艺术生专用2025版高考数学总复习第八章平面解析几何第7节抛物线课时冲关

PAGEPAGE1第7节抛物线1．若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0,1)，则a等于()A．1 B.eq\f(1,2)C．2 D.eq\f(1,4)解析：D[因为抛物线的标准方程为x2＝eq\f(1,a)y，所以其焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4a)))，则有eq\f(1,4a)＝1，解得a＝eq\f(1,4).]2．(2024·永州模拟)已知抛物线y＝px2(其中p为常数)经过点A(1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于()A.eq\f(9,2) B.eq\f(3,2)C.eq\f(1,18) D.eq\f(1,6)解析：D[x2＝eq\f(1,p)y，过点(1,3)，则x2＝eq\f(1,3)y，p＝eq\f(1,6)，所以焦点到准线的距离是eq\f(1,6).故选D.]3．(2024·厦门质检)已知拋物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线与曲线C交于A，B两点，|AB|＝6，则AB中点到y轴的距离是()A．1 B．2C．3 D．4解析：B[由y2＝4x，得F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AF|等于点A到准线x＝－1的距离x1＋1，同理，|BF|等于B到准线x＝－1的距离x2＋1，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝6，x1＋x2＝4，中点横坐标为x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝2，∴AB中点到y轴的距离是|x0|＝2，故选B.]4．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4eq\r(5)，则抛物线C的方程为()A．x2＝8y B．x2＝4yC．x2＝2y D．x2＝y解析：C[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2py，,y＝2x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4p，,y＝8p，))即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p)，则eq\r(4p2＋8p2)＝4eq\r(5)，得p＝1(舍去负值)，故抛物线C的方程为x2＝2y.]5．已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，O为坐标原点，A为抛物线C上一点，若|AF|＝2，则△OAF的面积为()A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3) D.eq\f(3\r(3),2)解析：A[设A(x0，y0)，则由|AF|＝x0＋eq\f(p,2)＝x0＋eq\f(1,2)＝2，得x0＝eq\f(3,2)，由A点在抛物线C上，可得|y0|＝eq\r(3)，又|OF|＝eq\f(1,2)，所以S△OAF＝eq\f(1,2)×|OF|×|y0|＝eq\f(\r(3),4)，故选A.]6．(2024·上海徐汇区模拟)已知抛物线x2＝ay的准线方程是y＝－eq\f(1,4)，则a＝________.解析：由题意，可知该抛物线的开口方向为y轴的正半轴，其标准方程为x2＝2py(p>0)，又其准线方程为y＝－eq\f(1,4)，所以eq\f(p,2)＝eq\f(1,4)，则p＝eq\f(1,2)，所以a＝2p＝1.答案：17．已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点，则弦AB所在直线的方程是________.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，则y1＋y2＝2，又点A，B在抛物线y2＝4x上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1，,y\o\al(2,2)＝4x2，))两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，则eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝2，即直线AB的斜率k＝2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.答案：2x－y－1＝08．(2024·海南五校一模)已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点M为抛物线C上随意一点，过点M向圆(x－1)2＋y2＝eq\f(1,2)作切线，切点分别为A，B，则四边形AFBM面积的最小值为________.解析：设M(x，y)，连接MF，则|MF|＝x＋1，易知抛物线C的焦点F(1,0)为圆的圆心，圆的半径r＝|FA|＝eq\f(\r(2),2).因为MA为切线，所以MA⊥AF，在Rt△MAF中，|MA|＝eq\r(|MF|2－r2)＝eq\r(x＋12－\f(1,2))，易知△MAF≌△MBF，所以四边形AFBM的面积S＝|MA|r＝eq\r(x＋12－\f(1,2))×eq\f(\r(2),2)，又x≥0，所以x＝0时面积取得最小值，所以Smin＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－eq\f(p,2)，于是4＋eq\f(p,2)＝5，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.(2)∵点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．又∵F(1,0)，∴kFA＝eq\f(4,3).∵MN⊥FA，∴kMN＝－eq\f(3,4).又FA的方程为y＝eq\f(4,3)(x－1)，故MN的方程为y－2＝－eq\f(3,4)x，解方程组得x＝eq\f(8,5)，y＝eq\f(4,5)，∴N的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(4,5))).10．设A，B为曲线C：y＝eq\f(x2,4)上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝eq\f(x\o\al(2,1),4)，y2＝eq\f(x\o\al(2,2),4)，x1＋x2＝4.于是直线AB的斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4)＝1.(2)由y＝eq\f(x2,4)，得y′＝eq\f(x,2).设M(x3，y3)，由题设知eq\f(x3,2)＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.将y＝x＋m代入y＝eq\f(x2,4)得x2－4x－4