2023年新教材高中数学人教A版必修第二册641平面几何中的向量方法 课时分层练习题带答案解析

6.4.1平面几何中的向量方法（分层作业）（夯实基础+能力

提升）

【夯实基础】

一、单选题

I.（2022春•山西运城•高一统考期中）在平面四边形ABC。中，AC=（-2,3）,BD=（6,4）,

则该四边形的面积为（）

A.>/52B.25/52C.13D.26

【答案】C

【分析】根据浅1.扬判断AC与关系，根据对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积

的一半即可求解.

【详解】M=T2+12=0，・・・AC•L8D,

所以四边形ABCD面积为：||AC|-|BD|=1xxV36+16=13.

2.（2022•江苏•高一专题练习）在中，若贝！"3C的形状是（）

A.NC为钝角的三角形

B.为直角的直角三角形

C.锐角三角形

D./A为直角的直角三角形

【答案】D

【分析】由条件求得AB/C=0,可得故NA=',由此可得.ABC的形状.

【详解】在2ABe中,AB-BC+AB2=AB^AB+BC）=AB-AC=O，ABLAC

=则3ABe为直角三角形，

3.（2022・高一课时练习）若4B=3a,CD=-5a，且卜。卜|BC\，则四边形ABCD是

A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰梯形

【答案】C

【解析】由题意可知48〃CO，且IAB国CO|,而对角线|A力|=|8C|,由此可知四边形为等

腰梯形.

【详解】解：・・・A8=3a,C0=—5a,

・・・AB〃CO，143国81，

VI/1DMBC\,

，四边形ABC。是等腰梯形，

4.(2022春・浙江杭州•高一杭州市长河高级中学校考期中)已知M是AA8C内的一点，且

ABAC=2s/3^BAC=30,若AW8CC4和

114

AM48的面积分别为则-+一的最小值是

，xy

A.20B.18C.16D.9

【答案】B

【详解】试题分析：利用向量的数量积的运算求得be的值，利用三角形的面积公式求得x+y

1414

的值，进而把一+一转化为利用基本不等式求得一+一的最小值即可.

xyxy

因为ABAC=2G，NBAC=30，

所以告be=2G,be-4,「.S^BC=x+)'+；=；bcsi〃NBAC=1,/.x+〉=g,

—+—=2(—+—)x(x+y)=2(5+—+—)>2(5+2J—x—)=18.

xyxyxy

5.(2022春・四川内江•高一四川省资中县第二中学校考阶段练习)如图，在㈤?C中，

1--3一

AN=qNC,P是8N上的一点，若42=石48+阳4。，则实数m的值为()

【答案】D

3

［分析】本题主要利用向量的线性运算人尸=/MN+(1-X)AB^AP=-AB+4mAN即可求解.

【详解】解：由题意得：

AN=-NC

3

,\AC=4AN

3

AP=—AB+mAC

11

3

:.AP=—AB+4mAN

11

设8尸=28N，贝iJ

AP-AB=MAN-AB)=2AN-AAB

AP=AAN+(1-A)AB

又由AB，AN不共线

2

2=47nm=一

11

.3,解得：，

]—/t=—

11

6.(2022・高一课时练习)在四边形ABC。中，若A8+C7)=(MB.AO=0,则该四边形为()

A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形

【答案】B

・・UUUUUU

【分析】由4y+CO=0结合向量的加减法法则可得A5=OC，再由AbAO=0得AB，股，

从而可判断出四边形的形状.

【详解】由AB+CD=0得A8=OC，

所以AB=DC,AB//DC,

所以四边形ABCD为平行四边形，

uuuUUU

又4&4£)=0，所以

所以四边形A8CO为矩形

二、多选题

7.(2022春•重庆九龙坡•高一重庆市育才中学校考阶段练习)下列关于向量的说法正确的是

()

A.AB=PB-PC-CA

B.已知非零向量a,c满足〃.方=°.°,则〃=c

C.(ab)c=a(.bc)

D.已知点G为"IBC内一点，满足G4+G8+GC=0，则G为45c的重心

【答案】AD

【分析】对A,由向量加(减)法的运算法则即可判断；

对B,变形成。•仅-。)=0,即可根据向量数量积的性质判断；

对C,结合向量数量积为常数这一性质，即可判断；

对D,以GAG8为边作平行四边形，由G4+GB+GC=0得到G到顶点与到对边中点比为

2:1,即可利用三角形重心的性质判断.

【详解】对A,PB-PC-CA=AC+CP+PB=AB，故A正确;

对B,ab=ac^a\b-c)=O,根据向量数量积的性质可知，瓦c关系不确定，故B不正确;

对C,(a・b)c=a(b-c),向量数量积为常数，关系不确定，故C不正确；

对D,由图，G8DC为平行四边形，其对角线交于E,

由G4+G8+GC=0=GB+GC=AG=GO=2GE，

故G到顶点与到对边中点比为2:1,

由三角形重心的性质可得，G为以的重心，故D正确.

8.(2022・全国•高一专题练习)已知A,B,C,。四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),

(0,2),则此四边形不可能为()

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

【答案】BCD

【分析】根据眶意，求出向量A3、OC的坐标，由此可得A8//OC且,8卜由向量

平行的意义分析可得答案.

【详解】根据题意，4,B,C,。四点坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),

则AB=(3,3),OC=(2,2),故M//OC且卜〃卜，4，

又4,B,C,。四点不共线，故此四边形为梯形，即不可能为菱形、矩形、正方形，

三、填空题

10.(2022春•陕西西安•高一陕西师大附中校考期中)已知。=(2,7),6=(X,-3),且°与方夹

角为钝角，则x的取值范围___________.

【答案】卜I”费且加-养

【分析】根据a与加夹角为钝角列不等式组，由此求得工的取值范围.

ab-2x-21<0

【详解】由于4与方夹角为钝角，所以，

2x(-3)工7xx

解得“碍且…?

所以x的取值范围是卜■且工工-,

11.（2022春・河北沧州•高一泊头市第一中学校考阶段练习）己知向量。=（1,勿,

^=（1,-2）（2G/?）,若£与5的夹角为锐角，则义的取值范围为.

【答案】（Y，—2）D[2,；）

【分析】由a与坂的夹角为锐角，故a力＞0且a与坂不共线，得到不等式组，求出义的取值

范围.

【详解】因为a与方的夹角为锐角，则且a与E不共线（平行），则有所

以解得：Ae（-oo,-2）u|^-2,y

12.（2021春・湖北武汉•高一汉阳一中校考阶段练习）向量。=（2,3）与向量。=（-1,乃的夹角

为钝角，则x的取值集合为

【答案】（70,-京35-13，令2

【解析】由题意可得〃力＜0,且d与人不共线，由此求得4的取值集合.

【详解】解：•・•向量夕=（2,3）,b=（-l,x）,若向量G与向量6夹角为钝角,

，a/=—2+3x＜0，且d与B不共线，

即x。且？工二即”名且"

32332

13.（2023・高一课时练习）在JSC中，若OA.O3=O8OC=OCO4,则。是拉。的

心.

【答案】垂

【分析】根据向量数量积的运算律以及减法法则可得08_LC4,OC1AB,OALCB,即可求

解.

【详解】由。4OB=O8O6得一℃）=0,所以OBC/i=0，因此OA_LC4，同理

OC±AB,OA±CB,因此O是.ABC的垂心，

14.（2022・高一课时练习）已知A,B,C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A（l,2）,B（4,l）,

C（0,—l）,则认的形状为.

【答案】等腰直角三角形

【分析】求出向量A8,AC,计算数量积㈱.泥，计算它们的模后可判断三角形形状.

【详解】由已知，得从3=(4-1/-2)=(3,-1),AC=(0-1,-1-2)=(-1,-3),

/.AfiAC=3x(-l)+(-l)x(-3)=0,

••・A8_LAC，ZA=90°,

又卜8卜国=阿

・•・ABC是等腰直角三角形.

15.(2022・高一课时练习)若A地位于8地正西方向5km处，C地位于8地正北方向5km处,

则C地相对于B地的位移是.

【答案】西北方向5\/5km

【分析】根据题意可得/8c是等腰直角三角形，再由直角边长可得答案.

UUU_

【详解】根据题意画出图形如图所示，由图可知75km，旦NAGC_45,故C地相

对于8地的位移是西北方向5夜km.

四、解答题

16.(2021.高一课时练习)用向量方法证明：菱形对角线互相垂直.已知四边形ABC。是菱

形，AC,8。是其对角线.求证：AC1BD.

【答案】证明见解析

【分析】设A8=a，AD=bf则忖=%|且AC=a+b,初=b-a,即可求得4己8。=0，由此

即可证明结果.

【详解】证明：设A5=a，AD=h.

因为四边形4BCZ)为菱形，所以M=M，

又AC=AB+AD=a+b,BD=AD-AH=b-a

贝ji4C8O=(a+b｝仅-4)=/-1="一同2=0,故Ac,s。.

所以4CJ.BD.

17.（2021.全国.高一专题练习）已知位置向量。=（0,-1）/二（3,-3）工=（2,2）的终点分别为

A,8,C,试判断A48C的形状.

【答案】A46C为等腰直角三角形

【分析】根据题意可设3=。=（0,-1）,O8=〃=（3,-3）,OC=c=（2,2）,根据平面向量的加

法几何意义可以求出AB,AC,求出它们的模以及计算出它们的数量积，最后可以判断出AABC

的形状.

【详解】OA=a=（0,—l）,OB=b=（3-3）fOC=c=（2,2）,AB=AO+OB=（3-2）,

AC=AO+OC=（2,3）,|4fi|=732+（-2）2=X/13,/4C=V22+32=X/13

ABAC=0nAB_LAC,所以AABC为等腰直角三角形.

18.（2023・高一课时练习）已知A（—l,-4）,5（5,2）,C（3,4）,判断并证明以A,B,C为顶

点的三角形是否为直角三角形.若是，请指出哪个角是直角.

【答案】ABC是直角三角形，/A8C为直角，证明见解析

【分析】根据A,B,。三点的坐标可写出向量B4BC,可利用向量数量积来证明是否存在

垂直，即可判断三角形是否为直角三角形.

【详解】ABC是直角三角形，/ABC为直角.

证明如下：

•・•BA=（-l,-4）-（5,2）=（-6,-6）,

8c=（3,4）-（5,2）=（-2,2）,

ABABC=-6x（-2）+（-6）x2=0,；,BA工BC，即/ABC=90.

所以15ABe是直角三角形，NA8C为直角.

19.（2022春•吉林长春•高一统考期末）己知RSABC中，ZC=90°,设AC=m,BC=n.

（1）若。为斜边AB的中点，求证：AB；

（2）在（1）的条件下，若七为CO的中点，连接4£并延长交BC于点，求A尸的长（用a,n

表示）.

AF=-Jn2+9m2

【答案】（1）证明见解析（2）3

【分析】（I）建系，求相关点的坐标，结合向量模长W=了证明；（2）设点尸的坐

标，求A2A尸，根据三点共线可设A/=4AE，可求得/（孑0）,再结合向量模长运算求解.

(1)

以C为坐标原点，以边。及C4所在的直线分别为4轴、），轴建立平面直角坐标系，如图，则

A（O,m）,B（n,O）.

所以卜;"病+/,又因为卜，加+〃2

所以C£）=,AA,]^CD=-AB.

22

（2）

（2）因为E为CO的中点，所以£伶"

设F（x,0）,则AE=（£，-；m）,AF=（x,-/n）

因为点AE,尸共线，所以存在实数4,使AF=/UE，

即（%,-.〃）=丸（3一（加），所以，43

-m=——mA

4

解得x=g,所以陪,0）.所以卜尸卜；1片+9川,BPAF-^sln2+9m2

20.（2022春•山西晋中•高一校考阶段练习）用向量法证明以A（l,0）,8（5,-2）,C（8,4）,O（4,6）

为顶点的四边形是一个矩形.

【答案】证明见解析

【分析】分别利用坐标计算AB=DC,ABBC=0即可得证

【详解】证明：因为4B=（4,—2）,BC=（3,6）,OC=（4,—2）,

故A8=OC，BC=（3,6）不为零向量，且不与43平行，所以以A,B,C,。为顶点的四边形

是平行四边形.

又AB8C=4x3-2x6=0，所以A8J.BC，故以A,B,C,。为顶点的四边形是矩形.

21.（2022春.四川成都.高一统考期末）已知平面四边形48co中，

IAB|=|AD\=2\DC\=2,|fiC|=>/3,向量AB,AO的夹角为?.

(1)求证：AB工BC；

(2)点E是线段BC中点，求EVED的值.

5

【答案】(1)证明见解析；(2)1.

【分析】(1)画出示意图，根据边的关系可得NA8C=g,因而A8_L8C.

(2)以8为原点建立平面直角坐标系，写出各个点坐标，进而根据工面向量数量积的坐标

运算即可求出结果.

【详解】(1)根据题意，画出示意图如下图所示

由题意可知|A8|=|4£>|=2,ZBAD*,

所以三角形ABD为等边三角形，

则,4=2,又口。=1,忸q=G,

所以+忸。2=|网2,

即△38为直角三角形，且NC=g,N8=f,

26

所以ZA8C=：+二=:，

所以48_L8C;

(2)根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系,

y

BEC

因为点E是线段中点，所以石［告,0

则A（O,2）,D（G1）,

则班=-且,2,EL

\/，住》

所以E4.ED--为-

J12）

3-

=-----F2

4

5

【能力提升】

一、单选题

1.（2022秋•河南洛阳•高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）如图所示，已知点G是“

IA.IULIUULLUUUKI

的重心，过点G作直线分别交AB,AC两边于M,N两点，且AM=”8，AN=yAC^

则2x+y的最小值为（）

A,三逑B.谑

C.3+2上D.4yli

33

【答案】A

【分析】由平面向量的线性运算可得AG［《AA/+；AN）,由G,N三点共线,知

卜卜3,再根据基本不等式中的“乘1法”，即可得解.

【详解】因为点G是ABC的重心，且AM=.rAB，AN=yAC^

月亍以AG=2x"!■（A8+AC）=L（■!■HM十'AN）,

323xy

因为M,G,N三点共线,所以:（‘+!）=],即_L+J_=3,

3xyxy

所以21+），=:（24+川（，+，）=:（2+生+上+1）2!（3+2近），

3xy3yx3

2尤v

当且仅当一=2，即y=VIi时，等号成立，

yx

所以2x+y的最小值为山也.

AR

2.（2022・高一单元测试）已知非零向量AS和AC满足「一[+]—।BC=0,且

\]AB\\AC\）

ABAC1

同国=5,则刖:为（）

A.等边三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.三边均不相等的三角形

【答案】A

ABAC

【分析】根据向量加法和线性运算可知向量二至+6与N84C的平分线共线，根据

AB\AC\

AHAr

+

（网I—l⑼l_IBC=0可知N8AC的平分线与N8AC对边垂直，由此可知△ABC是等腰三角

ABAC1

形；再由网.同=5和向量数最积的定义可求出N8AC的大小，从而可判断AABC的形

状.

ABAC

【详解】同即AB方向上的单位向量，同即A。方向上的单位向量,

ABAC

向量网.困与NBA。的平分线共线,

ABAC

又由同•3C=0可知NBAC的平分线与N8AC对边垂直,

则△ABC是等腰三角形，即AB=4C,

A。一八“11

网网“如"Ac—・・・8S〃AC=5，

VABACe（0,n）,ABAC=5,

・•・△ABC为等边三角形.

3.（2022・高一课时练习）已知向量〃表示“向东航行3km”，向量b表示“向南航行3km”，则

q+b表小（）

A.向东南航行6kmB.向东南航行3&km

C.向东北航行30kmD.向东北航行6km

【答案】B

【分析】如图，设OA=a，OB=b，以Q4，。8为邻边作平行四边形3c8,由平行四边形

法则可知OC=a+〃，根据。04=08可得平行四边形04cB是正方形，从而得到答

案.

【详解】如图，设0A=a，0B=b，则O4=OB=3,OA±OB,以0A,。8为邻边作平行

四边形。48,

由平行四边形法则可知OC=a+b.04=03,・,・平行四边形QACB是正方形，

・•・0C方向为东南方向.

•：0A=0B=3，：.OC=3sflkm.

二、多选题

4.（2022秋・山东青岛•高一校考阶段练习）如图，已知长方体A8C0-AqGA中，四边形

ABCD为正方形,A8=2,A4,=x/2,E,尸分别为A8,BC的中点.则（）

B.点A、E、/、G四点共面

c.直线c?与平面阴CC所成角的正切值为&D.三棱锥E-cm的体积为日

【答案】BCD

【分析】利用反证法判断A；利用直线平行判断B；利用线面角的定义判断C；利用锥体体

积公式判断D.

【详解】对于A,假设AE_L。尸.由题总知8C1平面946,平面"46,

：.A,ElBCt又BCT。尸二尸，平面43c。，由长方体性质知与平面ABC。不垂

直，故假设不成立，故4错误；

对于8,连接石尸，AC,AG，由于E,r分别为48,的中点，.•.所〃AC,又因为

长方体488—知AG'/AC,二.£尸"AG，所以点A、E、尸、G四点共面，故8

正确；

对于C由题意可知。C_L平面BBCC，:/。。。为直线G。与平面BqGC所成角，在直角

℃2

△OCG中，CC、=6,8=2,则1@11/0"=云=&=伉故C正确;

对于。，连接OE,&E,AB=AD=2,则

利用等体积法知:

%-C=Vc「DEF=],SvDEF，℃=£'5X&=♦故。正确

5.（2022春・福建福州•高一校联考期末）G是“IBC的重心，4«=2,AC=4,ZCAB=\20,P

是二ABC所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）

A.GA+GB+GC=O

B.AC在"方向上的投影向量等于相

4

C.GA=；

3

D.AP・（8尸+CP）的最4、值为-5

【答案】ACD

【分析】根据向量的线性运算结合重心的性质判断A,根据投影向量的定义判断B,根据向

量的数量积的运算律判断CD.

【详解】对于A,当点G为“WC的重心时，

如图所示：四边形8DCG为平行四边形，根据重心性质可得AG=2G。

贝|JG4+G8+GC=GA+GO=G4+2GO=0，-A正确；

对于B,•.•4（7在46方向上的投影为|4485120。=4乂（-£|=一2,

・・・4C在横方向上的投影向量为-A3，，B错误；

对于c,・・・G是#3C的重心，

・・・68=-；的+阻=-；（朋+即+检）=；（248-检），AG=1（/fi+

・・・G8AG="（2A8一4Cj（AB+AC）="（2A/+48Ae-AC）

i「r144

=-8+2x4xl--1-16所以G8GA=m，・・・C正确；

对于D,如下图，

P

/\\

A

取BC的中点O,连接尸Q,PA,取4)中点"，连接AM,则PA+PQ=2PM，

4D=i(4«+4C),

AD2=^AB2+2ABAC+AC2j=^-x(4-8+16)=3,则

AP(j?P+CP)=/^(PB+PC)=2/<4PD=2xl^/<4+PD)2-(E4-PD)^

.2|・2・23今3

=2PM'--DA=2PM显然当RM重合时，PM~=0>AP(5P+6)取最小值—5,

**.D正确.

三、填空题

6.（2022春・上海长宁•高一上海市第三女子中学校考期末）在JWC中，。为中线AM上的

一个动点，若AM=3,则0HOB+OC）的取值范围是.

【答案】[—去0]

【分析】根据平面向量运算法则得到O8+OC=2OM，利用数量积公式得到

OA(OB+OC)=2OAOM,®|OA|=x(0<x<3),从而得到OA(QB+OC)=

结合0WxW3求出取值范围.

【详解】因为AM是J3C的中线，所以OB+OC=2QM，

故。4(08+00=20403,

因为AM=3,设|Q4|=x(OW3),则|OM|=3-X,

2

所以0A.(OB+Odz-ZxG-xHf-GAzR-19

2

3-19

故当x时，OA（OB+OC）取得最小值，最小值为一5,

当x=0或3时，OA-(OB+OC)=2Lr-|l-1=0.

7.（2022春・江苏南通・高一金沙中学校考期末）如图，正八边形ABCDEPG”中，若

AE=ZAC+pAFeR）,则义+〃的值为

【答案】五

【分析】以HD、8F所在的宜线分别为“、¥轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心。即为

坐标原点，设AC交＞'轴与"点，由正八边形的性质可得轴，AOM'JWF为等腰直

角三角形，设8=2,求出F、A、C、E点坐标及4E、AF、4c坐标，根据

AE=2AC+//4F的坐标运算可得答案.

如图，以加＞、所所在的直线分别为不、），轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心。即为坐

ZAO8=NCOS=ZAO〃=NEOO=D=45,

标原点，设4C交）'轴与M点,

ZABC=180-45=135，所以NBAC=22.5，

^HAC=^HAB-ZCAB=\35-22.5=112.5，所以N/MC+ZA/7O=180,

即ACL轴，AOM.MOC为等腰直角三角形，

设。。=2,则。£）=0/=QE=6W=OC=2,F（0,2）,

所以4W=OM=MC=VI,所以A（->2-&）,。与E关于x轴对称,

所以法反应）,

AE=（2&.2⑹，A产=（立2+&）,AC=（2&,0）,

由AE=AAC+pAF得（272,272）=A（2>/2,0）+〃（①2+夜），

2人=2&+何,h=2-42

即2应=〃（2+应广解得）=2&-2‘

所以2+〃=2&-2+2-&=应.

8.(2022春•重庆沙坪坝.高一重庆八中校考期末)互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平

面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如

图，在斜坐标系中，过点尸作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a,b分别作为点

尸的x坐标和y坐标，记尸(。力)，若斜坐标系中坐标原点为。，x轴正方向和)，轴正方向的夹

角为6=60。，点”(2,1),N(l,2),则AOMN的面积为.

【分析】设与x轴方向相同的单位向量为与y轴方向相同的单位向量为s，则可表示出

OMQN,NM,即可计算出模，进而求出面积.

【详解】设与x轴方向相同的单位向量为白，与y轴方向相同的单位向量为e；,

则OM=2et+e2,ON=q+2e2,

则NM=OM-ON=(2-\)e.4-(1-2)e2,

222

所以=(e,-e2)=e,+e2-2e,e2=lf所以|MN|=1,

2

\OM^=(2q+,)2=4el\del-e2+e,=7,所以二近，

2

=(q+2e2)=e1~+4e}e2+4e2~=7f所以|ON|二币»

故&晒=31X=学

9.(2022春•江苏无锡•高一统考期末)点P是边长为2的正三角形ABC的三条边上任意一

点，则|%+28+尸。|的最小值为.

【答案】G

【分析】构建直角坐标系，设40,6),8(-1,0)。1,0)且P(乂6(1+1)),应用向量的坐标运算

求4+P8+FC坐标，应用坐标公式求模即可.

【详解】不妨假设尸在A8上且A。6),B(-l,0),C(l,0),如下图示，

所以，尸在y=®x+l)且TWxWO,设P(x,6(x+1)),

则方=(-乂-心)，PB=(-1-X,->/3(X4-1)),PC=(1-X,-V3(X+1)),

所以PA+PB+PC=(-3x,-3x/3x-2>/3)，

&.\PA+PB+PC\=j9/+3(3x+2)：

当x=时，IPA+P5+PCI的最小值为技

10.（2022春・浙江♦高一期中）已知平面向量a，〃，£满足忖=1,1卜2,2c=bc^

则c-a+c-h的最小值为.

【答案】|-x/3

【分析】令OH=a，OB=b，OC=c，。8的中点为。，4B的中点为E,。。的中点为凡a

与人的夹角为6,由题意，计算。=5，,耳=6,判断出点。的轨迹为以。。为直径的圆,

利用向量基底表示，^2（|C-^+|C-^）=2（|AC|\|SC|2）^^

2（|c-a「+|c-〃「）=4|词'+3,然后转化为圆上任意一点到定点距离的最小值进而求解

2（F_a『+F_q2）最小值，

【详解】令OA=a，OB=b，OC=cf。8的中点为。，的中点为E,。。的中点为尸，

a与b的夹角为氏连接CA、CB、CD、CO、EE由忖=1,忖=2,了=。⑦，得I=ix2xcos6,

cos"；,因为夕«0,同，所以61,在Q4B中，由余弦定理得网=技

又由2c、bc，得l二°，所以点C的轨迹为以°。为直径的圆•

那阵一仆2（阿+同

因为2

(IRHiinnV(inmiuinviiiirp|UiU|2

=2[EC+^AB\+1I=4|CE|+|AB|

=4CE+3>4^EF-^+3=7-2>/3,

当且仅当点C、E、尸共线，且点。在点£、尸之间时，等号成立.

所以c-a+c-b的最小值为5-6.

11.(2022春・甘肃天水・高一天水市第一中学校考阶段练习)已知A,8为平面上两个定点，

且同=2,该平面上的动线段PQ的端点P,Q满足,小5,洒.海=6，AQ=2PA,则

动线段PQ所形成图形的面积为.

【答案】60

【分析】建立平面直角坐标系，如图，设40,0),8(2,()),P(x,y),求出P点轨迹，再求出Q

点轨迹，然后可求得线段PQ形成的图形面积.

ULU

【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图，设4。。，8(2,0),P(x,y),则AP=(x,y),

AB=(2,0),

由得炉+y2s25,

又APAB=6,即2]=6,x=3,所以y2&]6,-4Wy«4,

动点尸在直线x=3上，且满足TKyW4,即线段CO上，|cq=8,

由的扫过的三角形的面积为gx8x3=12,

设QC%，%)，则由AQ=2PA=-2AP得设,%)=-2(乂y)=(-6,-2y),

所以%二-6,%=-2)，，

所以动点Q在直线x=-6上，且-8K%K8,即线段MN上，|MN|=16,

线段4。扫过的三角形面积为gx6xl6=48,

2

所以线段PQ所形成图形面积为12+48=60.

故答案为：60.

四、解答题

12.(2022春•广西柳州•高一校考阶段练习)在*WC中，C4=6,A8=8,ZBAC=\D

为边中点.

(1)求ADC8的值；

⑵若点P满足CP=2C4(2wR),求PBPC的最小值；

【答案】(1)14(2)最小值为-9

【分析】(1)以A为坐标原点，边AC、48所在的直线为X、y轴的正方向建立平面直角坐标

系求出A。、C8的坐标，再由向量数量积的坐标运算可得答案；

(2)根据点P在4。上，设尸(乂0),求出心、Pd的坐标，则?从PC=(-X,8)・(6T,0),

利用二次函数配方求最值可得答案.

【详解】(1)如图，以A为坐标原点，边AC、A8所在的直线为工、y轴的正方向建立平面直

角坐标系，

所以4(0,0),5(0,8),C(6,0),

。为边中点，所以0(3,4),25=(3,4),或=(-6,8),

则4Z>C8=-18+32=14：

(2)若点尸满足CP=/lC4(/leR),则点尸在AC上，

由⑴，设P(x,O),则P8=(T,8),PC=(6-X,0),

则PBPC=(-x,8)(6-x,O)=(x-3)2-9,

所以当x=3时。&PC的最小值为-9.

13.(2023・高一单元测试)在即.ABC中，已知斜边8C=a,若长为2a的线段PQ以点A

为中点，求BP-CQ的最大值.

【答案】0

【分析】BP=AP-AB^CQ=AQ-AC,根据向量数量积运算律以及定义化简即得结果.

【详解】由题意作出图形，如图，

因为N84C=90，所以A8AC=0，

因为4P=_4Q,BP=AP-AB^CQ=AQ-ACt

所以8PCQ=(AP—A3)(AQ—AC)

=(_AQ_AB)(AQ_AC)

=-AQ2+AQ-AC-ABAQ+ABAC

=-(T+AQ\AC-A^ABAC

=-a2+AQBC

=-a2+^PQBC

=-a2+a2cos(PQ、BC^,

故当8S(PQ,BC)=1,即尸。与8c同向时，8PCQ取得最大值0.

14.(2022秋.陕西西安•高一高新一中校考期末)试用向量的方法证明：在ABC中,

a=bcosC+ccosB.

【分析】设AB=c,BC=a,C4=人，从而得出〃+力+3=0，化简整理可得

a=-b-c>两边同时与a作内积，利用向量的数量积公式即可求解.

【详解】设AB=c,8C=a,C4=b,从而得出q+〃+c=0，

:.a=-h-c=«*(_^_^)=b-ac=abcosC+accosB-a2,

/.a=bcosC4-ccosB,得证.

15.(2022•高一单元测试)已知A8-AC=0，M是BC的中点

(1)若，求向量与向量48+AC的夹角的余弦值；

(2)若0是线段上的任意一点，且,耳二2,牛2,求OVOB+OCOA的最小值.

【答案】(1)9;(2)-?.

【分析】(1)建立直角坐标系，设出数据，写出向量48-AC与向量A8+AC的坐标，代入

夹角公式，计算得答案；

(2)设动点。的坐标，写出各个向量的坐标，代入OAOB+OCOA计算得关于x的目标函

数，结合x的取值范围，求得最小值.

(1)

因为A5AC=0,所以A8/4C,

以A为原点，A8所在直线为x轴，AC所在直线为>轴，建立平面直角坐标系，如图所示.

令=则C（0,a）,B（2«,0）,所以A8-AC=（2a,-a）,A8+AC=（勿⑷,

设向量AB人。与向量48।人。的夹角为。，

((

A8-ACj4B+A0_4a2-a23

所以cos。=

|Afi-AC|-|/\fi+AC|\[5a-\/5a5

(2)

因为网=2|AC|=2,所以C(O,lj,8(2,0),M[

设0同["[05，

所以，O4O8+OC0A

=OA\OB+OC)=2OAOM

--上翡用冶

当且仅当X=1时，O4OB+OCO4取得最小值-J

16.（2022•浙江•高一校联考期中）在AABC中,已知A8=3,AC=1,Ar-C=T,设点

P为边BC上一点，点。为线段CA延长线上的一点，且AQ=/AC（/vO）.

⑴当"T且尸是边8c上的中点时，设尸。与AB交于点M,求线段CM的长；

（2）若PA，Q+3=APAB,求同。|的最小值.

【答案】（1）芈；Q）2H6-26・

【分析】（1）根据点M是三角形C8。的重心，结合三角形重心的向量表示以及数量级运算,

即可求得结果；

（2）设CP=4CB（0W441）,根据平面向量的线性运算结合题意，求得，与2的关系，再求

得关于f的函数关系，求该函数的最小值即可.

【详解】（1）设AB=a，AC=b^当f=T，P是8C的中点时，则M是△C8。的重心，

CM=g（C8+CQ）=#—3b）,

\CM\=#"36)2=；,9+9-6Q1)=平.

(2)设CP=4CB(OV；141),则AP=/la+(l-；l)b,AQ=tb

2

APAB=[Aa+(l-A)b]a=^a+(l-^ba=lOA-\t

PAPQ=