中考数学考前必刷题型突破方案(安徽专版)专题突破03规律探究题(3种类型)(针对第16171819题)特训(原卷版+解析)

专题突破03规律探究题（3种类型）（针对第16，17，18，19题）【安徽十年真题考点及分值细目表】类型1：数式规律探究（2022年18题，2020年17题，2019年18题，2018年年18题，2015年13题，2014年16题）类型2：图形与等式关系的规律探究（2017年19题，2016年18题）类型3：图形规律探究（2021年18题，2013年18题）类型1：数式规律探究1．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．2．（2020•安徽）观察以下等式：第1个等式：×（1+）＝2﹣，第2个等式：×（1+）＝2﹣，第3个等式：×（1+）＝2﹣，第4个等式：×（1+）＝2﹣．第5个等式：×（1+）＝2﹣．…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．3．（2019•安徽）观察以下等式：第1个等式：＝+，第2个等式：＝+，第3个等式：＝+，第4个等式：＝+，第5个等式：＝+，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．4．（2018•安徽）观察以下等式：第1个等式：++×＝1，第2个等式：++×＝1，第3个等式：++×＝1，第4个等式：++×＝1，第5个等式：++×＝1，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．5．（2017•安徽）【阅读理解】我们知道，1+2+3+…+n＝，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为，即n2，这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2．【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+…+n2）＝，因此，12+22+32+…+n2＝．【解决问题】根据以上发现，计算：的结果为．6．（2014•安徽）观察下列关于自然数的等式：32﹣4×12＝5①52﹣4×22＝9②72﹣4×32＝13③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：92﹣4×2＝；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．7．（2023•瑶海区二模）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．8．（2023•太湖县一模）观察下列等式：第1个等式：2+22＝23﹣2；第2个等式：2+22+23＝24﹣2；第3个等式：2+22+23+24＝25﹣2；第4个等式：2+22+23+24+25＝26﹣2；…请根据以上规律，解决下列问题．（1）试写出第6个等式：；（2）请证明第4个等式．9．（2023•黄山一模）观察以下等式：第1个等式：42﹣22＝3×4；第2个等式：62﹣42＝5×4；第3个等式：82﹣62＝7×4；第4个等式：102﹣82＝9×4；••••••按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．10．（2023•庐阳区校级一模）观察以下等式：第1个等式：32﹣3＝2×1×3，第2个等式：52﹣5＝2×2×5，第3个等式：72﹣7＝2×3×7，……按照以上规律，解决下列问题：（1）按照此规律下去，第4个等式是：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．11．（2023•包河区一模）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，……按照以上规律．解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．12．（2023•安庆模拟）观察下列式子：①15×15＝（1×2）×100+25；②25×25＝（2×3）×100+25；③35×35＝（3×4）×100+25；…根据上述规律，回答下列问题：（1）请把第4个式子补充完整：45×45＝；（2）通过以上算式，我们发现若用（10a+5）来表示个位数字是5的两位数，它的平方有一定的规律，请写出猜想并证明．13．（2023•蚌山区校级二模）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．类型2：图形与等式关系的规律探究14．（2016•安徽）（1）观察下列图形与等式的关系，并填空（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：1+3+5+…+（2n﹣1）+（）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝．15．（2023•长丰县二模）[观察思考]用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推．[规律总结]（1）第5个图形中有个圆形棋子．（2）第n个图形中有个圆形棋子．（用含n的代数式表示）[问题解决]（3）现有2025个圆形棋子，若将这些棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完，则可摆放出第几个图形，请说明理由．16．（2023•合肥模拟）丰艳花卉市场将深色和浅色两种花齐摆成如图所示的排列图案，第1个图案需要5盆花卉，第2个图案需要13盆花卉，第3个图案需要25盆花卉，以此类推．​​按照以上规律，解决下列问题：（1）第4个图案需要花卉盆；（2）第n个图案需要花卉盆（用含n的代数式表示）；（3）已知丰艳花卉市场春节期间所摆的花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，求该花卉图案中深色花卉的盆数．17．（2023•芜湖模拟）将若干枚黑白棋子按照一定规律摆放成三角形阵，前5次摆放的情况如图所示．如果按照此规律继续摆放三角形阵，请解决下列问题：（1）第6个图案中，黑棋子的个数为，白棋子的个数为；（2）第n个图案中，黑棋子的个数为，白棋子的个数为；（用含n的式子表示）（3）当摆放到第个三角形阵时，该三角形阵中的黑棋子数第一次比白棋子多．18．（2023•庐江县二模）观察下列图形和其对应的等式：根据以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个图形对应的等式是．（2）第n个图形对应的等式是（用含n的等式表示），并证明．19．（2023•庐阳区校级模拟）图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案．（1）第5个图中有多少个菱形；（2）第n个图中有多少个菱形（用含n的代数式表示）．类型3：图形规律探究20．（2021•安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．[观察思考]当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推．[规律总结]（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加块；（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（用含n的代数式表示）．[问题解决]（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？21．（2013•安徽）我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图2，图3，…（1）观察以上图形并完成下表：图形的名称基本图的个数特征点的个数图117图2212图3317图44………猜想：在图（n）中，特征点的个数为（用n表示）；（2）如图，将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为（x1，2），则x1＝；图（2013）的对称中心的横坐标为．专题突破03规律探究题（3种类型）（针对第16，17，18，19题）【安徽十年真题考点及分值细目表】类型1：数式规律探究（2022年18题，2020年17题，2019年18题，2018年年18题，2015年13题，2014年16题）类型2：图形与等式关系的规律探究（2017年19题，2016年18题）类型3：图形规律探究（2021年18题，2013年18题）类型1：数式规律探究1．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明：左边＝4n2+4n+1，右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边．∴等式成立．【点评】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明．2．（2020•安徽）观察以下等式：第1个等式：×（1+）＝2﹣，第2个等式：×（1+）＝2﹣，第3个等式：×（1+）＝2﹣，第4个等式：×（1+）＝2﹣．第5个等式：×（1+）＝2﹣．…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：×（1+）＝2﹣；（2）写出你猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣（用含n的等式表示），并证明．【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．【解答】解：（1）第6个等式：×（1+）＝2﹣；（2）猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣．证明：∵左边＝×＝＝2﹣＝右边，∴等式成立．故答案为：×（1+）＝2﹣；×（1+）＝2﹣．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．3．（2019•安徽）观察以下等式：第1个等式：＝+，第2个等式：＝+，第3个等式：＝+，第4个等式：＝+，第5个等式：＝+，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．【分析】（1）根据已知等式即可得；（2）根据已知等式得出规律，再利用分式的混合运算法则验证即可．【解答】解：（1）第6个等式为：，故答案为：；（2）证明：∵右边＝＝左边．∴等式成立，故答案为：．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出的规律，并熟练加以运用．4．（2018•安徽）观察以下等式：第1个等式：++×＝1，第2个等式：++×＝1，第3个等式：++×＝1，第4个等式：++×＝1，第5个等式：++×＝1，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．【分析】以序号n为前提，依此观察每个分数，可以用发现，每个分母在n的基础上依次加1，每个分子分别是1和n﹣1【解答】解：（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和7，分子分别为1和5故应填：（2）根据题意，第n个分式分母为n和n+1，分子分别为1和n﹣1故应填：证明：＝∴等式成立【点评】本题是规律探究题，同时考查分式计算．解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．5．（2017•安徽）【阅读理解】我们知道，1+2+3+…+n＝，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为，即n2，这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2．【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为2n+1，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+…+n2）＝，因此，12+22+32+…+n2＝．【解决问题】根据以上发现，计算：的结果为1345．【分析】【规律探究】将同一位置圆圈中的数相加即可，所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数，据此可得，每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的，从而得出答案；【解决问题】运用以上结论，将原式变形为，化简计算即可得．【解答】解：【规律探究】由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为n﹣1+2+n＝2n+1，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+…+n2）＝（2n+1）×（1+2+3+…+n）＝（2n+1）×，因此，12+22+32+…+n2＝；故答案为：2n+1，，；【解决问题】原式＝＝×（2017×2+1）＝1345，故答案为：1345．【点评】本题主要考查数字的变化类，阅读材料、理解数列求和的具体方法得出规律，并运用规律解决实际问题是解题的关键．6．（2014•安徽）观察下列关于自然数的等式：32﹣4×12＝5①52﹣4×22＝9②72﹣4×32＝13③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：92﹣4×42＝17；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．【分析】由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可．【解答】解：（1）32﹣4×12＝5①52﹣4×22＝9②72﹣4×32＝13③…所以第四个等式：92﹣4×42＝17；（2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2＝4n+1，左边＝（2n+1）2﹣4n2＝4n2+4n+1﹣4n2＝4n+1，右边＝4n+1．左边＝右边∴（2n+1）2﹣4n2＝4n+1．【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．7．（2023•瑶海区二模）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．【分析】（1）观察所给的四个等式，从中发现等式的左右两边，哪些没有变化，哪些变化了，变化的部分与等式的序号有什么关系，从而根据序号5写出第5个等式；（2）同（1）方法，根据序号n写出第n个等式，然后对等式左边分式进行计算，得出和右边的式子一样即可．【解答】解：（1）根据所给的四个等式反映的规律，可以发现，第5个等式为：，故答案为：；（2）根据所给的四个等式反映的规律，可以发现，第n个等式为：，证明：左边＝＝＝＝＝右边，∴．【点评】本题考查数式规律探究，解答时涉及分式的运算，理解题意，探究出规律是解题的关键．8．（2023•太湖县一模）观察下列等式：第1个等式：2+22＝23﹣2；第2个等式：2+22+23＝24﹣2；第3个等式：2+22+23+24＝25﹣2；第4个等式：2+22+23+24+25＝26﹣2；…请根据以上规律，解决下列问题．（1）试写出第6个等式：2+22+23+24+25+26+27＝28﹣2；（2）请证明第4个等式．【分析】（1）根据题意即可得出结果；（2）方法一：设2+22+23+24+25＝x，可得2x＝22+23+24+25+26且2x＝x+2+22+23+24+25，得出x+2＝26，即可证明结论；方法二：从右边证明左边即26﹣2＝2+22+23+24+25；方法三：计算出左右两边算式的结果即可证明结论．【解答】解：（1）由题意可知：2+22+23+24+25+26+27＝28﹣2，故答案为：2+22+23+24+25+26+27＝28﹣2，（2）证明：方法一：设2+22+23+24+25＝x，∴2x＝22+23+24+25+26，又∵2x＝x+2+22+23+24+25，∴x+2+22+23+24+25＝22+23+24+25+26，∴x+2＝26，∴x＝26﹣2，即2+22+23+24+25＝26﹣2；方法二：26﹣2＝2×25﹣2＝25+25﹣2＝25+2×24﹣2＝25+24+2×23﹣2，＝25+24+23+2×22﹣2＝25+24+23+22+2×2﹣2＝25+24+23+22+2．∴原等式成立；方法三：右边＝26﹣2＝64﹣2＝62，左边＝25+24+23+22+2＝32+16+8+4+2＝62，∵左边＝右边，∴原等式成立．【点评】本题考查了数字规律类，观察式子的变化，总结规律是解题的关键．9．（2023•黄山一模）观察以下等式：第1个等式：42﹣22＝3×4；第2个等式：62﹣42＝5×4；第3个等式：82﹣62＝7×4；第4个等式：102﹣82＝9×4；••••••按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：122﹣102＝11×4；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【分析】（1）根据题目的规律可得第5个等式；（2）根据题目的规律猜想得到等式，再利用因式分解证明左边等于右边即可．【解答】（1）解：由题意可得，122﹣102＝11×4，故答案为：122﹣102＝11×4；（2）（2n+2）2﹣（2n）2＝4（2n+1），证明：左边＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）＝（4n+2）×2＝4（2n+1）＝右边；∴猜想成立．【点评】此题考查了规律型：数字的变化类、有理数的混合运算以及列代数式整式的规律题，熟练掌握平方差公式进行因式分解是解题的关键．10．（2023•庐阳区校级一模）观察以下等式：第1个等式：32﹣3＝2×1×3，第2个等式：52﹣5＝2×2×5，第3个等式：72﹣7＝2×3×7，……按照以上规律，解决下列问题：（1）按照此规律下去，第4个等式是：92﹣9＝2×4×9；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【分析】（1）通过题干中的式子，进行推理求解即可；（2）通过题干中的式子进行猜想，并计算证明．【解答】解：（1）第4个等式是：92﹣9＝2×4×9，故答案为：92﹣9＝2×4×9；（2）第n个等式：（2n+1）2﹣（2n+1）＝2n（2n+1），证明：（2n+1）2﹣（2n+1）＝4n2+4n+1﹣2n﹣1＝4n2+2n＝2n（2n+1），即（2n+1）2﹣（2n+1）＝2n（2n+1）．【点评】本题考查了数字的变化规律，完全平方公式，根据题干的式子找出规律是解题的关键．11．（2023•包河区一模）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，……按照以上规律．解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【分析】（1）根据所给的等式的形式进行解答即可；（2）分析所给的等式的形式，再进行总结，对等式左边的式子进行整理即可求证．【解答】解：（1）第6个等式为：．故答案为：；（2）猜想：第n个等式为：＝1，证明：等式左边＝＝＝＝＝1＝右边，故猜想成立．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是分析清楚所给的等式中序号与相应的数之间的关系．12．（2023•安庆模拟）观察下列式子：①15×15＝（1×2）×100+25；②25×25＝（2×3）×100+25；③35×35＝（3×4）×100+25；…根据上述规律，回答下列问题：（1）请把第4个式子补充完整：45×45＝（4×5）×100+25；（2）通过以上算式，我们发现若用（10a+5）来表示个位数字是5的两位数，它的平方有一定的规律，请写出猜想并证明．【分析】（1）根据数字变化规律得出个位是5的两个相同的数的乘积等于这个数的十位数字乘以十位数字加1再乘以100再加25，进而得出答案；（2）根据观察，写出猜想，并通过计算得到左边＝右边即可．【解答】解：（1）根据数字变化规律得：45×45＝（4×5）×100+25；故答案为：（4×5）×100+25；（2）猜想：（10a+5）×（10a+5）＝100a（a+1）+25．证明：左边＝（10a+5）×（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25，右边＝100a（a+1）+25，∴左边＝右边，∴（10a+5）×（10a+5）＝100a（a+1）+25．【点评】本题主要考查了规律型﹣数字的变化类，根据提供的这个数字的个位数字与十位数字的变化规律找出答案，主要培养学生的观察能力和推理能力．13．（2023•蚌山区校级二模）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；（2）分析所求的等式的形式，再进行总结即可，并对等式的左边进行整理，即可验证．【解答】解：（1）第5个等式为：，故答案为：；（2）猜想：，证明：等式左边＝＝＝＝＝＝右边．故猜想成立．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．类型2：图形与等式关系的规律探究14．（2016•安徽）（1）观察下列图形与等式的关系，并填空（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝2n2+2n+1．【分析】（1）根据1+3+5+7＝16可得出16＝42；设第n幅图中球的个数为an，列出部分an的值，根据数据的变化找出变化规律“an﹣1＝1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2”，依此规律即可解决问题；（2）观察（1）可将（2）图中得黑球分三部分，1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行，再结合（1）的规律即可得出结论．【解答】解：（1）1+3+5+7＝16＝42，设第n幅图中球的个数为an，观察，发现规律：a1＝1+3＝22，a2＝1+3+5＝32，a3＝1+3+5+7＝42，…，∴an﹣1＝1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2．故答案为：42；n2．（2）观察图形发现：图中黑球可分三部分，1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行，即1+3+5+…+（2n﹣1）+[2（n+1）﹣1]+（2n﹣1）+…+5+3+1，＝1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1，＝an﹣1+（2n+1）+an﹣1，＝n2+2n+1+n2，＝2n2+2n+1．故答案为：2n+1；2n2+2n+1．【点评】本题考查了规律型中图形的变化类，解题的关键是根据图中小球数量的变化找出变化规律“an﹣1＝1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，罗列出部分图中球的数量，根据数值的变化找出变化规律是关键．15．（2023•长丰县二模）[观察思考]用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推．[规律总结]（1）第5个图形中有18个圆形棋子．（2）第n个图形中有（3n+3）个圆形棋子．（用含n的代数式表示）[问题解决]（3）现有2025个圆形棋子，若将这些棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完，则可摆放出第几个图形，请说明理由．【分析】（1）每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，即可得出答案；（2）仔细观察可以发现，每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，根据这一规律得出第n个图形中的棋子数为（3n+3），据此计算即可得解；（3）由（2）中的规律可知，3n+3＝2025，解方程即可．【解答】解：（1）第5个图形中有3×5+3＝18个圆形棋子，故答案为：18；（2）仔细观察可以发现，每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，根据这一规律得出第n个图形中的棋子数为（3n+3），故答案为：（3n+3）；（3）由（2）中的规律可知，3n+3＝2025，解得：n＝674，故可摆出第674个图形．【点评】本题主要考查数与形结合的规律，发现每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个是解本题的关键．16．（2023•合肥模拟）丰艳花卉市场将深色和浅色两种花齐摆成如图所示的排列图案，第1个图案需要5盆花卉，第2个图案需要13盆花卉，第3个图案需要25盆花卉，以此类推．​​按照以上规律，解决下列问题：（1）第4个图案需要花卉41盆；（2）第n个图案需要花卉[n2+（n+1）2]盆（用含n的代数式表示）；（3）已知丰艳花卉市场春节期间所摆的花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，求该花卉图案中深色花卉的盆数．【分析】（1）第1个图案需要花卉的盆数为：5＝1+4＝12+22，第2个图案需要花卉的盆数为：13＝2×2+3×3＝22+32，第3个图案需要花卉的盆数为：25＝3×3+4×4＝32+42，…，据此可求解；（2）根据（1）进行总结即可；（3）可设第m个花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，结合（2）进行求解即可．【解答】解：（1）第1个图案需要花卉的盆数为：5＝1+4＝12+22，第2个图案需要花卉的盆数为：13＝2×2+3×3＝22+32，第3个图案需要花卉的盆数为：25＝3×3+4×4＝32+42，第4个图案需要花卉的盆数为：4×4+5×5＝42+52＝16+25＝41，故答案为：41；（2）由（1）可得：第n个图案需要花卉的盆数为：n2+（n+1）2；故答案为：[n2+（n+1）2]；（3）设第m个花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，由题意得：（m+1）2﹣m2＝101，解得：m＝50，512＝2601，答：该花卉图案中深色花卉的盆数为2601．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．17．（2023•芜湖模拟）将若干枚黑白棋子按照一定规律摆放成三角形阵，前5次摆放的情况如图所示．如果按照此规律继续摆放三角形阵，请解决下列问题：（1）第6个图案中，黑棋子的个数为15，白棋子的个数为21；（2）第n个图案中，黑棋子的个数为，白棋子的个数为3n+3；（用含n的式子表示）（3）当摆放到第8个三角形阵时，该三角形阵中的黑棋子数第一次比白棋子多．【分析】（1）根据图形查出黑棋子和白棋子的个数即可；（2）根据图形分别表示各个图案中黑白棋子的变化规律，可得第n个图案的规律；（3）建立方程和不等式求解即可．【解答】解：（1）第6个图案中，黑棋子的个数为15，白棋子的个数为21；故答案为：15，21；（2）由图可知，白棋子的变化规律为每次增加3个，则第n个图案中白棋子的个数为3n+3，黑棋子的变化为：n＝1时，0个；n＝2时，0+1＝1个；n＝3时，0+1+2＝3个；n＝4时，0+1+2+3＝6个；故第n个图案中黑棋子个数为0+1+2+3+...+（n﹣1）＝•（n﹣1）＝；故答案为：，3n+3；（3）＝3n+3，n2﹣7n﹣6＝0，解得：n＝，n＝（不符题意，舍去），∴＞3n+3，n＞，∵n取正整数，且黑棋子第一次比白棋子多，∴n＝8．当摆放到第8个三角形阵时，该三角形阵中的黑棋子数第一次比白棋子多．故答案为：8．【点评】本题主要考查图形变化类的规律问题，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规律．18．（2023•庐江县二模）观察下列图形和其对应的等式：根据以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个图形对应的等式是52+62＝1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1．（2）第n个图形对应的等式是n2+（n+1）2＝1+3+5+⋯+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+⋯+5+3+1（用含n的等式表示），并证明．【分析】（1）根据题中图形及对应等式，找出规律，再代入求解；（1）根据题中图形及对应等式，找出规律，写出通式，并根号完全平方公式进行证明．【解答】解：（1）52+62＝1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1；故答案为：52+62＝1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1；（2）n2+（n+1）2＝1+3+5+⋯+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+⋯+5+3+1；证明：右边＝（2n﹣1+1）n+2n+1＝2n2+2n+1＝n2+（n+1）2＝左边，所以等式成立．故答案为：n2+（n+1）2＝1+3+5+⋯+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+⋯+5+3+1．【点评】本题考查了图形的变换类，找到变化规律是解题的关键．19．（2023•庐阳区校级模拟）图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案．（1）第5个图中有多少个菱形；（2）第n个图中有多少个菱形（用含n的代数式表示）．【分析】（1）第5个图中菱形的个数为序数5的平方与序数5减1的平方的和，据此求解可得；（2）根据已知图形得出图形中菱形的个数为序数的平方与序数减一的平方的和，据此求解可得．【解答】解：（1）∵第1个图中菱形的个数1＝12+02，第2个图中菱形的个数5＝22+12，第3个图中菱形的个数13＝32+22，第4个图中菱形的个数25＝42+32，∴第5个图中菱形的个数为：52+42＝41；（2）第n个图中菱形的个数为n2+（n﹣1）2＝n2+n2﹣2n+1＝2n2﹣2n+1．【点评】本题主要考查图形的变化类，解题的关键是根据已知图形得出第n个图中菱形的个数为n2+（n﹣1）2的规律．类型3：图形规律探究20．（2021•安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．[观察思考]当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推．[规律总结]（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加2块；（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为2n+4（用含n的代数式表示）．[问题解决]（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？【分析】（1）观察图形1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，即可得出答案；（2）观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它