三角形三边、三线、内角和与外角和压轴题八种模型全攻略（原卷版） 七年级数学下册

专题10三角形三边、三线、内角和与外角和压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一三角形中的中线】 1【考点二三角形中的角平分线】 4【考点三三角形中的高线】 7【考点四三角形内角和定理的证明】 9【考点五与平行线有关的三角形内角和问题】 13【考点六与角平分线有关的三角形内角和问题】 18【考点七三角形的外角和性质】 22【考点八确定第三边的取值范围】 27【过关检测】 29【典型例题】【考点一三角形中的中线】例题：（2023上·浙江台州·八年级台州市书生中学校考阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则．【变式训练】1．（2023上·新疆阿勒泰·八年级校考期中）如图，在中，已知点D、E、F分别是的中点，且，则．2．（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）在中，是的中点，，．用剪刀从点入手进行裁剪，若沿剪成两个三角形，它们周长的差为；若点在上，沿剪开得到两部分周长差为，则．【考点二三角形中的角平分线】例题：（2022上·安徽阜阳·八年级校考期中）如图，平分，，，则

【变式训练】1．（2023上·广东茂名·八年级统考期末）如图，在中，平分，平分，，则的度数为.2．（2023下·河南驻马店·七年级统考期末）在中，，的平分线交于点O，外角平分线所在的直线的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是．（填写所有正确结论的序号）①；②；③；④．【考点三三角形中的高线】例题：（2022上·山东淄博·七年级校考阶段练习）如图所示，在中，边上的高是，边上的高是；在中，边上的高是；边上的高是；在中，边上的高是；边上的高是．【变式训练】1．（2023上·吉林·八年级统考阶段练习）如图，在中，是边上的高，若，，则的度数为．2．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，，．(1)点B到的距离是________；点到的距离是_________cm．(2)画出表示点C到的距离的线段，并求这个距离．【考点四三角形内角和定理的证明】例题：小明在研究：三角形的内角和为．这个命题时进行了以下操作，请你根据他的思路填写证明过程．证明：过A点作______∵（已知）∴______，______（

）∵______（

）∴∴______（

）【变式训练】1．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，有如下两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下：请你参考小明的思路，写出实验方法2的证明过程．2．（23-24七年级上·河南南阳·期末）在学习完七年级上册第五章《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，张老师围绕平行线这一节在班级内开展了一个课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能．(1)观察发现：在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下结论：三角形的内角和等于．问题1：请同学们尝试用说理的方式证明该结论正确．聪明的小明同学给出如下解答，请补全证明过程．证明：如图1所示，，，是的三个内角，过点A作．∵（已知），①（理由：②）（平角定义），（理由：③）三角形内角和等于．(2)拓展探究：听完小明的说理过程后，善于思考的小亮同学提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们构造平行线能起到转移角的作用．对于问题1，小亮还有其他证明方法：如图2所示，已知，，是的三个内角，延长到，过点作．请你按照小亮同学的解答思路证明．(3)迁移应用：已知，点在点的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在直线与之间．①如图3，点在点A的左侧，若，则．（填角的度数）②如图4，点在点A的右侧，且，，若，则．（用含的代数式表示）【考点五与平行线有关的三角形内角和问题】例题：（22-23七年级下·浙江杭州·期中）如图，，连接、、，且．(1)若，求的度数．(2)若，求证：．(3)若与互补，求与的数量关系，并证明．【变式训练】1．（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如图示，已知，平分，平分．(1)与有什么数量关系？请说明理由．(2)与平行吗？请说明理由．2．（22-23七年级下·四川成都·阶段练习）已知，点E为直线、所确定的平面内一点．

(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，点在的延长线上，连接、，若，，，求的度数．(3)在（2）的条件下，如图3，过点F作交的延长线于点G，连接，作交于点H，使，当时，求的度数．【考点六与角平分线有关的三角形内角和问题】例题：（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．(1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长；(2)当为的角平分线时，若，，求的度数．【变式训练】1．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点P．(1)如果，求的度数；(2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系．2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：如图，为的角平分线，过延长线上的任意一点H作的垂线，分别交于三点．(1)如果，，则___________；(2)求证：．【考点七三角形的外角和性质】例题：（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，平分的内角，平分的外角，相交于点E．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数．【变式训练】1．（21-22八年级上·河南郑州·期末）如图①，在中，与的平分线相交于点P．(1)如果，则的度数为；(2)如图②，分别作外角的角平分线，两条角平分线相交于点Q，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．(3)如图③，延长线段交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数．2．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点，令，，．(1)如图1，若点P在线段上，且，则；(2)如图2，若点P在线段上运动，则之间的关系为；(3)如图3，若点P在线段的延长线上运动，则之间的关系为．(4)如图4，若点P运动到的内部，写出此时之间的关系，并说明理由．(5)若点P运动到的外部，且与点A分别位于直线两侧时，请在图5中画出一种情形，直接写出此时之间的关系，无需说明理由．【考点八确定第三边的取值范围】例题：（2023上·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）已知三角形三条边的长度为3、x、9，x的取值范围是【变式训练】1．（2023上·宁夏吴忠·八年级校考期中）小明要做一个三角形镜框，他现有和的两根木条，则第三根木条x的取值范围是．2．（2024上·北京顺义·八年级统考期末）若三角形的两边长分别为4和6，则第三边的长度可以为（写出一个即可）．【过关检测】一、单选题1．（2024年江苏省宿迁市九年级中考数学二模模拟试题）现有两根长度为3和4（单位：cm）的小木棒，下列长度的小木棒不能与它们搭成三角形的是（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2024·河南商丘·一模）如图，已知，，则∠3的度数为（

）A． B． C． D．3．（22-23七年级下·重庆黔江·期中）如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E，F为上的一点，于H，下面判断正确的有（

）是的角平分线；是的边上的中线；是的边上的高；是的角平分线和高．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，和是两个外角的平分线，、、三点在一条直线上，下列结论中：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如图，四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论有（

）．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④二、填空题6．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，在中，，是边上的高，求=．7．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，已知为的中线，，的周长为，则的周长为．

8．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，点是两条角平分线的交点，如果，那么．9．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，D、H分别是边的中点，E、G是上的点，且，F是的中点，若四边形的面积为20，则图中阴影部分面积为．10．（22-23八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，则．三、解答题11．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）在中，．(1)设、的平分线交于点，求的度数；(2)设的外角、的平分线交于点，求的度数；(3)与有怎样的数量关系?12．（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知分别在的延长线上，．(1)求证：；(2)若，求证：平分；(3)在（2）的条件下，若，求的度数．13．（23-24七年级下·山东淄博·期中）如图1，在中，，分别作其内角与外角的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点．(1)；(2)分别作与的平分线，且两条角平分线交于点．①依题意在图1中补全图形；②求的度数；14．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，，且相交于点．(1)证明：；(2)如图2，连接，当时，在的延长线上取点，使，连接，若，求的度数；(3)如图3，在（2）的条件下，作的平分线交于点，当，且时，求的面积．15．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）阅读下面的材料，并解决问题．(1)已知在中，，图1﹣图3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．如图1，；如图2，；如图3，；如图4，，的三等分线交于点，，连接，则．(2)如图5，点O是△两条内角平分线的交点，则．(3)如图6，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数．16．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道三角形的3条高所在直线交于同一点．（1）①如图1，中，，则的三条高所在直线交于点；②如图2