河北省唐山市五校高三联考A卷数学（理）试卷

2018年唐山市五校高三联考理科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知,,则A．B．C．D．2．已知复数满足，则的虚部是A．1B．1C．2D．23．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为A． B． C． D．4．设，则的大小顺序是A． B． C． D．5．如图的平面图形由16个全部是边长为1且有一个内角为60°的菱形组成，那么图形中的向量的数量积A． B． C．8 D．76．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为A． B． C． D．7.若，则A． B．1 C． D．1或8．若满足则下列不等式恒成立的是A．B．C．D．9．函数()的部分图象如图所示,则＝A． B．C． D．10．如图，是抛物线()的焦点，直线过点且与抛物线及其准线交于,,三点，若,，则抛物线的标准方程是A．B．C．D．11．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个12．已知四面体ABCD的四个顶点都在半径为3的球面上，AB是球的直径，且ABCD，BC=3，CD=2，则四面体ABCD的体积为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知随机变量，若，则.14.若(其中),则的展开式中的系数为.15.已知点P(3,0)，在⊙Ｏ：上随机取一点,则的概率为.16.已知不等式恒成立，则的最大值为_______.三、解答题：共70分．17．（12分）数列的前n项和为若，点在直线上.（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前n项和.18．（12分）某公司想了解对某产品投入的宣传费用与该产品的营业额的影响.下面是以往公司对该产品的宣传费用(单位：万元)和产品营业额(单位：万元)的统计折线图.(Ⅰ)根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合宣传费用与产品营业额的关系，请用相关系数加以说明；(Ⅱ)建立产品营业额关于宣传费用的归方程；(Ⅲ)若某段时间内产品利润与宣传费和营业额的关系为应投入宣传费多少万元才能使利润最大，并求最大利润.参考数据：，，，，参考公式：相关系数，，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为(计算结果保留两位小数)19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，分别为，的中点，平面，求直线与平面所成角的大小．20．（12分）已知点F(1，0)，圆E:，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．(Ⅰ)求动点Q的轨迹Γ的方程；(Ⅱ)若直线与圆O:相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A、B．当=，且满足时，求△AOB面积S的取值范围．21．（12分）函数，（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）若时，有成立，求的取值范围.选考题：共10分．请考生在第(22)，(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修44：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设点，直线与曲线相交于，两点，，求实数的值．23．[选修45：不等式选讲]（10分）已知为正数，函数（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若的最小值为，且，求证：

2018年唐山市五校高三联考理科数学试卷答案一.选择题（每题5分，共60分）123456789101112(A)ABBDAABDCCCB二、填空题：(每小题5分，共20分．)13.0.814.6015.16.三、解答题：17．（12分）数列的前n项和为若，点在直线上.(I）求证：数列是等差数列；（II）若数列满足，求数列的前n项和解：（I）上，同除以……2分数列是以3为首项，1为公差的等差数列.……4分（II）由（I）可知，当n=1时，a1=3，当经检验，当n=1时也成立，……6分……8分……10分即……12分18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，分别为，的中点，平面，求点B到平面的距离.解：（Ⅰ）连接，交于点，∵底面是正方形，∴，且为的中点，又∵，，∴平面2分由于平面，故，又∵，故；…………4分（Ⅱ）设的中点为，连接，，//，∴为平行四边形，，∵平面，∴平面，∴，的中点为，∴，……6分由平面，又可得，又∵，，∴平面，∴，又∵，∴平面，……8分由题意，，，两两垂直，以为坐标原点，向量，，的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，……10分而为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，，∴直线与平面所成角为.……12分19．（12分）某公司想了解对某产品投入的宣传费用与该产品的营业额的影响.下面是以往公司对该产品的宣传费用(单位：万元)和产品营业额(单位：万元)的统计折线图.(Ⅰ)根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合宣传费用与产品营业额的关系，请用相关系数加以说明；(Ⅱ)建立产品营业额关于宣传费用的归方程；(Ⅲ)若某段时间内产品利润与宣传费和营业额的关系为，应投入宣传费多少万元才能使利润最大，并求最大利润.参考数据：，，，，参考公式：相关系数，，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为.(计算结果保留两位小数)（Ⅰ）由折线图中数据和参考数据得：，，因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.……4分（Ⅱ），3，所以关于的回归方程为.……8分（Ⅲ）由，可得时，.所以投入宣传费3万元时，可获得最大利润55.4万元.……12分20．（12分）已知点F(1，0)，圆E:，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．(Ⅰ)求动点Q的轨迹Γ的方程；(Ⅱ)若直线与圆O:相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A、B．当=，且满足时，求△AOB面积S的取值范围．(Ⅰ)连接QF，∵|QE|＋|QF|=|QE|＋|QP|=|PE|=(|EF|=2)，∴点的轨迹是以E(1，0)、F(1，0)为焦点，长轴长的椭圆，即动点Q的轨迹Γ的方程为；……4分(Ⅱ)依题结合图形知的斜率不可能为零，所以设直线的方程为()．∵直线即与圆O:相切，∴得．……5分又∵点A、B的坐标(，)、(，)满足：消去整理得，由韦达定理得，．其判别式，……7分∵==∈[，]．……9分．……10分∵，且∈[，]．∴∈[，]．……12分21．（12分）函数，（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）若时，有成立，求的取值范围.解：（Ⅰ）∴又所以在点处在切线方程为……4分(Ⅱ)由于函数定义域为所以……6分令则，可得当时，，当时，所以……8分令，则，可得当时，，当时，所以……10分因此，由得，……12分选考题：共10分．请考生在第(22)，(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修44：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设点，直线与曲线相交于，两点，，求实数的值．解：（1），故曲线的普通方程为．……2分直线的直角坐标方程为．……4分（2）直线的参数方程可以写为（为参数）．……5分设，两点对应的参数分别为，，将直线的参数方程代入曲线的普通方程，可以得到，……7分所以……9分或，解得或或．……10分23．[选修45：不等式选讲]（10分）已知为正数，函数（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若的最小值为，且，求证：解析:（Ⅰ）等价于或或，解得