人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题05二次函数的定义(原卷版+解析)

专题05二次函数的定义考点一二次函数的识别考点二二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项考点三根据二次函数的定义求参数考点四列二次函数关系式考点一二次函数的识别例题：（2022·江苏·盐城市初级中学一模）下列函数中为二次函数的是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有（

）个．A．2 B．3 C．4 D．52．（2022·全国·九年级课时练习）下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是____________．考点二二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项例题：（2022·福建省福州外国语学校八年级期末）二次函数的一次项系数是（

）A．1 B．2 C． D．3【变式训练】1．（2022·全国·九年级）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（

）A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝32．（2022·全国·九年级）已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝___，一次项系数b＝___，常数项c＝___．考点三根据二次函数的定义求参数例题：（2022·全国·九年级课时练习）已知y＝+2x﹣3是二次函数式，则m的值为_____．【变式训练】1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知是关于的二次函数，那么的值____．2．（2021·广东广州·九年级期中）关于的函数是二次函数，则的值为__________．考点四列二次函数关系式例题：（2022·上海市青浦区教育局二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，第一季度的总产值为（亿元），则关于的函数解析式为________________．【变式训练】1．（2021·山东滨州·九年级期中）某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为元，则可卖出件，那么卖出商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为________．2．（2022·内蒙古呼和浩特·三模）如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式_________．一、选择题1．（2022·广西贺州·九年级期末）下列函数表达式中，一定为二次函数的是（

）A． B． C． D．2．（2022·广西·靖西市教学研究室九年级期中）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠03．（2020·广东·惠州市惠阳区第一中学九年级期中）已知函数是二次函数，则m的值为（）A．±2 B．2 C．-2 D．m为全体实数4．（2022·全国·九年级）下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（

）A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xmB．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xmC．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm5．（2022·全国·九年级课时练习）若抛物线是关于x的二次函数，那么m的值是（

）A．3 B． C．2 D．2或36．（2022·全国·九年级）以x为自变量的函数：①；②；③；④．是二次函数的有（

）A．②③ B．②③④ C．①②③ D．①②③④二、填空题7．（2022·全国·九年级）二次函数的二次项系数是________．8．（2021·山东德州·九年级期中）若y＝（m﹣4）x|m|﹣2﹣2x﹣1是关于x的二次函数，则m＝___．9．（2022·山东菏泽·九年级期末）已知是y关于x的二次函数，那么m的值为_________．10．（2021·云南·大理市民族中学九年级期中）在二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____．11．（2021·全国·九年级专题练习）下列函数一定是二次函数的是__________．①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x212．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在长方形中，，，点，从点出发，点沿线段运动，点沿线段运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设，阴影部分的面积为，则与之间的关系式为______．三、解答题13．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数．（1）若这个函数是一次函数，求的值（2）若这个函数是二次函数，求的取值范围．14．（2021·安徽合肥·九年级阶段练习）已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.15．（2021·全国·九年级课时练习）某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多．（1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？16．（2021·吉林四平·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=．动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A，B重合），作∠DPQ=45°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）线段DC的长为（用含t的式子表示）．（2）当点Q与点C重合时，求t的值．（3）设△PDQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．专题05二次函数的定义考点一二次函数的识别考点二二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项考点三根据二次函数的定义求参数考点四列二次函数关系式考点一二次函数的识别例题：（2022·江苏·盐城市初级中学一模）下列函数中为二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．【详解】解：A、，是一次函数，故此选项不符合题意；B、，是二次函数，故此选项符合题意；C、，不是二次函数，故此选项不符合题意；D、，未知数的最高次为3，不是二次函数，故此选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的定义；熟练掌握二次函数解析式的一般形式()，是解题的关键．【变式训练】1．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有（

）个．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的定义判断即可．【详解】①是二次函数；②是二次函数；③是二次函数；④不是二次函数；⑤不是二次函数；⑥不是二次函数；这六个式子中二次函数有①②③故选：B．【点睛】本题考查二次函数的定义，即一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数．2．（2022·全国·九年级课时练习）下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是____________．【答案】②④##④②【解析】【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．【详解】解：①y=5x-5为一次函数；②y=3x2-1为二次函数；③y=4x3-3x2自变量次数为3，不是二次函数；④y=2x2-2x+1为二次函数；⑤y=函数式为分式，不是二次函数．故答案为②④．【点睛】本题考查二次函数的定义，熟记定义“函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0”是解题关键．考点二二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项例题：（2022·福建省福州外国语学校八年级期末）二次函数的一次项系数是（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项作答．【详解】解：二次函数y=x2－2x+3的一次项系数是－2；故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．【变式训练】1．（2022·全国·九年级）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（

）A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的一般形式可得答案．【详解】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数的一般形式，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．2．（2022·全国·九年级）已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝___，一次项系数b＝___，常数项c＝___．【答案】

3

-5

1【解析】【分析】形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为一次项系数为常数项为根据定义逐一作答即可．【详解】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，故答案为：3，﹣5，1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．考点三根据二次函数的定义求参数例题：（2022·全国·九年级课时练习）已知y＝+2x﹣3是二次函数式，则m的值为_____．【答案】-1【解析】【分析】若y＝+2x﹣3是二次函数式，则二次项系数不等于零，可得答案；【详解】解：由题意得：，解得：m=-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题关键．【变式训练】1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知是关于的二次函数，那么的值____．【答案】【解析】【分析】根据二次函数的定义，中，未知数x的指数为2，系数不为0，列式计算即可．【详解】解：∵是关于的二次函数，∴且，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟练掌握形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．2．（2021·广东广州·九年级期中）关于的函数是二次函数，则的值为__________．【答案】2【解析】【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，求出m的值即可解决问题．【详解】解：∵是关于x的二次函数，∴m2-m=2，m+1≠0，解得：m=2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义及解一元二次方程；牢固掌握定义和方程的解法是解题的关键．考点四列二次函数关系式例题：（2022·上海市青浦区教育局二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，第一季度的总产值为（亿元），则关于的函数解析式为________________．【答案】【解析】【分析】根据题意分别求得每个月的产值，然后相加即可求解．【详解】解：∵某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，∴二月份的为三月份的为第一季度的总产值为（亿元），则故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．【变式训练】1．（2021·山东滨州·九年级期中）某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为元，则可卖出件，那么卖出商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为________．【答案】【解析】【分析】由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简即可.【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元，所以：故答案为：【点睛】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键.2．（2022·内蒙古呼和浩特·三模）如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式_________．【答案】【解析】【分析】根据运动过程可分三种情况讨论：当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，分别求解即可．【详解】当时，如图1所示，两个三角形重叠部分为的面积，由题意得，，和是边长分别为5和2的等边三角形，是边长x的等边三角形，过点D作DE⊥BC于点E，，，，即；当时，如图2所示，两个三角形重叠部分为的面积，由题意得，，过点作于点E，，，即；当时，如图3所示，两个三角形重叠部分为的面积，由题意得，，和是边长分别为5和2的等边三角形，是等边三角形，且，过点D作DE⊥BC于点E，，，即；综上，写出与之间的函数关系式为．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，列二次函数解析式，勾股定理，平移与三角形面积问题，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键．一、选择题1．（2022·广西贺州·九年级期末）下列函数表达式中，一定为二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数进行分析．【详解】解：A、是一次函数，故此选项错误；B、当时，是二次函数，故此选项错误；C、是二次函数，故此选项正确；D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．2．（2022·广西·靖西市教学研究室九年级期中）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a的不等式，解不等式即得答案．【详解】解：由题意得：，则．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的定义，属于基础题型，掌握二次函数的概念是关键．3．（2020·广东·惠州市惠阳区第一中学九年级期中）已知函数是二次函数，则m的值为（）A．±2 B．2 C．-2 D．m为全体实数【答案】C【解析】【分析】根据二次函数定义列式求解即可．【详解】解：∵函数是二次函数∴m-2≠0，，解得：m=-2．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数定义，掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．4．（2022·全国·九年级）下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（

）A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xmB．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xmC．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可．【详解】解：A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm，则y=x3，故不是二次函数；B．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm，则y=14πx2，故是二次函数；C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤，则，故不是二次函数；D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm，则y＝南京与上海之间的距离-108x，故不是二次函数．故选：B．【点睛】本题考查二次函数的定义，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的定义去判断．5．（2022·全国·九年级课时练习）若抛物线是关于x的二次函数，那么m的值是（

）A．3 B． C．2 D．2或3【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的定义列方程计算即可；【详解】∵是关于x的二次函数，∴且，∴，且，∴；故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义、一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．6．（2022·全国·九年级）以x为自变量的函数：①；②；③；④．是二次函数的有（

）A．②③ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的定义进行判断．【详解】解：①，符合二次函数的定义，故①是二次函数；②，符合二次函数的定义，故②是二次函数；③，符合二次函数的定义，故②是二次函数；④，不符合二次函数的定义，故④不是二次函数．所以，是二次函数的有①②③，故选：C．【点睛】本题考查了二次二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．二、填空题7．（2022·全国·九年级）二次函数的二次项系数是________．【答案】2【解析】【分析】首先把二次函数化为一般形式，再进一步求得二次项系数．【详解】解：y=2x（x-1）=2x2-2x．所以二次项系数2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．8．（2021·山东德州·九年级期中）若y＝（m﹣4）x|m|﹣2﹣2x﹣1是关于x的二次函数，则m＝___．【答案】﹣4【解析】【分析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．【详解】解：∵y＝（m﹣4）x|m|﹣2﹣2x﹣1是关于x的二次函数，∴|m|﹣2＝2，m﹣4≠0，解得：m＝﹣4．故答案为：﹣4．【点睛】本题考查了二次函数的定义．二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．9．（2022·山东菏泽·九年级期末）已知是y关于x的二次函数，那么m的值为_________．【答案】4【解析】【分析】根据二次函数的定义，即可求解．【详解】∵是y关于x的二次函数，∴且，解得：．故答案为：4【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（a，b，c是常数，且）的函数，叫做二次函数是解题的关键．10．（2021·云南·大理市民族中学九年级期中）在二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____．【答案】0【解析】【分析】分别得出二次项系数，一次项系数和常数项相加即可；【详解】∵，∴二次项系数为，一次项系数为0，常数项为1，∴；故答案是0．【点睛】本题主要考查了二次函数一般式的认识，准确分析判断是解题的关键．11．（2021·全国·九年级专题练习）下列函数一定是二次函数的是__________．①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2【答案】③【解析】【分析】根据二次函数的定义：一般地,把形如y=ax²+bx+c(a≠0)(a、b、c是常数)的函数叫做二次函数，据此判断即可．【详解】解：①，必须满足a≠0才为二次函数，故①不一定是二次函数；②等号右边为分式，故②不是二次函数；③是二次函数，故③是二次函数；④，时，该式不是二次函数；⑤，该式不是二次函数；故答案为：③．【点睛】本题考查了二次函数的识别，熟知二次函数的定义是解本题的关键．12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在长方形中，，，点，从点出发，点沿线段运动，点沿线段运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设，阴影部分的面积为，则与之间的关系式为______．【答案】y=-+48【解析】【分析】先求出，进而即可得到答案．【详解】由题意得：，∴阴影部分的面积=6×8-，即：y=-+48．故答案是：y=-+48．【点睛】本题主要考查列二次函数解析式，解题的关键是掌握割补法求面积．三、解答题13．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数．（1）若这个函数是一次函数，求的值（2）若这个函数是二次函数，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题；（2）根据二次函数的定义即可解决问题；【详解】解：（1）由题意得，解得；（2）由题意得，，解得且．【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零；（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．14．（2021·安徽合肥·九年级阶段练习）已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.【答案】（1）；（2）且．【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义知：二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，即可解决问题；（2）根据二次函数的定义知：二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案，即可解决问题；【详解】（1）由题意得，，解得m=；（2）由题意得