7.1 空间几何中的平行与垂直（精练）（教师版）

7.1空间几何中的平行与垂直（精练）1．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面ABC的是（

）A．B． C． D．【答案】D【解析】对于A，由正方体的性质可得，平面ABC，平面ABC，所以直线平面ABC，能满足；

对于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得，平面ABC，平面ABC，所以直线平面ABC，能满足；

对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得，平面ABC，平面ABC，所以直线平面ABC，能满足；

对于D，作出完整的截面，如下图ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足.

故选：D.2．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，现给出下面六个命题：①，，则；②若，，则；③，，则；④若，，则；⑤若，，则；⑥若，，则.其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】，，为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，①，，则，满足直线与直线平行的传递性，所以①正确；②，，则，可能平行，可能相交，也可能异面，所以②不正确；③，，则，可能平行，也可能相交，所以③不正确；④，，则，满足平面与平面平行的性质，所以④正确；⑤，，则或，所以⑤不正确；⑥，，则或，所以⑥不正确；故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足直线BM与平面CNQ平行的是（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】A选项中，由正方体的性质可知，所以直线BM与平面CNQ不平行，故错误；B选项中，因为，故平面CNQ即为平面ACNQ，而，平面CNQ，平面CNQ，所以直线BM与平面CNQ平行，故正确；C选项中，因为，故平面CNQ即为平面BCNQ，则直线BM与平面CNQ相交于点B，故错误；D选项中，假设直线BM与平面CNQ平行，过点M作CQ的平行线交于点D，则点D是在上靠近点的四等分点，由，平面CNQ，平面CNQ，可得平面CNQ，又BM与平面CNQ平行，平面，则平面平面CNQ，而平面与平面，平面CNQ分别交于BD，QN，则BD与QN平行，显然BD与QN不平行，假设错误，所以直线BM与平面CNQ不平行，故错误．故选：B.4．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）在正方体中，下列结论正确的是（

）①；②平面平面；③；④平面.A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【答案】A【解析】因为，所以四边形为平行四边形，故，故①正确；易证，，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，故平面平面，故②正确；由正方体易知，与异面，故③错误；因为，平面，平面，所以平面，故④正确.故选：A5（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】连接交于点，连接，则平面即为平面，

因为，平面，平面，所以，因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，所以，，所以且，所以，又，所以，所以.故选：C.6．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）（多选）已知是两条不相同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（

）A．若是异面直线，，则.B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ACD【解析】对于A，，则平面内必然存在一条直线，使得，并且，同理，在平面内必然存在一条直线，使得，并且，由于是异面直线，与是相交的，n与也是相交的，即平面内存在两条相交的直线，分别与平面平行，，正确；

设，并且，则有，显然是相交的，错误；对于B，若，则不成立，错误；对于C，若，则平面上必然存在一条直线l与n平行，，即，正确；对于D，若，必然存在一个平面，使得，并且，，又，正确；故选:ACD.7．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）（多选）已知点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则下列各图中，直线PQ与RS是平行直线的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【解析】A：如下图，，，由正方体性质知：，所以，故，符合；B：如下图，，，而，所以不平行，不符合；C：如下图，，，而，所以不平行，不符合；D：如下图，，，由正方体性质知：，所以，故，符合；故选：AD8．（2023春·福建）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，现将与折起，使得平面BAE和平面CDE都与平面DAE垂直.求证：平面DAE.

【答案】证明见解析【解析】过点B作于M，过点C作于N，连接MN.

∵平面BAE与平面DAE垂直，平面平面，，平面BAE，∴平面DAE，同理可证平面DAE，∴.又知与全等，∴，∴四边形BCNM是平行四边形，∴.又平面DAE，平面DAE，∴平面DAE.9．（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，，，分别是棱，的中点，证明：平面

【答案】证明见解析【解析】明：取的中点，连接，．

因为，分别是棱，的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为，分别是棱，的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为，平面，且，所以平面平面．因为平面，所以平面．10．（2023·河南洛阳）如图，平面ABCD是圆柱OO₁的轴截面，EF是圆柱的母线，AF∩DE=G，BF∩CE=H，AB=AD=2，求证：GH∥平面ABCD

【答案】证明见解析【解析】由题意知，平面平面，所以平面，因为，所以平面平面，因为平面，所以，又平面，平面，所以平面；11．（2023·青海西宁·统考二模）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，M，N分别为，AC的中点，求证：平面

【答案】证明见解析【解析】取AB的中点为K，连接MK，NK，由三棱柱得：四边形为平行四边形，因为M是中点，则，又平面，平面，故平面，同理得平面，又NK∩MK＝K，平面MKN，平面MKN，故平面平面，平面MKN，故平面；

12．（2023·河北·统考模拟预测）在圆柱中，等腰梯形为底面圆的内接四边形，且，矩形是该圆柱的轴截面，为圆柱的一条母线，，求证：平面平面

【答案】证明见解析【解析】在圆柱中，,平面,平面,故平面；连接，因为等腰梯形为底面圆的内接四边形，，

故，则为正三角形，故，则，平面,平面,故平面；又平面，故平面平面.13．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）如图，在几何体中，四边形是等腰梯形，，分别是，的中点，证明：平面【答案】证明见解析；【解析】取的中点，连接,，因为,分别是,中点，则，而平面平面，于是平面，，同理平面，又平面，因此平面平面，又平面，所以平面.14．（2023春·陕西西安·高三校考阶段练习）如图，在四面体中，点分别为边的中点，点在线段上，证明：平面【答案】证明见解析【解析】因为点分别为边的中点，所以，.因为平面，平面，平面，平面，所以平面，平面.因为平面，平面，，所以平面平面.又平面，所以平面.15．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）如图，矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB．(1)求证：平面AMB//平面DNC；(2)若MC⊥CB，求证：BC⊥AC．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）因为MB//NC，MB面DNC，NC面DNC，所以MB//面DNC．因为AMND是矩形，所以MA//DN，又MA面DNC，DN面DNC，所以MA//面DNC．又MA∩MB=M，且MA、MB平面AMB，所以面AMB//面DNC．（2）因为AMND是矩形，所以AM⊥MN．因为面AMND⊥面MBCN，且面AMND∩面MBCN=MN，AM面AMND，所以AM⊥平面MBCN，而BC平面MBCN，所以AM⊥BC．因为MC⊥BC，MC∩AM=M，MC、AM面AMC，所以BC⊥面AMC，因为AC面AMC，所以BC⊥AC．16．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，在直线上找一点，使得直线平面，并说明理由【答案】当为的中点时平面，理由见解析【解析】如图取的中点，连接、，此时平面，证明如下：因为为棱的中点，所以，平面，平面，所以平面，又，，所以且，所以为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，，平面，所以平面平面，平面，所以平面，即当为的中点时平面.17．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点∴GH是的中位线，∴GHB1C1，又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC，∴B，C，H，G四点共面．（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EFBC，∵平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF平面BCHG，∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，，∴A1GEB，，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1EGB，∵平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E平面BCHG，∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1平面BCHG.18．（2023·安徽）已知四棱锥中，底面为平行四边形，，分别为，的重心，求证：平面【答案】证明见解析【解析】延长交于，延长交于，如图所示：因为分别为和的重心，所以分别为的中点，且，又因为底面为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．19．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点.(1)求证：平面；(2)已知点在上满足平面，求的值.【答案】(1)证明见解析(2)2【解析】（1）证明：连结交于，连结，因在中，为中点，为中点，则FO.又平面，平面，故平面；（2）如图连结交延长线于，连结交于，连结，，，EN.因，则四点共面.又平面，平面平面，则，四边形为平行四边形，可得为中点.则为BG中点.即EN为中位线，则ENPG，.又DN，则四边形EFDN为平行四边形，ENFD.从而FDPG，.20．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）在如图的空间几何体中，是等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，为的中点，证明：平面【答案】证明见解析【解析】法一：证明：取中点为，连接和，则，平面，平面，平面，又，故,即四边形为平行四边形，所以，平面，平面,平面平面，平面平面.又平面平面.法二：取中点，连接,分别是的中点，，又，所以，所以四边形为平行四边形，，又平面平面，平面.21．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的直径，弦上是否存在点D，使得平面，请说明理由；【答案】存在，理由见解析【解析】当点D为的中点时，平面，证明如下：取AB的中点D，连接OD，∵O，D分别为，的中点，则，平面，平面，∴平面，又∵，平面，平面，∴平面，，平面，∴平面平面，由于平面，故平面.22．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.(1)证明：平面；(2)证明：平面平面BEF；【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；【解析】（1）连接，设，则，，，则，解得，则为的中点，由分别为的中点，于是，即，则四边形为平行四边形，，又平面平面，所以平面.

（2）由（1）可知，则，得，因此，则，有，又，平面，则有平面，又平面，所以平面平面.23．（2023·海南）如图所示，直三棱柱中，，，、分别是、的中点．

(1)求证：平面；(2)求证：；(3)求证：平面平面；(4)求与的夹角．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析(4)【解析】（1）因为，是的中点，所以，在直三棱柱中，平面，平面，所以，，平面，所以平面；（2）因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以.（3）连接，在直三棱柱中，因为、分别是、的中点，所以且，且，所以四边形、为平行四边形，所以，，又平面，平面，所以平面，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.（4）连接交于点，连接，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，又平面，平面，所以，所以，所以与的夹角为.

24．（2023·广东深圳·统考模拟预测）在正三角形中，、、分别是、、边上的点，满足：：：：如图将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结如图

(1)求证：平面；(2)求证：平面；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）：：，，平面，平面，平面；（2）不妨设正三角形的边长为，在图中，取的中点，连结，：：：，，而，是正三角形，又，，在图中，，，为二面角的平面角，由题设条件知此二面角为直二面角，，又、平面，，平面，即平面；25．（2023·河北·校联考一模）如图，在三棱锥中，平面平面，若为等边三角形，为等腰直角三角形，且，点E为的中点，点D在线段上，且，证明：⊥平面

【答案】证明见解析【解析】如图，取的中点G，由可得，由可得D为的中点，由E为的中点可得为的中位线，∴，∴，∵E为的中点，，∴，∵平面平面，且平面平面，PE在面PAC内，∴平面，而平面，∴，又，且平面，∴⊥平面.26．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，在上且满足，求证：平面平面

【答案】证明见解析【解析】如图，过点作交于，连接，设，连接，又，可得四边形为正方形，，，，为的中点，，因为，平面，平面，又平面平面平面.

27．（2023春·江苏无锡·）如图，在多面体中，平面平面，，，，，)求证：【答案】证明见解析【解析】证明：因为且，所以四边形为直角梯形，又因为，所以，所以，因为，可得，所以，所以，又因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又由平面，所以.28．（2023春·山西太原·）如图，已知直三棱柱，O，M，N分别为线段，，的中点，为线段上的动点，，，若，试证

【答案】证明见解析【解析】在中，∵O为BC中点且，∴，∵平面平面，平面平面，平面且，∴平面，平面，∴.∵M，N分别为，的中点，∴，∴.在直角和直角中，∵，，∴，∴，∴，∴，平面，，∴平面，平面，∴.29．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在直三棱柱中，，求证：

【答案】证明见解析【解析】连接与相交于点，如下图所示

在直棱柱中，平面平面，，又，平面，所以，平面，又平面，，四边形为菱形，即又，且平面，平面，又平面，.30．（2023春·河北石家庄）如图，在直三棱柱中，，，、分别为、的中点．求证：平面.

【答案】证明见解析【解析】证明：因为，，则，所以，，在直三棱柱中，平面，因为平面，所以，，因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，连接，如下图所示：

因为平面，平面，所以，，同理，在侧面内，则，又因为，所以，四边形为正方形，故，因为，、平面，因此，平面.31．（2022秋·湖南益阳）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】因为，，为的中点，所以，因为四棱锥的底面是矩形，所以，所以，所以，而，即，因为底面，底面，所以，而平面，所以平面；32．（2023云南）如图，四棱柱的底面为菱形，底面，，E，F分别是CD，的中点.

(1)求证：平面；(2)求证：平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）取的中点G，连接FG，GE，如下图所示：

因为F是的中点，所以FG是的中位线，所以，，又四棱柱的底面为菱形，所以，，又E是CD的中点，所以，，所以，，所以四边形GEDF是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）连接AC，在菱形ABCD中，，则.所以是等边三角形，所以，即.又平面ABCD，平面ABCD，所以，又，AB，平面，所以平面，平面，所以平面平面33．（2023春·湖北）如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，，

(1)证明：EA∥平面BCF；(2)证明：平面EAC⊥平面FAC.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）在正方形ABCD中，，又由AD⊂平面ADE，BC平面ADE，故BC//平面ADE.∵，同理可证FB//平面ADE，又∵，BC，BF⊂平面BCF，∴平面ADE//平面BCF，又∵EA⊂平面ADE，∴平面BCF（2）如图，

连接BD交AC于O，连接OE,OF.设，则由ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以，又，且，ED，BD⊂平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF，又OE，OF⊂平面BDEF，所以，所以∠EOF是二面角的平面角，在三角形EOF中，，所以，所以，二面角是直二面角，即证平面EAC⊥平面FAC.34．（2023·全国·北京）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，已知，且平面，，．在线段FG上确定一点M使得平面平面PFG，并说明理由；

【答案】为中点，理由见解析【解析】为中点，证明如下：连接，，过作于，于是在中，，，故；在中，，，故所以，为等腰三角形又平面，所以，为等腰三角形故在等腰三角形和等腰三角形中有，又，且，平面平面，又平面，平面平面．

35．（2023·全国·安徽）如图，在四棱锥中，为线段的中点，，证明：.

【答案】证明见解析【解析】连接，设，则有，又在中，，则，，等腰中，，，则

，则中，，则，又，，平面，平面，又平面，.1．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在正方形内，若，平面，则的最小值是（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【解析】如图，分别取棱，的中点，，连接，，．因为正方体中，，所以平面内两相交直线，与平面平行所以平面，则点在线段上．过点作，垂足为，连接DH，则，当且仅当与重合时，．故选：B.2．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）（多选）已知四棱锥的所有棱长相等，M，N分别是棱PD，BC的中点，则（

）A． B．面C． D．面【答案】BC【解析】对于A，因为平面，平面，直线，平面，所以与是异面直线，故A错误；对于B，取为的中点，连接，所以，，又，，所以，，即四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以面，故B正确；对于C，因为，为的中点，所以，因为，所以，故C正确；对于D，若面，面，所以，因为四棱锥的所有棱长相等，所以底面是正方形，取为的中点，连接，所以，因为，平面，所以平面，平面，所以，又，所以，这与为等边三角形矛盾，故不垂直于平面，故D错误.故选：BC.

3．（2023·全国·高三对口高考）如图所示，已知是平行四边形，点P是平面外一点，M是的中点，在上取一点G，过G和作平面交平面于，则与的位置关系是_________．

【答案】平行【解析】连接交于，连结，因为是平行四边形，所以为中点.因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；因为平面，又过和作平面交平面于，即平面平面，且平面，所以.故答案为：平行.

4．（2023·海南）正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，①与平行；②与是异面直线；③与平面平行；④平面与平面平行．以上四个命题中，正确命题的序号是_________．

【答案】③④【解析】由展开图得到正方体的直观图如图，对①，与异面，故①错误；对②，连接，因为，，所以，所以四边形为平行四边形，所以与平行，故②错误；对③，连接，同②的方法可证四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故③正确；同②的方法可证四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，面，所以平面平面，故④正确.故答案为：③④.

5．（2023·山东）如图所示的是正方体的平面展开图．有下列四个命题：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF．其中，正确命题的序号是________．【答案】①②③④【解析】由正方体的平面展开图还原几何体如下所示：对于①，根据正方体的几何特点，平面显然与平面平行，进而BM平行平面DE，故①正确；对于②，连接，如下，在四边形中，因为//，故四边形为平行四边形，故//，又平面，平面，故//平面，故②正确；对于③，连接，显然四边形为平行四边形，故//，又面面，故//面，显然四边形为平行四边形，故//，又面面，故//面，又面，故面//面，故③正确；对于④，连接，显然四边形为平行四边形，故//，又面面，故//面，显然四边形为平行四边形，故//，又面面，故//面，又面，故面//面，故④正确．故答案为：①②③④．6．（2023·四川达州·统考二模）如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则___________.【答案】【解析】设，其中，，，，因为平面，则、、共面，显然、不共线，所以，存在、，使得，即，因为为空间中的一组基底，所以，，解得，因此，.故答案为：.7．（2023·江西南昌·统考三模）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，平面，，，G在上，且．(1)求证：平面；(2)若与所成的角为，求多面体的体积．【答案】(1)证明见解析(2)．【解析】（1）延长交于点M，连接，则在面内，由，则，又，所以，可得，由，G在上且，故为平行四边形，则，且，又共线，所以，且，故为平行四边形，则，由平面，平面，所以平面．（2）取的中点N，则，且，所以为平行四边形，则，在平面内，过G作FB的平行线交AB于P，所以与所成的角，即为与所成角，则，平面，平面，则，而，设，则△中，，，则为等边三角形，故，即，所以在中，P为的中点，且，故为的中位线，所以，易知多面体为棱台，且，且，体积．8．（2023·全国·高一专题练习）如图，正方形ABCD与平面BDEF交于BD，平面ABCD，平面ABCD，且.

(1)求证：平面AEC；(2)求证：平面AEC.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）

如图，设AC与BD交于点O，则O为正方形ABCD的中心，连接OE，不妨令.则.∵四边形ABCD为正方形，∴.∵平面ABCD，且平面平面，面，∴，∴，，即四边形BOEF为平行四边形，∴.又平面AEC，平面AEC，∴平面AEC.（2）连接OF.∵，且，，∴四边形ODEF为菱形.∵平面ABCD，∴四边形ODEF为正方形，∴.又四边形ABCD为正方形，∴.∵平面ABCD，平面ABCD，∴.而，且平面BDEF，平面BDEF，∴平面BDEF.∵平面BDEF，∴.又，OE，平面AEC，∴平面AEC.9．（2023·浙江·高三专题练习）如图，直三棱柱中，，，，证明：平面【答案】证明见解析【解析】如图1，取中点为，连结.由三棱柱的性质可知，，，，.因为，，所以，.又因为为的中点，所以.又，所以四边形是平行四边形，所以，，，所以，，所以，四边形是平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.因为，，所以四边形是平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.因为，平面，平面，所以平面平面.因为平面，所以平面.10．（2023春·陕西榆林）如图所示，四棱锥中，点在线段上（不含端点位置），，．

求证：平面平面；【答案】证明见解析【解析】设点为的中点，连接．

，，则有，由题意得，，且，∴在中，由余弦定理得，则，∵，∴．，得，且，则四边形为矩形，∴．在中，，∴，而，，平面，∴平面，而平面，故平面平面．11．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，，，为的中点，交于点．

(1)证明：；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）由题知，在三棱柱中，因为，，平面，所以四边形是正方形，，又平面，则，又平面，，则平面，又是中点，是中点，则，所以平面，又平面，则，又平面，，则平面，又平面，则.（2