于椭圆的焦点在轴上，∴设它的标准方程为，由于椭圆经过点和，∴，故所求椭圆的标准方程为.（2）设椭圆方程为，则，∴椭圆方程为.（3）由题意知，椭圆的焦点在x轴上，可设它的标准方程为，易知，∴，又，∴，故所求椭圆的标准方程为；（4）∵椭圆的焦点在y轴上，∴可设它的标准方程为，∵椭圆经过点和，∴，解之得，故所求椭圆的标准方程为；（5）根据题意可知，又焦点在y轴上，故焦点坐标为，∵椭圆经过点，∴由椭圆的定义可得，即，∴，故椭圆的标准方程为.【一隅三反】1．（2023秋·课时练习）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依题意，方程表示椭圆，则，解得或，即实数m的取值范围是.故选：B2（2023秋·高二课时练习）以下方程表示椭圆的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A选项，方程，即，表示圆，不是椭圆，A选项错误.B选项，方程，即，方程中间是减号，不是椭圆，B选项错误.C选项，方程，即，表示焦点在轴上的椭圆，C选项正确.D选项，方程右边不是，不是椭圆，D选项错误.故选：C3．（2023秋·广东）已知是椭圆的一个焦点，则实数（

）A．6 B．C．24 D．【答案】D【解析】椭圆化为：，显然，有，而椭圆的一个焦点为，因此，所以.故选：D4．（2023秋·高二课时练习）F，A分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是6，且，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．1或D．1或【答案】D【解析】当焦点在x轴上时，，因为，所以，，所以，所以椭圆方程为；同理，当焦点在y轴上时，椭圆方程为.故选：D考点三离心率【例3-1】（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题得，即，由焦距为4得，解得，可得椭圆方程为，所以，，所以离心率为.故选：B.【例3-2】（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知椭圆C的左右焦点分别为，，P，Q为C上两点，，若，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，，.在中得：，即.因此，，，在中得：，故，所以.故选：D【一隅三反】1．（2022秋·广东惠州·高三统考阶段练习）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】椭圆焦点在轴上，，，离心率，解得：.故选：C.2．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为，，点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆，又点总在椭圆内部，该圆内含于椭圆，即，，，．故选：A．

3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【【解析】依题意，直线的斜率为，设，则，且，由两式相减得：，于是，解得，此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求，所以椭圆的离心率.故选：A考点四直线与椭圆的位置关系【例4-1】．（2023秋·课时练习）若直线与椭圆有唯一公共点，则实数．【答案】【解析】直线的方程与椭圆的方程联立，消去，得①.方程①的判别式.因为直线l与椭圆C有唯一公共点．则，解得.故答案为：.【例4-2】（2022·全国·高三专题练习）椭圆上点P(1,1)处的切线方程是．【答案】【解析】∵椭圆，∴y>0时，，∴，∴x＝1时，，即切线斜率，∴椭圆上点P(1,1)处的切线方程是，即．故答案为：．【一隅三反】1．（2023春·上海闵行）直线与椭圆恒有两个不同的交点，则a的取值范围是．【答案】【解析】椭圆长半轴长为，由题意得，则若恒有两个不同的交点，则，故答案为：.2．（2022秋·江西南昌·）如果直线l：与椭圆C：总有公共点，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】直线l：过定点，因为直线l：与椭圆C：总有公共点，所以点在椭圆内部或椭圆上，则有，故答案为：3．（2023·全国·专题练习）直线与椭圆(m>0)有且仅有一个公共点P，则m＝，点P的坐标是.【答案】【解析】法1：联立方程得，得，所以，得，所以.法2：设，则处切线，可化为，比对得，代入椭圆方程得：，得.得，所以，得，所以.法3：椭圆长轴长，焦点.由椭圆的定义知，椭圆上每一个点P，均满足，椭圆上外部的每一个点P，均满足，直线与椭圆有且仅有一个公共点P，则对于直线上任意一点，满足，当且仅当在点处时，等号成立，即当在处时，取得最小值.求得关于直线对称的点为，所以，因此，椭圆方程为，P的坐标是.故答案为：；考点五弦长与中点弦的问题【例5-1】（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，弦被点平分．(1)求直线的方程；(2)求的面积．【答案】(1)(2)【解析】（1）因为弦被点平分，所以设交点坐标则，两式相减得：），所以直线的斜率，故直线的方程为（2），联立椭圆与直线方程得所以，所以，又因为直线过点，所以．

【例5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，，则，，且，，作差得，所以，即直线l的斜率是．故选：C．【一隅三反】1．（2023秋·河南郑州·高三校考开学考试）已知椭圆C：的一个焦点为，且离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)若过椭圆C的左焦点，倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积．【答案】(1)(2)【解析】1）依题意得，，所以，，所以椭圆C的方程为.（2）因为直线的倾斜角为，所以斜率为，又直线过点，所以直线，联立，消去并整理得，，设，，则，，所以，所以.

2．（2023·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为．【答案】【解析】由题意，在椭圆中，一个焦点为，设椭圆的方程为,∴，设直线与椭圆的交点为,弦中点为∵直线截得弦的中点的横坐标为，∴，，∴即∴.∴，解得：∴椭圆的方程为：，故答案为：.故答案为：.

考点六直线与椭圆的综合运用【例6】（2023·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为．【答案】【解析】由题意，在椭圆中，一个焦点为，设椭圆的方程为,∴，设直线与椭圆的交点为,弦中点为∵直线截得弦的中点的横坐标为，∴，，∴即∴.∴，解得：∴椭圆的方程为：，故答案为：.故答案为：.

【一隅三反】1．（2024·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）椭圆的离心率，过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，椭圆的左顶点为，求直线与直线的斜率之积.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：因为椭圆的离心率，所以，即，又因为椭圆过点，所以，又因为，所以，所以椭圆的方程为；（2）如图所示：