人教版高中数学精讲精练选择性必修三第7章 随机变量及其分布 章末测试（基础）（解析版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第7章随机变量及其分布章末测试（基础）单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)1．（2023·广东广州）已知随机变量的分布列如下：12若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得解得故选：B.2．（2023北京）盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设第1次抽到白球为事件A，第2次抽到红球为事件B，则，，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为.故选：D3．（2022春·江苏常州·高二校考阶段练习）若随机变量，且，则（

）A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.34【答案】D【解析】根据题意，.故选：D.4．（2022秋·贵州贵阳·）若样本数据的标准差为10，则数据的方差为（

）A．30 B．90 C．300 D．900【答案】D【解析】已知样本数据的标准差为，则其方差，所以数据，的方差为.故选：D5．（2022·浙江）若离散型随机变量，，且，则为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，得，所以.故选：C.6．（2022春·福建泉州·高二泉州市城东中学校考期中）甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5局3胜制，每局甲赢的概率是，乙赢的概率是，则甲以获胜的概率是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意知，甲以获胜是指前3局比赛中甲2胜1负，第4局比赛甲胜，∴甲以获胜的概率是：．故选：A．7．（2022·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期末）某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为，且相互之间没有影响，若每个项目成功都获利20万元，若每个项目失败都亏损5万元.该公司三个投资项目获利的期望为（

）A．30万元 B．22.5万元 C．10万元 D．7.5万元【答案】B【解析】设该公司投资成功个数为X，则，所以期望，所以公司三个投资项目获利的期望为万元故选：B8．（2022春·山东淄博·高二统考期末）若，则取得最大值时，（

）A．4或5 B．5或6 C．10 D．5【答案】D【解析】因为，所以，由组合数的性质可知当时取得最大值，即取得最大值，所以；故选：D二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）9．（2022·云南）已知随机变量，则（

）A．B．C．从装有3个红球、9个黑球的袋中一次性摸出3个球，则可表示摸出的红球个数D．桐人和茅场晶彦进行3场决斗，且桐人每场决斗的胜率均为（不存在平手），则可表示桐人的胜场数【答案】AD【解析】，A正确；，B错误；超几何分布：描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）；二项分布：n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p；故C选项中的X符合超几何分布，C错误；D正确．故选：AD．10．（2022春·河北邢台·高二校联考阶段练习）某中学为了庆祝五一劳动节拟开展趣味比赛．初赛设置2个环节，参赛选手需要参加2个环节的全部比赛，2个环节的比赛同时合格才能进入最终PK．规定：第1环节进行3个项目，至少通过2个为合格，否则为不合格；第2环节进行5个项目，至少连续通过3个为合格，否则为不合格，已知第1环节每个项目通过的概率均为，第2环节每个项目通过的概率均为，各环节、各项目间相互独立，则（

）A．参赛者第1环节通过的概率为B．若参赛者第1环节通过X个项目，则X的均值C．参赛者第2环节通过的概率为D．参赛者不能参加最终PK的可能性在93%以上【答案】ABD【解析】设分别为两个环节第，个项目通过，则，且间相互独立，对于A，参赛者第1环节考核通过的概率为，所以A正确；对于B，由题意，所以，所以B正确；对于C，竞聘者第2环节考核通过的概率为，所以C错误；对于D，由AC选项可得竞聘者不通过岗位聘用考核概率为，所以D正确．故选：ABD11．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）下列说法正确的有（

）A．若随机变量X的数学期望，则B．若随机变量Y的方差C．将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为，则服从二项分布D．从7男3女共10名学生干部中随机选取5名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布【答案】BCD【解析】对于选项A：因为，故A错误；对于选项B：因为，故B正确；对于选项C：根据二项分布的概念可知随机变量服从，故C正确；对于选项D：根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故D正确.故选：BCD.12．（2022秋·江苏徐州）为了确保在发生新冠肺炎疫情时，能够短时间内完成大规模全员核酸检测工作，采用“10合1混采检测”，即：每10个人的咽拭子合进一个采样管一起检测．如果该采样管中检测出来的结果是阴性，表示这10个人都是安全的．否则，立即对该混采的10个受检者暂时单独隔离，并重新采集单管拭子进行复核，以确定这10个人中的阳性者．某地区发现有输入性病例，需要进行全员核酸检测，若该地区共有10万人，设感染率为p（每个人受感染的概率），则（

）A．该地区核酸检测结果是阴性的人数的数学期望为人B．随机的10个一起检测的人所需检测的平均次数为次C．该区采用“10合1混采检测”，需要重新采集单管拭子的平均人数为人D．该区采用“10合1混采检测”比一人一检大约少用份检测试剂【答案】BD【解析】感染率为，没有感染的概率为，则为阴性的人数为,则，所以核酸检测结果是阴性的人数的数学期望为，故A错误，感染率为，10个人的咽拭子混合在一起检测时，设随机变量表示这10个人一共所需的检验次数，若第一次混检都是阴性，所需检测次数为1，；若是阳性，每人还得再单独检测一次，此时，且，，于是平均检测次数是，故B正确，采用“10合1混采检测”，1管中需要重新采样的概率为，所以10万人中需要重新采集单管拭子的平均人数为人，故C错误，采取“10合1混采检测”方案，10万人可能需要进行检测的平均次数大约为：，即进行“10合1混采检测”方案，比“一人一检”方案少使用约份检测试剂,故D正确，故选：BD三、填空题(每题5分，4题共20分)13．（2022·江西）若随机变量，若则_____________.【答案】【解析】∵，∴∴.故答案为：.14．（2023江苏）某学校组织1200名学生进行“防疫知识测试”．测试后统计分析如下：学生的平均成绩为=80，方差为．学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰．假设学生的测试成绩X近似服从正态分布（其中μ近似为平均数，近似为方差，则估计获表彰的学生人数为___________．（四舍五入，保留整数）参考数据：随机变量X服从正态分布，则，，．【答案】27【解析】由题意得：，故，所以．故答案为：27.15．（2023湖北）已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球.第一次从红箱内取出一球，观察颜色后放回原处；第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内再取出一球，则第二次取到红球的概率为________.【答案】【解析】依题意，第二次取到红球的概率为.故答案为：16．（2022秋·江苏南京）对如下编号为1，2，3，4的格子涂色，有红，黄，蓝，绿四种颜色可供选择，要求相邻格子不同色，则在1号格子涂红色的条件下，4号格子也涂红色的概率是______.4231【答案】【解析】设1号涂红色事件为，4号涂红色事件为，则.故答案为：四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）17．（2022河北邯郸）网购是目前很流行也很实用的购物方式.某购物网站的销售商为了提升顾客购物的满意度，随机抽取了100名顾客进行问卷调查，根据顾客对该购物网站评分的分数（满分：100分），按分成5组，得到的频率分布直方图如图所示.(1)估计顾客对该购物网站的评分的中位数（结果保留整数）；(2)若顾客对该购物网站的评分不低于90分，则称顾客对该购物网站非常满意.从以上样本中评分不低于80分的顾客中随机抽取3人，记为对该购物网站非常满意的顾客人数，求的分布列与期望.【答案】(1)72(2)分布列见解析，期望为1【解析】（1）因为，所以顾客对该购物网站的评分的中位数在内，设顾客对该购物网站的评分的中位数为，则，解得，即估计顾客对该购物网站的评分的中位数为72.（2）由频率分布直方图可知评分在内的顾客人数是，评分在内的顾客人数是.的所有可能取值为0，1，2，3.，，，.则的分布列为0123故.18．（2022·广西）为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用五一假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在范围内，规定分数在80分以上（含80分）的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如下图所示．(1)根据频率分布直方图计算所得分数的众数及中位数（中位数保留小数点后一位）(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X，求X的分布列及数学期望．【答案】(1)众数65分;中位数66.4分(2)X的分布列见解析，数学期望为【解析】（1）由频率分布直方图，众数为65分，又因为，所以中位数在之间，为（分）；（2）由频率分布直方图，抽到“具有很强安全意识”的成年人的概率为，所以，故X的分布列为X01234P期望19．（2022·安徽）为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；（2）设该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中，分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差(经计算).（i）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位)：（ii）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为，求的数学期望.附注：若，则，，.参考数据：.【答案】（1）千米/时；（2）（i）辆，（ii）.【解析】（1）由图知：千米/时.∴这1000辆机动车的平均车速为千米/时.（2）由（1）及题设知：，则，（i），∴10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数辆.（ii）由（2）知：车速低于85千米/时的概率为，故∴.20．（2022·福建）受互联网技术发展的影响，某品牌电器实体专营店增加网络销售模式该店负责人计划在网络平台销售甲、乙两种型号的电器各a台，其单台成本价和销售价（其中销售价分原价、8折价、6折价三种）列表如下：型号成本价/元原价/元8折价/元6折价/元甲2000400032002400乙3200600048003600其中0.3a台甲型号电器以原价销售给非会员顾客，0.5a台甲型号电器以8折价销售给会员顾客，0.2a台乙型号电器以原价销售给非会员顾客，0.4a台乙型号电器以8折价销售给会员顾客，这两种型号电器的剩余量将在节假日均以6折价销售给顾客，假设这2a台电器能全部销售完.(1)请通过计算比较单台甲、乙型号电器利润的平均值的大小；(2)因店内资金周转困难，该专营店针对甲、乙型号电器举办一天促销活动，所有甲、乙型号电器均以8折价在网络平台销售，每位顾客限购一台，已知促销当天售出甲、乙型号电器共5台，设促销当天售出甲型号电器X台，每位顾客购买甲型号电器的概率为p.①当时，求X的分布列；②若促销活动当天获得的总利润为Y，且Y的数学期望至少为7200元，求p的最大值.【答案】(1)甲型号电器利润的平均值小于单台乙型号电器利润的平均值(2)①分布列见解析；②0.4【解析】（1）设单台甲、乙型号电器利润的平均值分别为，，则（元），（元）.因为，所以单台甲型号电器利润的平均值小于单台乙型号电器利润的平均值.（2）①由题意可知，，且，1，2，3，4，5，则，，，，，.故X的分布列为：X012345P②由题意，得，所以.由，得，解得，即，得，故p的最大值为0.4.21．（2022·浙江）某公司举行了一场羽毛球比赛，现有甲、乙两人进行比赛，每局比赛必须分出胜负，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．(1)求第二局比赛结束时比赛停止的概率；(2)设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为【解析】(1)依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束，记事件A是“第二局比赛结束时比赛停止”．则；(2)依题意知，X的所有可能取值为2，4，6，8设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，该轮结束时比赛继续的概率为，即，，，；则随机变量X的分布列为：X2468P则．22．（2021秋·重庆·高二统考期中）某村为巩固脱贫成果，积极引导村民种植一种名贵中药材，但这种中药材需加工成半成品才能销售．现有甲、乙两种针对这种中药材的加工方式可供选择，为比较这两种加工方式的优劣，村委会分别