安徽省池州市贵池区2023-2024学年高二数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

安徽省池州市贵池区2023-2024学年高二数学第一学期期末综合测试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点、是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大的．”如图，其结论是：点为过、两点且和射线相切的圆的切点．根据以上结论解决一下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（）A.B.C.或D.或2．已知数列的前n项和为，，，则（）A. B.C.1025 D.20493．正方体中，E、F分别是与的中点，则直线ED与所成角的余弦值是（）A. B.C. D.4．在等差数列中，已知，则数列的前9项和为（）A. B.13C.45 D.1175．不等式的解集为（）A. B.C.或 D.或6．已知为偶函数，且，则___________.7．已知椭圆，则椭圆的长轴长为（）A.2 B.4C. D.88．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图所示的杨辉三角中，第8行，第3个数是（）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641……A.21 B.28C.36 D.569．等差数列的公差，且，，则的通项公式是（）A. B.C. D.10．如图，在四棱锥中，平面，，，则点到直线的距离为（）A. B.C. D.211．已知双曲线上点到点的距离为15，则点到点的距离为（）A.9 B.6C.6或36 D.9或2112．已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为2，则双曲线的方程为（）A B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知定义在R上的函数的导函数，且，则实数的取值范围为__________.14．的展开式中所有项的系数和为_________15．已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率____________.16．设等差数列的前项和为，且，，则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线，，，其中与交点为P（1）求过点P且与平行的直线方程；（2）求以点P为圆心，截所得弦长为8的圆的方程18．（12分）如图，在三棱柱中，平面，，.（1）求证：平面；（2）点M在线段上，且，试问在线段上是否存在一点N，满足平面，若存在求的值，若不存在，请说明理由？19．（12分）已知函数图像在点处的切线方程为.（1）求实数、的值；（2）求函数在上的最值.20．（12分）若函数与的图象有一条与直线平行的公共切线，求实数a的值21．（12分）已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，证明22．（10分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于，两点（1）求椭圆的方程及焦点坐标；（2）若线段的垂直平分线经过点，求的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据米勒问题的结论，点应该为过点、的圆与轴的切点，设圆心的坐标为，写出圆的方程，并将点、的坐标代入可求出点的横坐标.【详解】解：设圆心的坐标为，则圆的方程为，将点、的坐标代入圆的方程得，解得或（舍去），因此，点的横坐标为，故选：A.2、B【解析】根据题意得，进而根据得数列是等比数列，公比为，首项为，再根据等比数列求和公式求解即可.【详解】解：因为数列的前n项和为满足，所以当时，，解得，当时，，即所以，解得或，因为，所以.所以，，所以当时，，所以，即所以数列是等比数列，公比为，首项为，所以故选：B3、A【解析】以A为原点建立空间直角坐标系，求出E,F,D,D1点的坐标，利用向量求法求解【详解】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则，,，,,直线与所成角的余弦值为：.故选:A【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，属于基础题.4、C【解析】根据给定的条件利用等差数列的性质计算作答【详解】在等差数列中，因，所以.故选：C5、A【解析】先将分式不等式转化为一元二次不等式，然后求解即可【详解】由，得，解得，所以原不等式的解集为，故选：A6、8【解析】由已知条件中的偶函数即可计算出结果，【详解】为偶函数，且，.故答案为：87、B【解析】根据椭圆的方程求出即得解.【详解】解：由题得椭圆的所以椭圆的长轴长为.故选：B8、B【解析】由题意知第8行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，可得第8行，第3个数是为，即可求解【详解】解：由题意知第8行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，故第8行，第3个数是为故选：B9、C【解析】由于数列为等差数列，所以，再由可得可以看成一元二次方程的两个根，由可知，所以，从而可求出，可得到通项公式.【详解】解：因为数列为等差数列，所以，因为，所以可以看成一元二次方程的两个根，因为，所以，所以，解得，所以故选：C【点睛】此题考查的是等差数列的通项公式和性质，属于基础题.10、A【解析】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可【详解】因为平面，平面，平面，所以，，因为所以如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，即.在上的投影向量的长度为，故点到直线的距离为.故选：A11、D【解析】利用双曲线的定义可得答案.【详解】设，，，为双曲线的焦点，则由双曲线定义，知，而所以或21故选：D.12、B【解析】根据双曲线的一条渐近线方程为，可得，再结合焦距为2和，求得，即可得解.【详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，即，又因焦距为2，即，即，因为，所以，所以，所以双曲线的方程为.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意可得在R上单调递增，再由，利用函数的单调性转化为关于的不等式求解【详解】定义在R上的函数的导函数，在R上单调递增，由，得，即实数的取值范围为故答案为：14、##0.015625【解析】赋值法求解二项式展开式中所有项的系数和.【详解】令得：，即为展开式中所有项的系数和.故答案为：15、##【解析】根据线段为边作正，得到M在y轴上，求得M的坐标，再由，得到边的中点坐标，代入双曲线方程求解.【详解】以线段为边作正，则M在y轴上，设，则，因为，所以边的中点坐标为，因为边的中点在双曲线上，所以，因为，所以，即，解得，因为，所以，故答案为：16、【解析】根据，利用等差数列前项和公式，列方程求出，再由，能求出【详解】等差数列的前项和为，且，，，解得，，，解得，故答案为：10三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）首先求、的交点坐标，根据的斜率，应用点斜式写出过P且与平行的直线方程；（2）根据弦心距、弦长、半径的关系求圆的半径，结合P的坐标写出圆的方程.【小问1详解】联立、得：，可得，故，又的斜率为，则过P且与平行的直线方程，∴所求直线方程为.【小问2详解】由（1），P到的距离，∴以P为圆心，截所得弦长为8的圆的半径，∴所求圆的方程为.18、（1）证明见解析；（2）存在，的值为.【解析】（1）先证明,再证明，由线面垂直的判定定理求证即可;（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由平面，利用向量法能求出的值【详解】（1）在三棱柱中，平面ABC，，.∴，，，∵，∴平面，∵平面，∴，∵，∴平面.（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，，，，，所以，，设平面的法向量，则，取，得，点M在线段上，且，点N在线段上，设，，设，则，，，即，解得，，，∵，∴，解得.∴的值为.19、（1）a=3，b=-9.（2）最小值=-24，最大值=8.【解析】由曲线在的值以及切线斜率容易确定a与b的值；根据导数很容易确定函数单调区间以及极值点.【小问1详解】，，，由于切线方程是，当x=1时，y=-8，即，即=-8……①；又切线的斜率为-12，∴……②；联立①②得.【小问2详解】由（1）得：，；当时，，导函数图像如下：在时，单调递增，时，单调递减，时单调递增；∴在x=-1有极大值，x=3有极小值；在区间内：在x=-1有最大值；在x=3有最小值.20、或3【解析】设出切点，先求和平行且和函数相切的切线，再将切线和联立，求出的值.【详解】设公共切线曲线上的切点坐标为，根据题意，得公共切线的斜率，所以，所以与函数的图像相切的切点坐标为，故可求出公共切线方程为由直线和函数的图像也相切，得方程，即关于x的方程有两个相等的实数根，所以，解得或321、（1）单调递减，在单调递增；（2）见解析.【解析】(1)求f(x)导数，讨论导数的正负即可求其单调性；(2)由于，则，只需证明，构造函数，证明其最小值大于0即可.【小问1详解】时，，当时，，∴，当时，，∴，∴在单调递减，在单调递增；【小问2详解】由于，∴，∴只需证明，令，则，∴在上为增函数，而，∴在上有唯一零点，且，当时，，g(x)单调递减，当时，，g(x)单调递增，∴的最小值为，由，得，则，∴，当且仅当时取等号，而，∴，∴，即，∴当时，.【点睛】本题考察了利用导数研究函数的单调性，也考察了利用导数研究函数的最值，解题过程中设计到隐零点的问题，需要掌握隐零点处理问题的常见思路和方法.22、（1），（2）【解析】（1）由题意，列出关于a，b，c的方程组求解即可得答案；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点（x0，y0），则，作差可得①，又线段MN的垂直平分线过点A（0，1），则②，联立直线MN与椭圆的方程，可得﹣t2+1+4k2＞0（*），③，由①②③及（*）式联立即可求解【小问1详解】解：由题意可得，解得，所以椭圆C的方