电路原理习题答案第八章 相量法

第八章相量法

求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。引用相

量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦

稳态响应的数学运算。

所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC元件用阻抗或导纳表示，画

出电路的相量模型，利用KCLKVL和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流

相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握：(1)正弦信号的相量

表示；(2)KCL,KVL的相量表示；(3)RLC元件伏安关系式的相量形式；(4)复

数的运算。这就是用相量分析电路的理论根据。

8-1将下列复数化为极坐标形式：

⑴二=-5-凡⑵彳=-4+凡⑶彳=20+川；

(4)£=⑸£=-3；(6)今=2.78+虑20。

解：(1)=-5-^=azo

a=J(-5)2+(-5)2=55/2

_5

o=arctan_=-135。

M(因耳在第三象限)

故T的极坐标形式为。=5辰-135。

(2)F=—4+j3=J(-4)2+32Narctan(3/-4)=5N143.13,(F在第一

象限)

(3)F=20+/40=7202+402Zarctan(4020)=44.72/63.43。

(4)F，=10j=10/90。

(5)《=-3=3/180,

(6)F=2.78+79.20=72.782+9.202Zarctan(9.2y2.78)=9.61Z73.19

注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即

尸=气+凡=a/o=a叫它们相互转换的关系为：

_______0=arctan2

a=J32+aia

*121

和a=acosOa=asino

需要指出的，在转换过程中要注意F在复平面上所在的象限，它关系到。的取值

及实部a1和虚部a2的正负。

8-2将下列复数化为代数形式：

（1）F=10Z—730.（2）F=15/112.6。.（3）5=1.2/152。.

1*2‘3

（4）F=10/—90。.（5）F=5Z—180°.（6）F—10Z-135°o

解（1）F=10Z-73。=10xcos（-73。）+jlOxsin（-73。）=2.92-j9.56

（2）F=15/1126=15cosll26+15sinll2.6。=-5.76+/13.85

（3）F=1.2/152。=1.2cosl52。+1.2sin152。=-1.06+fi.56

（4）F=10/—90。=—jlO

=5/—180。

⑹1=10cos（-135。）+10sin（-135。）=-7.07-/7.07

=10/—135。

8-3若10°NO。+AN60。=175Z(P。求人和<P。

解：原式=100+4cos60+/asin60。="5cos（p+〃75sincp根据复数相等的

定义，应有实部和实部相等，即

Acos60、+100=175cos（p

虚部和虚部相等>4sin60=175sin<p

把以上两式相加，得等式

/42+100/4-20625=0

A=-100±71002+4x20625_102.07

解得2-202.069

..102.07x史

.Asm602lcl

sin<p=----------=----------------=0.505

所以175175

<P=30.34。

2*F6^JF/F6O

8-4求8—1题中的F

解：FxF6=(-4+J3)x(2.78+J9.20)=5Z143.13»x9.61N73.19。

=48.05Z216.32=48.05Z-143.68。

-4+；35/143.13。

=0.52Z69.94

2.78+J9.209.61/73.19。

8-5求8—2题中的云+尸5和々外。

融F+F=10/—73。+5Z-180

解：15

二10COS(-73。)+；10sin(-73-)-5

=-2.08-J9.56=9.78Z-102.27。

10/—73。

/F—________=2Z—73c+180：=2Z107°

1’55/-180。

8—6若已知。i=-5cos（314/+60）A,z=10sin（314r+60）A,

i=4cos（314/+60

3

（1）写出上述电流的相量，并绘出它们的相量图；

（2）与”2和4与’3的相位差；

（3）绘出"；的波形图；

（4）若将《表达式中的负号去掉将意味着什么？

（5）求,；的周期T和频率上

解：（1）/=-5cos（314/+60）=5cos（314r+60j-180）=5cos（314z-120J

i=10sin(314r+60»)=10cos(314r-30)

故。和’3的相量表达式为

5104

I=_Z-120A,/=_Z-30A,Z=—N6OA

1624i3质

题解8—6图

（2）<P=<P-<P=-120-（-30）=-90

（p=<p-（p=-120。-60。=780。

1313

（3）\（t）的波形图见题解图（b）所示。

（4）若将'（t）中的负号去掉，意味着’的初相位超前了180。。即7的

111

参考方向反向。

（5）[（t）的周期和频率分别为

72KOjr

/===0.02s=20侬

3314

1co1

f=~=—==5QHz

T2兀0.02

注：定义两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差，因此在

比较相位差时，两个正弦量必须满足（1）同频率；（2）同函数，即都是正

弦或都是余弦；（3）同符合，即都为正号或都为负号，才能进行比较。

8-7若已知两个同频正弦电压的相量分别为

匕=50/30。匕。2=-100/-150V,其频率f=100Hz。求：

(1)写出々,〃2的时域形式；(2)匕与“2的相位差。

⑴«(/)=5072cos(2ny?+30)=5072cos(628/+30)V

u⑺=-100V2COS(2TC^-150)=100j2cos(628f-150=180)V

2

=100^cos(628/+30)V

(2)因为U〔二50/30。V,(72=-100Z-150»V=100/30。V

故相位差为①=30-30。=0。，即％与外同相位。

8—8已知：(0=220-72cos(314r-120)V

u(/)=220V2cos(314/+30)V

2

(l)画出它们的波形图，求出它们的有效值、频率/和周期T；

(2)写出它们的相量和画出其相量图，求出它们的相位差；

(3)如果把电压〃2的参考方向反向，重新回答(D，(2)o

解：(1)波形如题解8—8图(a)所示。

题解8-8图

uu22Wu

有效值为y=2=2

314

f=f===5QHz

频率122兀2兀

T=T=1_=_L=0.02.S

周期12/50

（2）々和以的相量形式为

U=220/-120。VU=220/30V

12

故相位差为中=Q一、=-120-30。=-150

相量图见题解图（b）所示。

（3）〃2的参考方向反向，冤（t）变为一"2（t）,有效值、频率和周期均

（t）的相量为.=220Z30-180=200Z-150V

不变,—u2

故&和〃2的相位差为9=9-92=-120-（-150）=30

波形图和向量图见题解图（a）和（b）0

8-9已知一段电路的电压、电流为:

w=10sin(103r-20)V

Z=2COS(103/-50=)A

（1）画出它们的波形图和向量图；（2）求出它们的相量差。

解⑴〃=10前（103-20。）=108s故u和i的相量分别为

题解8-9图

（2）相位差<P=<Pu-9=-110-（-50J=-60^说明电压落后于电流60。。

8-10已知图示三个电压源的电压分别为:

u=220j2cos(wr+10)Vu=220j2cos((or-110-)V

arb，

u=22Qj2cos(o)r+1300V

c，

求：(1)3个电压的和；(2)“一，.；(3)画出它们的相量图。

题解8-10图

解：，，。的相量为

U=220N10。V

a

U=220Z-110^

b

U=220/130。V

c

(1)应用相量法有

U+U+U=220/10。+220/-110。+220/130,

abc

=0

即三个电压的和〃#)+〃？)+〃w=o

If=u-U=220/10。-220N-110。

(2)u心«b

=220-j3Z40V

U=U-U=220/-110。-220/1300

behc

=220j3Z-80V

（3）相量图如题解8-10图所示。

题解8-10图

8-11已知图(a)中电压表读数为匕：30乙1：6°匕图(b)中的匕：15%

V:80匕V:100Vo(电压表的读数为正弦电压的有效值。)求图中电压4。

Q)0>)

题8-11图

解法一：

(a)图：设回路中电流/=/NO。，根据元件的电压、电流相量关系，可得

题8-11图

U=Rl'=RIZQ=30Z0V

R

U=jX/=X//90。=60/90"

LLL

则总电压丸=乙+乙=30+；60V

U

所以匕的有效值为s々302+602=67.08V

(b)图：设回路中电流相量/=，/0。4,因为

U=6=R/NO=15NO”

R

V=jXi=X/Z90=80Z90V

兀忏和重天东日双但天乐不日似天乐和重囹

电阻RU=RIU=RI0=0

RRRRui

U=-jXi=XZZ-90=100Z-90V

ccc

所以总电压U5=UR+UL+UC=15+；80-100J=15-J20V

U=1132+202=25-

故，的有效值为s

解法二：利用相量图求解。设电流/=/NO。为参考相量，电阻电压与

/同相位，电感电压小.超前/90、电容电压小要滞后/90,总电压山与各元

件电压向量构成一直角三角形。题解8T1图(a)和(b)为对应原图(a)和(b)

的相量图v由题解图(a)可得V^----------7---------

U=U2+U2=302+602=67.08V

SRL

由题解图(b)可得

JJ

U=U2+(U-U)2=152+(100-80)2=258V

题解8-11图

注：这一题的求解说明，R,L,C元件上电压与电流之间的相量关系、有效

值和相位关系(如下表所示)是我

们分析正弦稳态电路的基础，必须很好地理解和掌握。

t

电感LU=jXIU=jxi0=0+90。\Ur

LLLLL“i

----------------►

----------------►

电容Cu=-jxiU=XI0=0-90。

q

ccccccui［必

8-12已知图示正弦电流电路中，电流表的读数分别为:20A；

43：254。求（1）图中电流表A的读数；（2）如果维持％的读数不变，而把电

题8-12图

解法一：

(1)R,L,C并联，设元件的电压为

u=U=U=U=UNO。

RLC

根据元件电压、电流的相豺皂可得

I=U=U_5Z0A

RRR—

j=U=UN—90CA=-J20A

：Tj

/=0r=Z90=25Z90=；25A

0-A

cr

应用KLC的相量形式，总电流相量为7

/=/停+/j20+./25=5+J5=52Z45M

RLC

故总电流表的读数=/=52=7.07A

(2)设九=%=，二°=UR-----

当电流的频率提高一倍后，由于"RR不变，所以^"=^不

X-_L

变，而。=2m上增大.倍，c23c减小一倍，因此，有

I=U二UJ如

L巴J2oL2

'===2x25Z90=50Z90A

cTx一_L

,2(0c

/+I+1=5-J10+j'50=5+j40

所以1RLC

即，电流表的读数

=U

解法二：利用相量图求解。设U=UNO。=U=U为参考向量，根

RLC

据元件电压、电流的相位关系知，心和同相位,/）超前9@，/：滞后仃90。,

相量图如题解8—12图所示，总电流/与二，乙和。组成一个直角三角形。故

电流表的读数为⑥J

12+(/-I)2A

砂VRCL

即⑴④二,2+(23-20)2=7.07A

52+(25—10)2=40.314

注：从8—11题的解法二，可以体会到应用向量图分析电路的要点，那就是

首先要选好一个参考相量，这个参考相量的选择，必须能方便地将电路中其它电

压、电流相量，根据电路的具体结构及参数特点逐一画出，把所给的条件转化成相

量图中的几何关系。最后根据相量图中的相量关系，使问题得到解决。一般对串联

电路，选电流作参考方向较方便，如8—11题。对并联电路，则选电压作参考相量

较方便，如8-12题。有些问题通过相量图分析将很直观和简便。

8-13对RL串联电路作如下两次测量：（1）端口加90V直流电压（s=。）时，

输入电流为3A；（2）端口加f=50〃z的正弦电压90V时，输入电流为1.8A。求

R和L的值。

题解8—13图

解：由题意画电路如题解8—13图所示。

(1)当'1为90V直流月压时，电感L看作短路，则电阻

也30。

R=-

3

（2）当〃，为90V交流电压时，设电流/=/N0、=1.8N0°A,根据相量法,

有

U=R1+jXI=30x1.8+jXx1,8

U=90=1.8x^302+X2

X=J(一)2-30240Q

LV1.8=

XX40…

Lr=L=L==0.1：

根据乙=泣，解得CD2nf10071

8-14某一元件的电压、电流（关联方向）分别为下述4种情况时，它可能是

什么元件?

/M=10COS(10/+45^)V|w=10sin(100r)V

⑴[z=2sin(10r+135^)A(2)[z=2cos(100r)A

|w=-10cosrV(〃=10cos(314/+45)V

(3)Ii=-sintA⑷[Z=2cos(314/)/A

解⑴把电流变为余弦形式有i=2c°s(1°,+135°-90°)=28s(18+45°)。,

”和，的相量为

U='45"/=A

V2,W

U

y=5Z0Q

则

即电压、电流同相位，根据元件电压、电流相位关系可知这是一个5。的电阻元

件。

(1)把电压变为余弦形式有«=cos(100r-；90)V

1匕452

u=7=—Z0M

(2)〃和i的相量为V2鬼

U5

=5/45。=诋(1+j)=R+jX

则

X==_LQ

即这是一个噩的电阻和L点的电感的串联组合。

8-15电路由电压源",=100c。s(1O3^)V及R和L=oo25H串联组成。电感端电

压的有效值为25VO求R值和电流的表达式。

解：由题意画电路的相量模型如题解8-15图(a)所示，相量图如题解图

(b)所示。由于

U二吧/0。

,企

X=(□£=103x0.025=25Q