人教版高中数学精讲精练选择性必修二重难点3 导数与函数零点、不等式等的综合运用（精讲）（解析版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】重难点3导数与函数零点、不等式等的综合运用（精讲）考点一零点的个数【例1】（2022秋·四川遂宁）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求函数极值点；(3)当时，求函数的零点个数.【答案】(1)(2)极小值点为，无极大值点(3)【解析】（1）对于函数，有，解得，所以，函数的定义域为，且，，则，所以，曲线在点处的切线方程为.（2）因为，函数的定义域为，且，当时，，则，，，此时，，当时，，则，，，此时，，所以，函数在区间上单调递减，在上单调递增，所以，函数的极小值点为，无极大值点.（3）当时，，该函数的定义域为，且，令，其中，则，令可得，列表如下：增极大值减所以，函数的增区间为，减区间为，因为，，，所以，函数在、上各有一个零点，且其中一个零点为.综上所述，当时，函数的零点个数为.【一隅三反】1．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知为实数，函数(1)当时，求函数的极值点；(2)当时，试判断函数的零点个数，并说明理由．【答案】(1)有且仅有一个极小值点(2)零点个数为2，理由见解析【解析】（1）当a=0时，，故，令，故，与在区间上的情况如下：0+极小值所以在区间上单调递减，在区间单调递增，所以函数有且仅有一个极小值点．（2）函数的零点个数为2，理由如下：（1）当时，．由于，所以，故函数在区间上单调递减，，所以函数在区间上有且仅有一个零点；（2）当时，，故，令，得，，故，因此恒有，所以函数在区间上单调递增；又，所以函数在区间上有且仅有一个零点．综上，函数的零点个数为2．2．（2023秋·江苏常州）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若在上单调递增，求实数的取值范围；(3)当时，判断在零点的个数，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)仅有一个零点，理由见解析；【解析】（1）由可得，此时切线斜率为，而；所以切线方程为，即；即曲线在点处的切线方程为；（2）根据题意，若在上单调递增，即可得在上恒成立，即恒成立；令，则；显然在上满足，而恒成立，所以在上恒成立；即在单调递增，所以；所以即可；因此实数的取值范围为.（3）令，即可得；构造函数，，易知在上恒成立，即在上单调递增，如下图中实曲线所示：又函数恒过，且，易知，所以函数在处的切线方程为；又，所以（图中虚线）在范围内恒在（图中实直线）的上方；所以由图易知与在范围内仅有一个交点，即函数在内仅有一个零点.3．（2023春·广东·高二校联考期末）已知函数，为的导数.(1)证明：在区间上存在唯一极大值点；(2)求函数的零点个数.【答案】(1)证明见解析(2)2【解析】（1）由题意知，函数的定义域为，且，令，，所以，，令，，则，当时，，所以，即在上单调递减，又，，，则存在，使得，即存在，使得，所以当时，，当时，，所以为的唯一极大值点，故在区间上存在唯一极大值点；（2）由（1）知，，，①当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，又，，，所以存在，使得，所以当，时，，单调递减，当时，，单调递增，又，，所以当时，有唯一的零点；②当时，，单调递减，又，所以存在，使得；③当时，，所以，则在没有零点；综上所述，有且仅有2个零点.考点二零点个数求参【例2】（2023秋·山东）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有且仅有3个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)见详解；(2)【解析】（1）由题意可得，①若，则，即函数在R上单调递增，②若，令，即，令或，即函数在上单调递减，在和上单调递增，综上：时，函数在R上单调递增；时，函数在上单调递减，在和上单调递增.（2）由（1）知，欲满足题意则需：，当时，当时，，即函数存在三个零点从小到大分布在区间上，故实数的取值范围为.【一隅三反】1．（2023秋·云南昆明）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数存在两个零点，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）当时，函数，所以，设切线的斜率为k，则，又，即切点为，故切线方程为，所以曲线在点处的切线方程为.（2）解法一：函数的定义域为，，当时，，函数在上单调递增，不存在两个零点，不合题意；当时，设，则，所以在上单调递增，因为趋近于0时，趋近于，趋近于时，趋近于，所以在上有唯一零点，不妨设在上有唯一零点，即，可得，所以在上单调递减，在上单调递增，即在上有唯一极小值点，要函数存在两个零点，即需要，由得，所以所以，即，又，解得.所以实数a的取值范围.解法二：易知，，令，则，易知在上恒成立，所以在上单调递增，则，令，所以.当时，恒成立，函数在上单调递增，即函数在上单调递增，不存在两个零点，不合题意；当时，令，可得，所以当，，所以在上单调递减，同理可得在上单调递增，而，所以是函数的唯一极小值点，要函数存在两个零点，即要，即，解得.所以实数a的取值范围.2．（2023秋·宁夏石嘴山）设函数，.(1)讨论的单调性；(2)若在区间上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增(2)【解析】（1），由得：，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；（2）由于，只需在区间上没有零点，由（1）知，①当时，即时，在区间上单调递增，时，，符合题意；②当时，即时，在区间上单调递减，时，，符合题意；③当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，只需即可，所以：，综上，a的取值范围是.考点三不等式恒（能）成立【例3】（河南省TOP二十名校2024届高三上学期调研考试四数学试题）已知函数．(1)求的极值；(2)令，若对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，没有极大值(2)【解析】（1）由题意知的定义域为，且，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的唯一极值点，且为极小值点，所以，没有极大值．（2）由题意知，由，得，所以只需．由（1）知的极小值为2，即最小值为2，所以的最小值为1，所以，所以，故实数的取值范围为．【一隅三反】1．（2023秋·山西）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直．(1)求的解析式及的值；(2)当时，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)；(2)【解析】（1），令，则，，，，直线的斜率为，切线与此直线垂直，，且，解得；（2）依题意，则，，，等价于恒成立，令，且，可得函数在上单调递增，，，即的取值范围为．2．（2023秋·江苏连云港）已知函数．(1)若，求在处的切线方程；(2)当时，恒成立，求整数a的最大值．【答案】(1)(2)4【解析】（1）若，则，，则切点坐标为，，则切线斜率，所以切线方程为，即．（2）由，得，当时，，；当时，，设，，设，，则在单调递增，，，所以存在使得，即．时，，即；时，，即，则有在单调递减，在单调递增，，所以，因为，所以，所以整数a的最大值为4．3（2023秋·黑龙江齐齐哈）已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若存在，使得，求的取值范围.【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减(2)【解析】（1）时，，.令，得；令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，即函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）函数的定义域为，，由已知可知，∴.①当时，则，则当时，，∴函数在单调递增，∴存在，使得的充要条件是，即，解得；②当时，则，则当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增.∴存在，使得的充要条件是，而，不符合题意，应舍去.③当时，，函数在上单调递减，又，成立.综上可得：的取值范围是.考点四证明不等式【例4】（2022·四川南充·四川省南充高级中学校考一模）已知函数有两个不同的零点.(1)求实数的取值范围；(2)求证：.【答案】(1)(2)证明见详解【解析】（1）的定义域为，因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值.又当x趋近于0或时，趋于，所以，要使有两个不同的零点，只需满足，即.所以实数的取值范围为.

（2）不妨设，由（1）可知，，则，要证，只需证，又在上单调递增，所以只需证，即证.记，则，当时，，单调递增，又，所以，即.所以.【一隅三反】1．（2023秋·四川绵阳）已知函数（），（）．(1)若函数在处的切线方程为，求实数与的值；(2)当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)【解析】（1），由得，∴，，即切点为，代入方程得，所以，；（2）由题意可得时，．∵时，在恒成立，故在为增函数，∴，．①当时，在区间上递增，所以，由解得，舍去；②当时，在上单调递减，在上单调递增，故，故，解得或，∴；③当时，在区间上递减，所以，由解得，∴.综上，.2．（2023秋·浙江金华）已知函数有两个零点.(1)求的取值范围；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由题意可得：，令，令，即在上单调递减，在上单调递增，则，当时，，当时，，故要符合题意需；（2）不妨设，由（1）知，设，即在上单调递增，又，所以时，，则，故①，又时，，则，同理有，即②，②式①式得，即证.考点五极值点偏移【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点．(1)求a的取值范围；(2)设是的两个零点，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】（1）解：由，得，设，则，，因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．又因为，所以，，，所以a的取值范围是．（2）证明：不妨设，由（1）知，则，，，又在上单调递增，所以等价于，即．设，则．设，则，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又因为，，，所以存在，使得，当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增．又因为，，所以当时，，当时，，所以当时，，单调递减，因为，所以，所以，即原命题得证．【一隅三反】1．（2023春·陕西榆林）已知，其极小值为-4.(1)求的值；(2)若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求证：.【答案】(1)3(2)证明见解析【解析】（1）因为，所以.当时，，所以单调递增，没有极值，舍去.当时，在区间上，，单调递增，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以当时，的极小值为，舍去当时，在区间上，，单调递增，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以当时，的极小值为.所以.（2）由（1）知，在区间上，，单调递增，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以不妨设.下面先证.即证，因为，所以，又因为区间上，单调递减，只要证，又因为，只要证，只要证.设，则，所以单调递增，所以，所以.下面证.设，因为，在区间上，；在区间上，.设，，因为，所以，所以.设，，因为，所以，所以.因为，所以，所以.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(1)求函数单调区间；(2)设函数，若是函数的两个零点，①求的取值范围；②求证：．【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为(2)①；②证明见解析【解析】（1）定义域为，，当时，；当时，；的单调递增区间为；单调递减区间为.（2）①若是的两个不同零点，则与在上有两个不同交点；由（1）知：，又，在的图象如下图所示，由图象可知：，，即的取值范围