新教材2024年秋高中数学章末综合测评2一元二次函数方程和不等式新人教A版必修第一册

章末综合测评(二)一元二次函数、方程和不等式(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|x2－x－2<0}，集合B＝{x|1<x<3}，则A∪B等于()A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<1}C．{x|1<x<2} D．{x|2<x<3}2．不等式x-A．{x|x<－1或－1<x≤2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1或x≥2}D．{x|－1<x≤2}3．已知a＞b，且ab≠0，c∈R，则下列不等式中肯定成立的是()A．a2＞b2 B．1a＜C．a+b2≥ab D．4．(2024·江苏省新海高级中学月考)在欧几里得之后，获得与均值不等式等价结果的数学家是芝诺多鲁斯，他写了一本名为《论等周图形》的书，特地探讨等周问题，在书中他给了这样一个命题：“在边数相同、周长相等的全部多边形中，等边且等角的多边形的面积最大．”由此可知，若一个矩形的长为a，宽为b，则与这个矩形周长相等的全部四边形中，面积最大值为()A．a+b2C．b2 D．ab5．已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为()A．xB．xC．{x|－2＜x＜1}D．{x|x＜－2，或x＞1}6．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对随意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为()A．－1<a<1 B．0<a<2C．－12<a<32 D．－32<7．(2024·湖南雅礼中学月考)若对于随意x>0，xx2+3x+1A．a>15 B．a≥C．a>0 D．a>58．(2024·广东深圳外国语学校月考)已知x，y为正实数，则yx＋16A．6 B．5C．4 D．3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知2<x<3，2<y<3，则()A．6<2x＋y<9 B．2<2x－y<3C．－1<x－y<1 D．4<xy<910．(2024·山东德州市陵城区翔龙高级中学月考)已知命题“∀x∈R，ax2－3x－1<0”为假命题，则实数a的值可以是()A．－3 B．－2C．－1 D．011．(2024·山东省蓬莱第一中学月考)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，则下列说法正确的是()A．a>0B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x>－12}C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为xD．a＋b＋c>012．(2024·新高考Ⅱ卷)若x，y满意x2＋y2－xy＝1，则()A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合A＝{－5，－1，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是________．14．a，b∈R，a＜b和1a＜115．(2024·浙江台州市书生中学月考)已知a>0，b>0，且a＋1b＝2，则4a＋16．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示，总利润y为正数)，则营运年数的取值范围是________；每辆客车营运________年时，年平均利润最大．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知a>0，b>0，且a≠b，比较a2b+b218．(本小题满分12分)(2024·山东省青岛第九中学月考)已知关于x的一元二次函数y＝ax2－bx＋1.(1)若y<0的解集为xx<-12或(2)若实数a、b满意b＝a＋1，求关于x的不等式y<0的解集．19．(本小题满分12分)(1)若正数x，y满意x＋y＋8＝xy，求xy的取值范围．(2)已知a，b，c都为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：a+1a＋b+120．(本小题满分12分)(2024·山东新泰市第一中学月考)已知函数y＝(m＋1)x2－mx＋1.(1)当m＝5时，求不等式y>0的解集；(2)若不等式y>0的解集为R，求实数m的取值范围．21．(本小题满分12分)已知不等式x+12-x≥0的解集为条件p，关于x的不等式x2＋mx－2m2－3m－1<0m>(1)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；(2)若p的充分不必要条件是q，求实数m的取值范围．22．(本小题满分12分)经观测，某马路段在某时段内的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间有函数关系：y＝920vv2+3v+1600(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，则汽车的平均速度应限制在什么范围内？章末综合测评(二)1．A2．D3．D4．A5．A6．C7．B8．A9．ACD[∵2<x<3，2<y<3，∴4<xy<9．∴4<2x<6，6<2x＋y<9，∴－3<－y<－2，－1<x－y<1，1<2x－y<4．故选ACD．]10．BCD[假设命题“∀x∈R，ax2－3x－1<0”为真命题，当a＝0时，不等式为－3x－1<0，不恒成立，所以a＝0不满意；当a≠0时，∀x∈R，ax2－3x－1<0，则抛物线y＝ax2－3x－1的开口只能向下，且Δ<0，即a<0，-3综上所述，当命题“∀x∈R，ax2－3x－1<0”为真命题，实数a的取值范围为所以命题“∀x∈R，ax2－3x－1<0”为假命题，实数a的取值范围为a11．AC[因为不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，所以a>0，A正确；方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－3，x2＝4，由根与系数的关系得，-得b＝－a，c＝－12a，bx＋c>0等价于－ax－12a>0，所以x<－12，B错误；不等式cx2－bx＋a<0等价于－12ax2＋ax＋a<0，即12x2－x－1>0，解得：x<－14或x>因为b＝－a，c＝－12a，所以a＋b＋c＝－12a<0，D错误．故选AC．]12．BC[对于A，B，由x2＋y2－xy＝1可得，(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤x+y即1≥(x＋y)2－3∴(x＋y)2≤4，∴－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；对于C，D，由x2＋y2－xy＝1得，x2＋y2－1＝xy≤x∴x2＋y2≤2，故C正确，D错误．故选BC．]13．(x＋4)(x－6)>0(答案不唯一)[由题意知写出的一元二次不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，不等式解集中的整数解只有一个在集合A中即可．故不等式可以是(x＋4)(x－6)>0．解集为{x|x>6，或x<－4}．解集中只有－5在集合A中．]14．a＜0＜b[若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，1b＞1a，即1a＜1b；若ab＞0，则15．92[由a>0，b>0，则4a＋b＝124a+ba+1b＝125+16．{3，4，5，6，7，8，9}5[由题意可设二次函数解析式为：y＝a(x－6)2＋11，x∈N*，又函数图象过点(4，7)，故7＝a(4－6)2＋11，∴a＝－1．∴y＝－(x－6)2＋11，x∈N*．由y>0得6－11<x<6＋11，又x∈N*，∴x＝3，4，5，6，7，8，9．由yx＝-x2+12x-25x＝－x－25x＋12≤－217．解：因为a2b+b2a－(a＋b)＝a2b－b＋b2a－a＝a2-b2b＋b2-a2a＝(a2－b2)1b-1a＝(a2－b2)·a-bab＝a-b2a+bab，因为a>0，18．解：(1)∵y<0的解集为xx<∴－12与1是方程ax2－bx由根与系数的关系可知：-1解得a＝－2，b＝－1．(2)∵b＝a＋1，则不等式y<0化为：ax2－(a＋1)x＋1<0，因式分解为：(ax－1)(x－1)<0(a≠0)．当a＝1时，化为(x－1)2<0，则解集为∅；当a>1时，1a<1，解得1a<x<1，不等式的解集为当0<a<1时，1a>1，解得1<x<1a，不等式的解集为当a<0时，1a<0，解得x>1或x<1a19．解：(1)xy＝x＋y＋8≥2xy＋8，所以(xy)2－2xy－8≥0，所以(xy－4)(xy＋2)≥0，所以xy≥4，所以xy≥16(当且仅当x＝y＝4取等号)，所以xy的取值范围为xy≥16．(2)证明：a+1a＋b+1b＋c+1c＝a+a+b+ca＋b+a+b+cb＋c+a+b+cc＝4＋ba∴a+1a＋b+120．解：(1)依据题意，得y＝6x2－5x＋1，由y>0得6x2－5x＋1>0，即(3x－1)(2x－1)>0，解得x<13或x>1故不等式y>0的解集为x(2)由题意得，(m＋1)x2－mx＋1>0的解集为R，当m＝－1时，不等式可化为x＋1>0，解得x>－1，即(m＋1)x2－mx＋1>0的解集为{x|x>－1}，不符合题意，舍去；当m≠－1时，y＝(m＋1)x2－mx＋1开口向上，且与x轴没有交点时，(m＋1)x2－mx＋1>0的解集为R，所以m+1>0解得m>-1，2-22综上，得2－22<m<2＋22故实数m的取值范围为2－22<m<2＋2221．解：(1)条件p：由x+12-x≥0，可得x+1记A＝{x|－1≤x<2}．条件q：由x2＋mx－2m2－3m－1<0，可得[x＋(2m＋1)][x－(m＋1)]<0，因为m>－2所以－(2m＋1)<m＋1，所以－2m－1<x<m＋1，记B＝{x|－2m