重庆市涪陵第五中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（含答案）

重庆市涪陵第五中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（考试总分：150分考试时长：120分钟）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.命题"∀x>1,x2A.∃x>1,x2C.∀x>1,x22.已知a,b,c∈R且a>b,则下列不等式一定成立的是()A.1a<1b B.a2>3.函数f(x)=x22A. B. C. D.4.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关,在全校学生中选取了男、女生各n人进行调查,并绘制如下图所示的等高堆积条形图,故由此估算所得选项正确的是()参考公式及数据:χ2=n(ad−bcA.参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多B.全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多C.若n=50,依据α=0.01的独立性检验,可以认为游泳运动的喜好和性别有关D.若n=100,依据α=0.01的独立性检验,可以认为游泳运动的喜好和性别有关5.已知函数f(x)=x+4x+3lnx在x∈(a,2−3a)内有最小值点，则实数aA.a>1 B.13<a<1 C.0≤a<16.由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主､自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是()(参考数据：lg1.09≈0.0374,lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)A.2024年 B.2025年 C.2026年 D.2027年7.定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x−1)，且当x∈[−1,1)时，f(x)={log0.5(1−x),−1≤x≤0−|x|,0<x<1，若函数g(x)=f(x)−mx在x∈[0,5]A.(−13,−15) B.(−8.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为()A.44 B.46 C.48 D.54二、多选题（本题共计3小题，总分18分）9.（6分）已知数据x1,x2,x3A.中位数不变B.若x1=1,则数据C.平均数不变D.方差变小10.（6分）若f(x)=(2−x)20=A.(2−x)20B.aC.aD.f(−1)除以10的余数为911.（6分）设f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数,且f(x)为单调函数,f(1)>1,若对任意x∈R有f(g(x)−x)=a(a为常数),g(f(x+2))+g(f(x))=2x+2,则()A.g(2)=0 B.f(3)<3 C.f(x)−x为周期函数 D.k=1三、填空题（本题共计3小题，总分15分）12.若a>0,b>0,lga+lg⁡b=1,则a+b的最小值为_________.13.函数y=(12)−14.设定义域为R的函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的x∈R有f(x)−f(−x)=2sinx恒成立，且f′(x)>cos⁡x在(0,+∞)上成立.若四、解答题（本题共计5小题，总分77分）15.（13分）某工厂统计了某产品的原材料投入x(万元)与利润y(万元)间的几组数据如下：(1)根据经验可知原材料投入x(万元)与利润y(万元)间具有线性相关关系，求利润y(万元)关于原材料投入x(万元)的线性回归方程；(2)当原材料投入为100万元时，预估该产品的利润为多少万元？附：b^=i=116.（15分）已知函数f(x)=ax2+x−ln⁡x(1)当a=0时，过点(0,0)作y=f(x)的切线，求该切线的方程；(2)若函数g(x)=f(x)−x在定义域内有两个零点，求a的取值范围.17.（15分）某物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操作两步进行，第一项基本操作：每位参赛选手从A类7道题中任选4题进行操作，操作完后正确操作超过两题的(否则终止比赛)，才能进行第二步技能操作：从B类5道题中任选3题进行操作，直至操作完为止.A类题操作正确得10分，B类题操作正确得20分.以两步操作得分总和决定优胜者.总分80分或90分为二等奖，100分为一等奖.某校选手李明A类7题中有5题会操作，B类5题中每题正确操作的概率均为23，且各题操作互不影响.(1)求李明被终止比赛的概率；(2)求李明获一等奖的概率；(3)现已知李明A类题全部操作正确，求李明B类题操作完后总分的期望.18.（17分）已知函数f(x)=2lnx−4x−(1)当a=−3时，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)有唯一的极值点x0①求实数a取值范围；②证明：x019.（17分）在不大于kn(k,n∈N∗,k≥2)的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3(1)求F2(4)，(2)求F6(n)关于(3)记[x]表示不超过x的最大整数，若Sn=i=1答案一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】A【解析】因为定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x−1)，即f(x+2)=f(x)，则f(x)是周期为2的函数，由g(x)=f(x)−mx=0，可得f(x)=mx，且函数y=f(x)与y=mx的图象在区间[0,5]上有4个交点，作出函数y=f(x)与由图象可知{3m>−15m<−1，解得即实数m的取值范围为(−8.【答案】B【解析】由题意可知为该问题为“多重限制的排列问题”：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是最后一名，即甲的限制最多，故以甲为优先元素分类计数，甲的排位有可能是第二、三、四3种情况：①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有A33种排法，则有②甲排第三、四位,乙排第二位,包含丙的余下3人有A33种排法，则有③甲排第三、四位,乙不排第一、二位,即有2种排法，丙不排第二位，有2种排法，余下2人有A22种排法，则有2×2×2×A间接法：甲不排首尾，有三种情况，再排乙，也有3种情况，包含丙的余下3人有A33种排法，共有3×3×A33=3×3×3×2×1=54种不同的情况；但如果丙是第二名，则甲有可能是第三、四名2种情况；再排乙，也有2种情况；余下2人有二、多选题（本题共计3小题，总分18分）9.（6分）【答案】ACD10.（6分）【答案】BC11.（6分）【答案】BCD【解析】在f(g(x)−x)=a中，且f(x)，g(x)，都是定义在R上的奇函数，令x=0得a=f(g(0))=f(0)=0，则f(g(x)−x)=0，又f(x)为单调函数，则必有g(x)−x=0，即g(x)=x，所以f(x+2)+f(x)=2x+2，所以g(2)=2，所以A错误；由f(3)+f(1)=4，且f(1)>1得f(3)=4−f(1)<3，所以B正确；设ℎ(x)=f(x)−x，则由f(x+2)+f(x)=2x+2，可得ℎ(x+2)+ℎ(x)=0，所以ℎ(x+4)+ℎ(x+2)=0，所以ℎ(x+4)=ℎ(x)，即ℎ(x)=f(x)−x为周期函数，所以C正确；由ℎ(x+4)=ℎ(x)，得f(x+4)−x−4=f(x)−x，即f(x+4)−f(x)=4，所以{f(4k)}为等差数列，且f(4)−f(0)=4，即f(4)=4，故f(4k)=4+4(k−1)=4k，从而k=1n三、填空题（本题共计3小题，总分15分）12.【答案】21013.【答案】[1414.【答案】(−∞，【解析】设g(x)=f(x)−sin⁡x，则g(−x)=f(−x)+sin⁡x，又f(x)−f(−x)=2sinx，即g(x)+sin⁡x−g(−x)+sin⁡x=2sinx，即g(x)=g(−x)，则函数g(x)为偶函数，当x>0时，g′(x)=f′(x)−即g(π2−t)>g(t)，故|π2−t|>|t|，解得四、解答题（本题共计5小题，总分77分）15.（13分）(1)设利润y(万元)关于原材料投入x(万元)的线性回归方程为y^=b由已知x=15则i=15(x所以b^=i=15(xi−x(2)由(1)当x=100时，y^=22×100−1040=1160，所以当原材料投入为100万元时，预计该产品的利润为16.（15分）(1)当a=0时，f(x)=x−ln⁡x(x>0)，则f′设切点为(x0，y0则可得方程组{y0=x0−ln故所求切线方程为y−(e−1)=(1−1e)(x−e)(2)由g(x)=f(x)−x，得a=lnxx2，令令ℎ′(x)>0得0<x<e，令ℎ′(x)<0得x>e，故且ℎ(x)max分别作出函数ℎ(x)=lnxx如图所示，g(x)在定义域内有且仅有两个零点,即ℎ(x)=lnxx2和y=a有且只有两个交点，由图象可知，17.（15分）(1)设“李明被终止比赛”事件为M,M表示选出的4题2题不会操作且2题会操作，故李明被终止比赛的概率P(M)=C(2)设李明获一等奖的事件为N，事件N即A类4道题全部操作正确，且B类3道题全部操作正确，故由独立事件的概率公式可得P(N)=C(3)设李明在竞赛中，A类题全部操作正确后得分为X，则X的取值为：40,60,80,100，且B类题正确操作题数n∼B(3,23)P(X=60)=C31P(X=100)=C3318.（17分）(1)由f′(x)=2x+4x2则0<x<1,f′(x)<0;x>1,f′(x)>0，故从而f(x)的极小值为f(1)=−3，无极大值；(2)①由(1)可知，分析ℎ(x)=x2+2x+a的图像特征，可得ℎ(x)在(0,+当a≥0时，则f′(x)=2(x2当a<0时，令f′(x)=0，解得x0则函数f(x)的递增区间为(−1+1−a,+∞)，递减区间为(0,−1+1−a)，即此时综上所述：当a<0时，函数f(x)有唯一的极值点x0②由①可知，函数f(x)有唯一的极值点x0=−1+1−a>0，且a=−(x02令F(x)=ln⁡x−1x当0<x<1时，构建φ(x)=F′(x)由0<x<1，则1−x>0,x+3>0,x4>0,e1−x>0，故φ′(x)=(1−x)(x+3)x4+e1−x>0对∀x∈(0,1)恒成立，则又当x≥1时，则F′令g(x)=ex−ex,x≥1，则g′(x)=ex故g(x)在[1,+∞)内单调递增，则故当x≥1时，有ex−ex≥0,xex>0,x−1≥0,x3>0，则F′综上所述：F(x)≥0对∀x∈(0,+∞)19.（17分）(1)在不大于24的所