人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元检测

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元检测

一、选择题

1.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD±,4AEF是等边三角形连接AC交EF

于G,下列结论：①BE=DF,②/DAF=15。，③AC_LEF,④BE+DF=EF,⑤EC=FG；其中

正确结论有（）个

A.2B.3C.4D.5

2.CJABCD中，ZA=60",点E、F分别在边AD、DC上，DE=DF,且NEBF=60°.若AE=2,

C.2x/6D.5

3.如图，正方形ABCD的边长为2a,点E从点A出发沿着线段AD向点D运动（不与点

A、D重合），同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动（不与点D、C重合），点E与点F

的运动速度相同.BE与AF相交于点G,H为BF中点，则有下列结论：①NBGF是定值；

②BF平分/CBE；③当E运动到AD中点时，GH=—«；④当C4AGB=（"+2）a时，S喇柩

2

A.①③B.①②③C.①③④D.①④

4.如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，BE_LDP的延长线于点E,连接AE,

过点A作FA_LAE交DP于点F,连接BF、FC.下列结论中：①ABE丝ADF；

②PF=EP+EB；③BCF是等边三角形；④NADF=/DCF；⑤S』=SCDF•其

中正确的是（）

A.①@③B.①©④C.②©⑤D.①③@

5.如图，在正方形ABC。中，E，F分别为BC,的中点，P为对角线AC上的一

个动点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的是（）

A.ABB.CEC.ACD.AF

6.如图，正方形ABCD中，AB=4,E为CD上一动点，连接AE交BD于F,过F作

FHJ_AE于F,过H作HGJ_BD于G.则下列结论：①AF=FH；@ZHAE=45°；③BD=

2FG；④4CEH的周长为8.其中正确的个数是（）

7.如图，在四边形ABC。中，AB//CD,ZC=90°,AB=8,AD=CD=5,点/W为BC上异于

B、C的一定点，点N为A8上的一动点，E、F分别为DM、MN的中点，当N从A到B的

运动过程中，线段EF扫过图形的面积为（）

A.4B.4.5C.5D.6

8.如图，在正方形A8CD中，E为8C上一点，过点E作。〃CD,交AD于F,交对角线

BD于G,取DG的中点H,连结AH,EH,FH.下列结论：①/EFH=45。；

BESRFH11

②AAHDSEHF；®ZAEF+ZHAD=45°；④若——=2,则----=—.其中结论正确

EC3AHE13

的是（)

C.②③④D.①②③④

9.如图，正方形ABCD的边长为2,Q为CD边上（异于C,D）的一个动点，AQ交BD于

点M.过M作MN_LAQ交BC于点N,作NP_LBD于点P,连接NQ,下面结论：

①AM=MN；②MP=&；③ACNQ的周长为3；④BD+2BP=2BM,其中一定成立的是（）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.①④

10.如图，矩形ABCD的面积为20cm2,对角线相交于点0.以AB、AO为邻边画平行四边

形AOJB,对角线相交于点。；以AB、AO为邻边画平行四边形AO1C2B,对角线相交于点

02：......以此类推，则平行四边形AO,CsB的面积为（）

二、填空题

11.在平行四边形ABCD中，NA=30°,AO=2G,8O=2,则平行四边形ABCD的面积

等于.

12.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABC。中，

A8=3,AC=2,则BO的长为.

13.如图，以RtABC的斜边AB为一边，在AB的右侧作正方形ABED,正方形对角线交

于点0，连接C0,如果AC=4,CO=60，那么BC=.

14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,AB=OB,点E,F分别是

0A,0D的中点，连接EF,EM_LBC于点M,EM交BD于点N,若NCEF=45°,FN=5,

则线段BC的长为.

15.如图，四边形纸片A8C。中，AB=BC,ZABC=ZADC=90°.若该纸片的面积为

10cm2,则对角线cm.

16.在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB,AC为边向外作正方形ABDE和

正方形ACFG,连接CE,BG和EG,EG与HA的延长线交于点M,下列结论：①BG=CE；

②BG_LCE；③AM是AAEG的中线；④NEAM=/ABC.其中正确的是.

17.如图，直线4，4分别经过点（1,0）和（4,0）且平行于y轴.[OABC的顶点A，C

分别在直线4和4上，。是坐标原点，则对角线OB长的最小值为.

18.如图，在平行四边形ABCD中，AC1AB,AC与BD相交于点0,在同一平面内将AABC

沿AC翻折,得到AABC若四边形ABCD的面积为24cm2,则翻折后重叠部分（即SAACE）

的面积为cm2.

19.如图，在菱形ABCD中，AC交BD于P,E为BC上一点，AE交BD于F,若AB=AE,

/EAD=2NBAE，则下列结论：①AF=AP；②AE=FD；③BE=AF.正确的是（填

序号）.

20.如图，在平行四边形ABCO中，AB=5,AD=3,/BAD的平分线AE交C。于点

E,连接3E,若=则平行四边形A3CD的面积为.

21.如图1所示，把一个含45。角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三

角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E,F分别在正方形的边CB,CD上,连接AE、

AF.

⑴求证：AE=AF；

（2）取AF的中点M,EF的中点N,连接MD,MN.则/WD,MN的数量关系是,

MD、MN的位置关系是

⑶将图2中的直角三角板ECF,绕点C旋转180。，如图3所示，其他条件不变，则⑵中的

两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.

22.如图，在用AABC中，NB=90°,AC=40CT«,NA=60°,点。从点C出发沿C4方

向以4。"/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿A6方向以2cm/秒的速度

向点8匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个地点也随之停止运动.设点2E运动

的时间是f秒(0<f<10).过点。作于点尸，连接DE,EF.

(1)试问四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明

理由；

(2)当，为何值时，NFDE=90°?请说明理由.

23.如图，在正方形A8C。中，点E是8c边所在直线上一动点(不与点B、C重合)，过

备用图

(1)如图，当点E在线段BC上时，4BDF=a.

①按要求补全图形；

②NEBF=(用含a的式子表示)；

③判断线段BF,CF,DF之间的数量关系，并证明.

(2)当点E在直线8c上时，直接写出线段BF,CF,DF之间的数量关系，不需证明.

24.如图1,点七为正方形ABC。的边AB上一点，EF工EC,且EF=EC,连接

AF,过点尸作FN垂直于84的延长线于点N.

（1）求NE4/的度数；

（2）如图2,连接FC交BD于M，交AO于尸，试证明：

BD=BG+DG=AF+2DM.

25.如图，四边形A8CD为正方形.在边AO上取一点E，连接3E,使NA£B=60°.

（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点8、C为圆心，8C长为半径作弧交正

方形内部于点T,连接8T并延长交边4）于点E,则44EB=60°；

（2）在前面的条件下，取的中点M，过点M的直线分别交边A3、CD于点P、Q.

①当PQLBE时，求证：BP=2AP-,

②当PQ=BE时，延长BE,CO交于N点，猜想NQ与"Q的数量关系，并说明理由

26.如图，AABC是边长为3的等边三角形，点。是射线BC上的一个动点（点。不与

点、B、。重合），A40E是以AO为边的等边三角形，过点E作8c的平行线，交直线

（1）判断四边形8CEE的形状，并说明理由；

（2）当OELA3时，求四边形8CFE的周长；

（3）四边形8CFE能否是菱形？若可为菱形，请求出BO的长，若不可能为菱形，请说

明理由.

27.如图，在平行四边形ABCD中，AD=30,CD=10,F是BC的中点，P以每秒1个单位长

度的速度从A向D运动，到D点后停止运动；Q沿着Af。路径以每秒3个

单位长度的速度运动，到D点后停止运动.已知动点P,Q同时出发，当其中一点停止

后，另一点也停止运动.设运动时间为t秒，问：

（1）经过几秒，以A,Q,F,P为顶点的四边形是平行四边形

（2）经过几秒，以A,Q,F,P为顶点的四边形的面积是平行四边形ABCD面积的一

半？

28.如图①，在等腰RrABC中，ABAC=9Q，点E在AC上（且不与点A、C重合

）,在ABC的外部作等腰RrCED,使NCE£>=90，连接AD，分别以AB,AD为邻

边作平行四边形A8FD,连接AF.

（1）请直接写出线段AF,AE的数量关系；

（2）①将CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段8c上时，如图②，连接AE,请判断

线段AF,AE的数量关系，并证明你的结论；

②若AB=2逐，CE=2,在图②的基础上将CED绕点C继续逆时针旋转一周的过

程中，当平行四边形ABF。为菱形时，直接写出线段AE的长度.

F图③

29.如图，矩形ABCD中，点。是对角线BD的中点，过点0的直线分别交AB,CD于点

E,F.

（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；

（2）若四边形DEBF是菱形，则需要增加一个条件是，试说明理由；

（3）在（2）的条件下，若AB=8,AD=6,求EF的长.

30.已知，矩形ABCO中，AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分所线分别交

AD.BC于点E、F,垂足为O.

（1）如图1,连接"、CE,求证：四边形AFCE为菱形；

（2）如图2,动点P、。分别从A、。两点同时出发，沿△AEB和△COE各边匀速运

动一周，即点P自Af尸"3fA停止，点。自C7EfC停止.在运动过程

中，

①已知点P的速度为每秒5c加，点。的速度为每秒4cm,运动时间为t秒，当

A、C,P、。四点为顶点的四边形是平行四边形时，则r=.

②若点尸、。的运动路程分别为a、b（单位:明而H0）,已知A、C、P、Q四点为顶

点的四边形是平行四边形，则a与b满足的数量关系式为.

5M图2备用图

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.B

解析:B

【分析】

根据已知条件易证4ABE丝Z\ADF,根据全等三角形的性质即可判定①②；由正方形的性质

就可以得出EC=FC,就可以得出AC垂直平分EF,即可判定③；设EC=FC=x,由勾股定理和

三角函数计算后即可判定④⑤.

【详解】

•••四边形ABCD是正方形，

AB=BC=CD=AD,ZB=NBCD=ZD=ZBAD=90°.

•••△AEF等边三角形，

AE=EF=AF,ZEAF=60°.

ZBAE+ZDAF=30°.

在RtAABE和RtAADF中，

AE=AF

AB=AD'

RtAABE里RtAADF（HL）,

.BE=DF（故①正确）.

ZBAE=ZDAF,

ZDAF+ZDAF=30°,

即NDAF=15。（故②正确）,

1.,BC=CD,

BC-BE=CD-DF,即CE=CF,

•••AE=AF,

・•.AC垂直平分EF.（故③正确）.

设EC=FC=x,由勾股定理，得：

6

EF=yjlx,CG=FG=—x,

2

.♦.ECWFG（⑤错误）

在RtAAEG中，

AG=AEsin600=sin600=2xCGsin600=—x,

2

.「ax+>/2x

AC=---------,

2

.D百x+x

AB=------,

2

-lx/3x+x6x-x

BE=--------x=-------,

22

:.BE+DF=A-X手母x，（故④错误），

综上所述，正确的结论为①②③，共3个，

故选B.

【点睛】

本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等

边三角形的性质的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题的关键.

2.A

解析：A

【解析】

【分析】

由DE=DF,AE=2,FC=3可知AB-BC=1,过点E作EMLAB于M,根据30°角所对的直

角等于斜边的一半可得AM=1,进而得出BM=BC,将△BEM顺时针旋转120°得

△BEN,连接FN,可证ABEF丝△BFN,即可得出EF=FN,过点N作NG_LDC交DC的

延长线于点G,利用勾股定理即可求出答案.

【详解】

解：过点E作EM_LAB于M,

在RtAAEM中，ZA=6O°,

.-.ZAEM=3O°,

1

..AM=—AE=1,

2

；.ME=G,

XvDE=DF,AE=2,FC=3,

•••DC-AD=1,即AB-BC=1,

将ZkBEM顺时针旋转120°得ABEN,连接FN,则CN=EM=®，BE=BN,

••,NEBF=60。，NEBN=120°,

."NBF=60°,

.\ZEBF=ZNBF

X---BE=BN,BF=BF,

.,.△BEF=ABFN,

・・・EF=FN,

过点N作NG1DC交DC的延长线于点G,

；NGCN=180°-60°-90°=30°,

故答案为

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，合理添加辅助线是解题关

键.

3.A

解析：A

【解析】

【分析】

根据题意很容易证得ABAE丝AADF,即可得到AF=BE,利用正方形内角为90。，得出

AF_LDE,即可判断①，②无法判断，③根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.

④根据ABAE丝AADF,即可得到S四边彩GEDF=S"G，即可求解.

【详解】

①证明：在AD边上（不与A.D重合），点F在。C边上（不与D.C重合）.

又•••点E.F分别同时从A.。出发以相同的速度运动，

：.AE^DF,

•.•四边形ABCD是正方形，

AB=DA,NBAE=NZ）=90,

在"AE'和AADF中，

AE=DE

<NBAE=ZADF=90

AB=AD,

：.^BAE^^ADF（SAS）,

：.Z1=Z2,

,/N2+N3=90

•••Z1+Z3=90

即ZAGB=90

NBGF=90,

/BGF是定值；正确.

②无法判断NGB产与NCBE的大小，BF平分/CBE；错误.

③当E运动到AD中点时，

点F运动到CD中点，

CF」CD=a,

2

BF=y/BC2+CF2=45a,

GH==，8F=Y^a,正确.

22

®^BAE^^ADF,

=

则SHa®GEDFSABC,

当CAAGB=("+2)4时，

AG+GB=V6a,

(AG+GB)2=AG2+2AGGB+GB1=6a2,

AG2+BG2=AB2=4a2,

2AGGB=2a2,

11,

S=-AGGB=-a2,

ABGC22

S|Sii)BGEDF=—a2,故S四边修GEDF=—a2,错误.

26

故选A.

【点睛】

考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理

是解题的关键.

4.B

解析：B

【解析】

【分析】

根据正方形的性质可得AB=AD，再根据同角的余角相等求出/BAE=NDAF,再根

据等角的余角相等求出NABE=/ADF,然后利用"角边角"证明ABE公ADF；根据

全等三角形对应边相等可得AE=AF，判断出AEF是等腰直角三角形，过点A作

可，可于乂，根据等腰直角三角形点的性质可得AM=MF，再根据点P是AB的中点

得到AP=BP,然后利用“角角边"证明APM和BPE全等，根据全等三角形对应边相

等可得BE=AM，EP=MP，然后求出PF=EP+EB：根据全等三角形对应边相等求

出DF=BE=AM，再根据同角的余角相等求出NDAM=NCDF,然后利用"边角边"

证明ADM和DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得NADF=/DCF,

/CFD=/DMA=90;再求出CDHCF,判定BCF不是等边三角形；求出

CF>FP,AM=DF,然后求出S.<SCDF.

【详解】

在正方形ABCD中，AB=AD，/DAF+/BAF=90，

FALAE，

.•./BAE+/BAF=90，

^BAE=^DAF，

BE±DP.

../ABE+/BPE=90，

又NADF+/APD=90，/BPE=/APD(对顶角相等)，

..NABE=ZADF，

在ABE和ADF中，

"NBAE=NDAF

<AB=AD,

NABE=ZADF

ABE丝ADF(ASA),故①正确；

,-.AE=AF，BE=DF,

AEF是等腰直角三角形，

过点A作AM_LEF于M,则AM=MF，

点P是AB的中点，

.-.AP=BP,

在APM和BPE中，

'NBPE=NAPD

<NBEP=ZAMP=90,

AP=BP

APM丝BPE(AAS),

/.BE=AM,EP=MP,

.•.PF=MF+PM=BE+EP,故②正确；

BE=DF，FM=AM=BE，

,-.AM=DF.

又NADM+/DAM=90，/ADM+/CDF=90，

••."AM=/CDF,

在ADM和DCF,

AD=DC

"NDAM=ZCDF,

AM=DF

ADM也DCF(SAS),

.•.CF=DM,NADF=zi<DCF,NCFD=/DMA=90，故④正确:

在RtCDF中，CD>CF,

BC=CD,

CFwBC,

BCF不是等边三角形，故③错误；

CF=DM=DF+FM=EM+FM=EFwFP,

又AM=DF，

S-呼＜SCDF，故⑤错误；

综上所述，正确的有①②④,

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角或等角度余角相等的性质，三

角形的面积，综合性较强，难度较大，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，作辅助线利

用等腰直角三角形的性质并构造出全等三角形是本题的难点.

5.D

解析：D

【解析】

【分析】

连接DP,当点D,P,E在同一直线上时，由APCF丝4PCB可得DP=BP,8P+£P的最小值

为DE长，依据AADF丝Z\DCE,AF=DE,即可得到最小值等于线段AF的长.

【详解】

解：如图，连接DP,

VPC=PC,ZPCD=ZPCB=45°

.,.△PCF^APCB

，BP=DP

BP+PE=DP+PE

当点D,P,E在同一直线上时，BP+EP的最小值为DE长,

又：AB=CD,ZADF=ZECD,DF=EC,

.".△ADF^ADCE

；.AF=DE,

，3P+EP最小值等于线段AF的长，

故选：D.

【点睛】

本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出A关于BD的对称点C是解答此题的

关键.

6.D

解析：D

【分析】

①作辅助线，延长HF交AD于点L,连接CF,通过证明4ADF丝△CDF,可得：AF=CF,故

需证明FC=FH,可证：AF=FH；

②由FH1AE,AF=FH,可得：ZHAE=45"；

③作辅助线，连接AC交BD于点0,证BD=2FG,只需证0A=GF即可，根据

△AOF^AFGH,可证。A=GF,故可证BD=2FG；

④作辅助线，延长AD至点M,使AD=DM,过点C作a〃HL,则IL=HC,可证AL=HE,再

根据AMEC之△MIC,可证：CE=IM,故ACEH的周长为边AM的长.

【详解】

①连接FC,延长HF交AD于点L,

,/BD为正方形ABCD的对角线,

AZADB=ZCDF=45°.

：AD=CD,DF=DF,

.'.△ADF^ACDF.

；.FC=AF,ZECF=ZDAF.

VZALH+ZLAF=90°,

AZLHC+ZDAF=90".

VZECF=ZDAF,

.,.ZFHC=ZFCH,

/.FH=FC.

，FH=AF.

②,.•FHLAE,FH=AF,

；.NHAE=45°.

③连接AC交BD于点0,可知：BD=20A,

D

BH

•・•NAFO+NGFH=NGHF+NGFH,

AZAFO=ZGHF.

VAF=HF,ZAOF=ZFGH=90°,

/.△AOF^AFGH.

/.OA=GF.

VBD=2OA,

ABD=2FG.

④连接EM,延长AD至点M,使AD=DM,过点C作Cl〃HL,则：LI=HC,

AAE1CI,

/.ZDIC+ZEAD=90°,

VZEAD+ZAED=90°,

.\ZDIC=ZAED,

VED±AM,AD=DM,

EA=EM,

AZAED=ZMED,

.\ZDIC=ZDEM,

ZCIM=ZCEM,

VCM=MC,ZECM=ZCMI=45°,

AAMEC^ACIM,可得：CE=IM,

同理，可得：AL=HE,

HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8.

•••△CEH的周长为8,为定值.

故①②③④结论都正确.

故选D.

【点睛】

解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等.

7.A

解析：A

【分析】

取MB的中点P,连接FP,EP,DN,由中位线的性质，可得当N从A到8的运动过程中,

点F在FP所在的直线上运动，B|J：线段£F扫过图形为AEFP,求出当点N与点A重合时，

FP的值，以及FP上的高，进而即可求解.

【详解】

取MB的中点P,连接FP,EP,DN,

：FP是AMNB的中位线，EF是ADMN的中位线，

；.FP〃BN,FP=」BN,EF〃DN,EF=-DN,

22

.•.当N从A到8的运动过程中，点F在FP所在的直线上运动，即：线段EF扫过图形为

AEFP.

当点N与点A重合时，FP=L8N=，BA=4,

22

过点D作DQ_LAB于点Q,

"：AB//CD,ZC=90°,>48=8,AD=CD=5,

；.AQ=8-5=3,

，DQ==旧-32=4.

当点N与点Q重合时，EF=-DN=-DQ=2,EF〃DQ,即：EF±AB,即：EF±FP,

22

，AEFP中，FP上的高=2,

，当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积二1X4X2=4.

2

故选A.

【点睛】

本题主要考查中位线的性质定理，勾股定理以及三角形的面积公式，添加合适的辅助线，

构造三角形以及三角形的中位线，是解题的关键.

8.A

解析：A

【分析】

①根据正方形的性质证明NAOB=45。，进而得aOFG为等腰直角三角形，根据等腰三角形

的三线合一性质得/EFH=NEFD=45。，故①正确；

②根据矩形性质得AF=EB,/8EF=90。，再证明丝△EGH得EH=AH,进而证明

△EHFmAAHD,故②正确；

③由△EHFgAAHO得/EHF=/AHD,怀AH=EH得/AEF+/”EF=45°,进而得

ZAEF+ZHAD=45°,故③正确；

④如图，过点H作/WN_LA。于点M,与8C交于点N,设EC=FD=FG=x,则BE=AF=EG

=2x,BC=DC=AB=AD=3x,HM=—x,AM=—x,HN='x,由勾股定理得4H再由

222

S

三角形的面积公式得丁如，便可判断④的正误.

【详解】

①在正方形ABCD中，/ADC=/C=90。，N4DB=45。,

'：EF//CD,

：.ZEFD=90°,

.••四边形EFDC是矩形.

在RtZ\FDG中，NFDG=45°,

：.FD=FG,

是DG中点，

ZEFH=—/EFD=45°

2

故①正确；

②；四边形ABEF是矩形，

：.AF=EB,NBEF=90°,

,：BD平分/ABC,

；.NEBG=/EGB=45°,

：.BE=GE,

：.AF=EG.

在RtZXFG。中，H是DG的中点，

.\FH=GH,FH1BD,

"：ZAFH^ZAFE+ZGFH=900+45°=135°,

/EGH=180°-NEGB=180°-45°=135°,

NAFH=NEGH,

；.Z\AFH咨AEGH(SAS),

：.EH=AH,

；EF=A。，FH=DH,

丝△A”。(SSS),

故②正确；

③；AEHF公AAHD,

：.ZEHF=ZAHD,

，NAHE=/DHF=90°,

"：AH=EH,

：.NAEH=45",

即/AEF+/HEF=45°,

•；NHEF=NHAD,

：.NAEF+NHAD=45",

故③正确；

④如图，过点，作MNLAD于点M,与BC交于点N,

设EC=FD=FG=x,则8E=AF=EG=2x,

155

：.BC=DC=AB=AD=3x,HM=—x,AM=-x,HN=-x,

222

SAHE-AH113

2

故④错误；

故选：4.

【点睛】

本题主要考查正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，这是一道儿何

综合型题，关键是根据正方形的性质得到线段的等量关系，然后利用矩形、等腰三角形的

性质进行求解即可.

9.C

解析：c

【分析】

连接AC交BD于0,作ME_LAB于E,MF_LBC于F,延长CB到H,使得BH=DQ.

①正确.只要证明aAME丝ZXNMF即可：

②正确.只要证明△AOM咨Z\MPN即可；

③错误.只要证明/ADQZ^ABH,由此推出aANQ丝△ANH即可；

④正确.只要证明aAME四△NMF,证得四边形EMFB是正方形即可解决问题；

【详解】

连接AC交BD于。，作MEJ_AB于E,MF_LBC于F,延长CB到H,使得BH=DQ.

•..四边形ABCD是正方形，

AAC1BD,AC=0AD=2后，OA=OC=夜，ZDBA=ZDBC=45°,

；.ME=MF,

NMEB=NMFB=NEBF=90°,

四边形EMFB是矩形，

VME=MF,

.,•四边形EMFB是正方形，

.".ZEMF=ZAMN=90°,

AZAME=ZNMF,

VZAEM=ZMFN=90",

.".△AME^ANMF(ASA),

，AM=MN,故①正确；

VZOAM+ZAMO=90°,NAMO+NNMP=90°,

ZAMO=ZMNP,

VZAOM=ZNPM=90°,

/.△AOM^AMPN(AAS),

...PM=OA=&,故②正确；

VDQ=BH,AD=AB,ZADQ=ZABH=90°,

ZADQ^AABH(SAS),

；.AQ=AH,ZQAD=ZBAH,

ZBAH+ZBAQ=ZDAQ+ZBAQ=90°,

VAM=MN,ZAMN=90°,

NMAN=45°,

AZNAQ=ZNAH=45",

.,.△ANQ^AANH(SAS),

NQ=NH=BN+BH=BN+DQ,

.♦.△CNQ的周长=CN+CQ+BN+DQ=4,故③错误；

VBD+2BP=2BO+2BP=2AO+2BP=2PM+2BP,

；.BD+2BP=2BM,故④正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

10.A

解析：A

【分析】

设矩形ABCD的面积为S=20cm2,由。为矩形ABCD的对角线的交点，可得平行四边形

AOCiB底边AB上的高等于BC的L,依此类推可得下一个图形的面积是上一个图形的面积

2

的,，然后求解即可.

2

【详解】

设矩形ABCD的面积为S=20cm2,

VO为矩形ABCD的对角线的交点，

•••平行四边形AOCiB底边AB上的高等于BC的,，

2

平行四边形AOCiB的面积=』S,

2

:平行四边形AOCiB的对角线交于点

平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOCiB底边AB上的高的上,

2

I1s

平行四边形AO1C2B的面积=5x5S=^,

S205

依此类推,平行四边形AOCB的面积=(cm2),

45~8

故选：A.

【点睛】

本题考查了矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分的性质，得到下一个图

形的面积是上一个图形的面积的?是解题的关键.

2

二、填空题

11.4百或班

【分析】

分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边

形的面积公式即可得到结论.

【详解】

解：过。作。于E，

在RtAADE中,ZA=30°,AD=2拒,

：.DE=-AD=-B,AE=—AD=3,

22

在RtZXBDE中,BD=2,

BE=dBD?-DE?="2-(后=i,

..AB=4，

•••平行四边形ABCD的面积=ABDE=4x百=4g，

如图2,

AB=2,

..•平行四边形ABC。的面积=ABZ)E=2X/=26,

图3

在RtAABE中，设AE=x,则OE=26-x，

ZA=30。，BE=旦，

3

在中，BD=2,

22=(y-x)2+(2V3-x)2,

X—V3>x—2A/3(不合题意舍去)，

；.BE=1，

，平行四边形ABC。的面积=A。BE=1x2石=2百,

当AZ)_LB。时，平行四边形ABCO的面积=AO80=46，

故答案为：4百或2百.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性

质，根据题意作出图形是解题的关键.

12.地

【分析】

首先由对边分别平行可判断四边形ABCD为平行四边形，连接AC和BD,过A点分别作DC

和BC的垂线，垂足分别为F和E,通过证明4ADF空△ABC来证明四边形ABCD为菱形，

从而得到AC与BD相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD长度.

【详解】

解：连接AC和BD,其交点为。，过A点分别作DC和BC的垂线，垂足分别为F和E,

•••ABIICD,ADIIBC,

四边形ABCD为平行四边形,

ZADF=ZABE,

•..两纸条宽度相同，

AF=AE,

"ZADF=NABE

<ZAFD=ZAEB=90°

AF^AE

：.△ADF2△ABE,

AD=AB,

四边形ABCD为菱形，

二•AC与BD相互垂直平分,

22

­,•BD=2y/AB-AO=4夜

故本题答案为：4后

【点睛】

本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定

要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.

13.8

【分析】

通过作辅助线使得aCAO丝△GBO,证明aCOG为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG

后，即可求出BC的长.

【详解】

如图,延长CB到点G,使BG=AC.

•根据题意，四边形ABED为正方形，

AZ4=Z5=45°,ZEBA=9O",

AZl+Z2=90°

又•.•三角形BCA为直角三角形，AB为斜边,

Z2+Z3=90°

.,.Z1=Z3

，N1+N5=N3+N4,故NCAO=NGBO,

在△CAO和△GBO中，

CA=GB

<ZCAO=NGBO

AO=BO

故△CAOgZ\GBO,

・・・C0=G0=6&，Z7=Z6,

VZ7+Z8=90°,

.*.Z6+Z8=90o,

・・・三角形COG为等腰直角三角形,

：.CG=ylcO2+GO2=12，

VCG=CB+BG,

CB=CG—BG=12—4=8,

故答案为8.

【点睛】

本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和

性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾

股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键.

14.45/5

【分析】

设EF=x,根据三角形的中位线定理表示AD=2x,AD〃EF,可得/CAD=/CEF=45°,证

明AEMC是等腰直角三角形，则NCEM=45°,证明^ENFgZXMNB,则EN=MN=^X,

2

BN=FN=5,最后利用勾股定理计算X的值，可得BC的长.

【详解】

解：设EF=x,

•.•点E、点F分别是OA、0D的中点，

AEF是AOAD的中位线，

；.AD=2x,AD/7EF,

.,.ZCAD=ZCEF=45",

•・•四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,AD=BC=2x,

AZACB=ZCAD=45°,

VEM1BC,

AZEMC=90",

/.△EMC是等腰直角三角形,

AZCEM=45°,

连接BE,

\"AB=OB,AE=OE

ABE±AO

ZBEM=45°,

；.BM=EM=MC=x,

；.BM=FE,

易得^ENF丝Z\MNB,

1

，EN=MN=-X,BN=FN=5,

2

RtABNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2,

即52=x2+(1x)2

解得，x=2下,

BC=2x=45/5.

故答案为：475.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性

质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题.

15.275

【分析】

作BE_LAD于E,BF_LCD于F,则四边形BEDF是矩形，证明4ABE丝4CBF(AAS),得出

BE=BF,4ABE的面积=ACBF的面积，则四边形BEDF是正方形，四边形ABCD的面积=正

方形BEDF的面积，求出BE=JI6，即可求得BD的长.

【详解】

解：作BE_LAD交DA延长线于E,BF_LCD于F,如图所示：

则/BEA=/BFC=90°,

VZADC=90o,

...四边形BEDF是矩形,

/EBF=90°,

VZABC=90",

/EBF=NABC=90°,

/.ZABE=ZCBF,

在AABE和ACBF中，

NBEA=NBFC

<乙ABE=NCBF,

AB=CB

.".△ABE^ACBF(AAS),

r.BE=BF,Z\ABE的面积=ACBF的面积,

•••四边形BEDF是正方形，四边形ABCD的面积=正方形BEDF的面积，

ABE=DE,BE2=10cm2,

.••BE=V10(cm),

；.BD=0BE=2石(cm).

故答案为：2君.

【点睛】

本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；

熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.

16.①②③④

【分析】

根据正方形的性质和SAS可证明△ABGg/SAEC,然后根据全等三角形的性质即可判断①；

设BG、CE相交于点N,AC、8G相交于点K,如图1,根据全等三角形对应角相等可得

ZACE=ZAGB,然后根据三角形的内角和定理可得NCNG=NCAG=90。，于是可判断②；

过点E作EPJ_HA的延长线于P,过点G作GQLAM于Q,如图2,根据余角的性质即可判

断④；利用AAS即可证明8Hg△EAP,可得EP=AH,同理可证GQ=AH,从而得到EP

=GQ,再利用AAS可证明丝△GQM,可得EM=GM,从而可判断③，于是可得答

案.

【详解】

解：SABDEACFG41，AB=AE,AC^AG,NBAE=NCAG=90。，

/.ZBAE+Z8AC=ZCAG+ZBAC,

即/CAE=NBAG,

.•.△A8G丝”EC(£45),

：.BG=CE,故①正确；

设8G、CE相交于点N,AC,8G相交于点K,如图1,

图1

/\ABG^/\AEC,

ZACE=ZAGB,

,：/AKG=NNKC,

NCNG=NC4G=90。，

：.BGLCE,故②正确;

过点E作EP_LH4的延长线于P,过点G作GQ于Q,如图2,

图2

\"AH1BC,

：.NABH+N8AH=90°,

'：ZBAE=90Q,

：.ZEAP+ZBAH=9O°,

:.NABH=NEAP,即N£4M=NA8C,故④正确；

VZAHB=ZP=90o,AB=AE,

:.△ABH妾AEAP(AAS),

：.EP=AH,

同理可得GQ=AH,

；.EP=GQ,

;在AEPM和△GQM中，

NP=NMQG=90°

<NEMP=NGMQ,

EP=GQ

:.△EPM"AGQM(AAS),

：.EM=GM,

是△AEG的中线，故③正确.

综上所述，①②③④结论都正确.

故答案为：①②③④.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线

构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键.

17.5

【分析】

过点B作BDJJ2,交直线卜于点D,过点B作BE_Lx轴，交x轴于点E.则

OB=7(9E2+BE2-由于四边形。ABC是平行四边形，所以。A=BC，又由平行四边形的性

质可推得NOAF=NBCD,则可证明^OAFM△BCD,所以OE的长固定不变，当BE最小时,

0B取得最小值，从而可求.

【详解】

解：过点B作BD_L/2,交直线x=4于点D,过点B作BE_Lx轴，交X轴于点E,直线/i与

0C交于点M,与X轴交于点F,直线匕与AB交于点N.

•••四边形OABC是平行四边形，

ZOAB=NBCO,OCIIAB,OA=BC,

1••直线/i与