难点探究：实际问题与一元一次方程之六大类型（原卷版） 七年级数学下册

专题03难点探究专题：实际问题与一元一次方程之六大类型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一一元一次方程的应用--古代问题】 1【类型二一元一次方程的应用--销售问题】 4【类型三一元一次方程的应用--方案问题】 10【类型四一元一次方程的应用--配套问题】 17【类型五一元一次方程的应用--电费和水费问题】 21【类型六一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】 27【典型例题】【类型一一元一次方程的应用--古代问题】例题：（2023上·安徽淮南·七年级校考阶段练习）《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题．【变式训练】1．（2023上·七年级课时练习）我国古代对于利用方程解决实际问题早有研究，《九章算术》中提到这么一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份去测，那么绳子会多出四尺；如果将绳子折成四等份去测，那么绳子会多出一尺．绳长和井深各多少尺？2．（2022下·福建泉州·七年级统考期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道数学题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人几何？其大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，剩余2辆车没人乘坐；若每2人共乘一车，剩余9个人没有车可乘坐．问共有多少人？3．（2023上·辽宁锦州·七年级统考期末）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中第六章《均输》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（读fú，指野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”题目大意是：今有野鸭从南海起飞，天到北海；大雁从北海起飞，天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞（两者的飞行路线相同），问经过多少天相遇？4．（2022上·广东深圳·七年级深圳中学校联考期末）列方程应用题.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳木各长几何?”原文的意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.(1)绳子、长木各长多少尺?(2)皓元同学对（1）中所用的长木和绳子进行了一定条件下燃烧速度的实验.他分别截取了等长的木头和绳子各两根.先取出木头和绳子各一根，将其浸没在油中，一段时间后取出.从一端点燃后，他发现燃烧完一根木头需要40分钟，燃烧完一根绳子需要10分钟.随后，他同时点燃了剩下的等长的木头和绳子，一段时间后，同时都被风吹灭，这时他发现木头的长是绳子的长的4倍，问第二次木头燃烧的时间为多少分钟?【类型二一元一次方程的应用--销售问题】例题：（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）小张自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调查，在换季时积压了一批服装。为了缓解资金压力，小张决定打折销售．若每件服装按标价的6折出售将亏10元，而按标价的8折出售将赚40元．(1)请计算每件服装标价多少元？每件服装成本多少元？（用一元一次方程求解）(2)为尽快减少库存，又要保证不亏本，请问小张最多能打几折？【变式训练】1．（2023春·重庆云阳·七年级校考阶段练习）云阳新世纪超市销售蓝莓，第一周的进价是每千克30元，销量是200千克；第二周的进价是每千克25元，销量是400千克．已知第二周的售价比第一周的售价每千克少10元，第二周比第一周多获利2000元．(1)求第二周该水果每千克的售价是多少元？(2)第三周该水果的进价是每千克20元．经市场调查发现，如果第三周的售价比第二周降低，销量是第二周销量的3倍．此时获利比第二周增加了求t的值．2．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）某百货超市经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价120元，售价150元；乙种服装每件进价200元，售价320元．(1)若该百货超市同时购进甲、乙两种服装共40件，总进价用去6000元，购进甲种服装多少件？(2)在“双11购物节”当天，该百货超市实行“每满100元减30元”的优惠促销（比如：某顾客购物120元，他只需付款90元），张先生这天买了一件乙种服装．到了第二天，百货超市又推出：先打折，再参与“每满100元减30元”的让利活动，他发现一件乙种服装打折后的价钱在200元到299元之间此时购买反而要多付7.6元．在该百货超市第二天推出的让利活动下，购买一件甲种服装需要多少元？3．（2023·全国·七年级假期作业）某水果店第一次购进西瓜千克，由于天气炎热，很快卖完．该店马上又购进千克西瓜，进货价比第一次每千克少元，两次进货共花费元．(1)这两次购进的西瓜进货价分别是每千克多少元?(2)在销售过程中，两次进的西瓜售价相同．由于西瓜是易坏水果，第一次购进的西瓜有%的损耗，第二次购进的西瓜有%的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利元，每千克西瓜的售价为多少元?4．（2023春·山东泰安·六年级校考开学考试）玉玲超市经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率；乙种商品每件进价40元，售价60元．(1)每件甲种商品的进价为元；每件乙商品的利润率为．(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共500件，总进价为21000元，求购进甲种商品多少件？(3)“元旦”期间，该超市对乙商品进行如下优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施少于或等于450元不优惠超过450元，但不超过600元按购物总金额打九折超过600元其中600元部分八五折优惠，超过600元的部分打三折优惠按上述优惠条件，若小华购买乙种商品实际付款564元，求小华在商场购买乙商品多少件？5．（2023秋·江苏盐城·七年级校考期末）根据疫情防控有关部署和上级教育行政部门既有安排，结合我市中小学幼儿园实际，为保护广大师生安全健康，市教育局经研究决定：2022年12月19日起，全市中小学本学期剩余时间全部进行线上教学．七年级某班家委会决定在网上统一购买一批防蓝光眼镜，网上某店铺的标价为90元/副，优惠活动如下：销售量单价不超过10副的部分每副立减14元超过10副但不超过20副的部分每副立减22元超过20副的部分每副立减30元(1)①若该班级家委会购买了2副这种防蓝光眼镜，花了___________元；②若该班级家委会购买了15副这种防蓝光眼镜，花了___________元；③若该班级家委会购买了副这种防蓝光眼镜，花了___________元；（用含x的代数式表示）(2)若该班级家委会购买的这种防蓝光眼镜均价为69.6元，求他们购买的数量．【类型三一元一次方程的应用--方案问题】例题：（2023春·河南周口·七年级校考期中）“太行分一脉，缥缈入云台”．某单位计划“五一”节组织员工到焦作云台山旅游，已知甲、乙两旅行社都提供去云台山的方案，都是每人400元．几经洽谈，甲旅行社表示给予每位旅客折优惠，乙旅行社表示能免去一位旅客的费用，其余9折．(1)若参加旅游的人数为x，则选择甲旅行社的费用为______元，选择乙旅行社的费用为______元（都用含x的式子表示）．(2)若经过计算可知甲，乙两家旅行社的费用相同，则该单位有员工多少人?【变式训练】1．（2023秋·黑龙江绥化·七年级统考期末）张老师暑假带领学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的6折优惠”，若全票价为240元．(1)若学生有3人和5人，甲旅行社需费用多少元？乙旅行社呢？(2)学生数为多少时两个旅行社的收费相同？2．（2023秋·江苏·七年级专题练习）为庆祝元旦活动，某中学组织大合唱比赛，甲、乙两个班级共92人（其中甲班51人以上，不足55人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表为：购买服装的套数1套至50套51套至90套91套及以上每套服装的价格50元40元30元(1)甲、乙两个班级共92人合起来统一购买服装共需付款____________元；(2)如果两个班级分别单独购买服装一共应付4080元，甲、乙两个班级各有多少学生准备参加演出?(3)如果甲班有8名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请你为两个班级设计一种最省钱的购买服装方案．3．（2023秋·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）按照“双减”政策，为丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案：A方案：买一个篮球送一条跳绳；B方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款．已知要购买篮球50个，跳绳x条（）(1)若按A方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）；若按B方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）．(2)购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？(3)当时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？4．（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）为了增强学生的身体素质，丰富学生的课余生活，我县各个学校都开展了各具特色的“阳光体育大课间活动”．七年级3班和4班的班长一起去体育用品商店，准备给每位同学购买一根跳绳．了解到该店跳绳的单价及优惠方案如下图所示．已知两个班共有学生79人，其中3班人数超过40人但不超过45人．(1)若3班有学生44人，以班级为单位每人购买一根跳绳，则两个班共付钱多少元？(2)若以班级为单位每人购买一根跳绳，两个班共付钱1340元．①问两个班级各有多少人？②两位班长通过讨论和计算，发现有一种购买方案最省钱．请你写出最省钱的购买方案，并通过计算说明理由．5．（2023春·山西长治·七年级统考阶段练习）综合与探究“双十一”即将来临，某超市规定消费不超过200元的按原价付款，对消费超过200元的顾客实行如下优惠：一次性购物优惠方案超过200元但不超过600元超过200元不超过600元的部分打八折超过600元每满300元减100元(1)小博妈妈一次性购物元，她实际付款_________元．（用含x的式子表示）(2)小西妈妈一次性购物元，小博妈妈一次性购物元，结账时小博妈妈比小西妈妈多付了336元，求x的值．(3)小博和妈妈一起在超市购买了如下标价的物品：一个电饭煲445元，五斤排骨（38元/斤），两提牛奶（75元/提），两板鸡蛋（35元/板），一提卷纸27元，一个文具袋6元．妈妈正准备一次性付款，小博说他有更省钱的方法．你知道他的方法吗，请问小博能为妈妈节省多少钱？【类型四一元一次方程的应用--配套问题】例题：（2023秋·江苏·七年级专题练习）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个．(1)该车间有男生、女生各多少人？(2)已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？【变式训练】1．（2023春·福建福州·七年级校考开学考试）某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个．已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套，则安排名工人加工大齿轮，才能刚好配套．2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）服装厂计划生产一批某种型号的学生服装，已知每米长的某种布料可做件上衣或条裤子，一件上衣和一条裤子为一套，现仓库内存有这样的布料米，若全部用来做这种型号的学生服装，应分别用多少布料做上衣和裤子，才能恰好配套？3．（2023秋·全国·七年级课堂例题）一张方桌是由一个桌面和四条桌腿组成的，如果1立方米木料可制作方桌的桌面50个，或制作桌腿300条，现在要用5立方米木料制作方桌，请你设计一下，用多少木料制作桌面，用多少木料制作桌腿，恰好配成方桌多少张？4．（2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习）某车间共有90名工人．每名工人平均每天可加工甲种部件15个或乙种部件8个，应安排加工甲、乙两种部件各多少名工人，才能使每天加工后每3个甲种部件与2个乙种部件恰好配套？5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）某车间有22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉12个或螺母20个，一个螺钉要配两个螺母，要求使每天生产的产品刚好配套.(1)如果车间主任安排8人生产螺钉，其它人生产螺母，请你计算这样的安排是否符合要求？(2)如果你是车间主任，请你用列方程的办法计算出分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母才能符合要求？6．（2021秋·江西九江·七年级校考期中）在手工制作课上，老师组织班上学生用硬纸制作圆柱形茶叶桶．这个班共有学生50人，其中男生比女生少2人，并且每名学生每小时剪筒身40个或筒底120个．(1)这个班有男生、女生各多少人？(2)茶叶筒要求一个筒身配两个筒底，那么应分配多少人去剪筒身，多少人去剪筒底？【类型五一元一次方程的应用--电费和水费问题】例题：（2023秋·安徽六安·七年级阶段练习）电信公司推出两种移动电话计费方法：方法：免收月租费，按每分钟0.5元收通话费；方法：每月收取月租费30元，再按每分钟0.2元收通话费．现在设通话时间是分钟．(1)请分别用含的代数式表示计费方法、的通话费用．(2)用计费方法的用户一个月累计通话150分钟所需的话费，若改用计费方法，则可通话多少分钟？(3)当通话多少分钟时，两种计费方法产生的费用相差15元？【变式训练】1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）南京市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水吨，计划内用水每吨收费元，超计划部分每吨按元收费．(1)用代数式表示（所填结果需化简）：设用水量为吨，当用水量小于等于吨，需付款____元；当用水量大于吨，需付款_____元；(2)某月该单位用水吨，水费是____元；若用水吨，水费____元；(3)若某月该单位缴纳水费元，则该单位用水多少吨？2．（2023秋·湖南益阳·七年级统考期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如下图．价目表每月用水量单价不超过的部分3元超过不超过的部分4元超过的部分6元注：水费按月结算(1)若某户居民1月份用水，则水费为_________元．(2)若某户居民某月用水，请用含x的代数式表示水费．(3)若某户居民3，4月份共用水，且4月份用水量超过，3月份用水量超过，共交水费94元，则该户居民3、4月份各用水多少m³?3．（2023秋·河南信阳·七年级统考期末）某市对居民生活用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下表：已知2022年10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元，2022年9月份老李家交电费157元．一户居民一个月的用电量电价（元/度）不超过240度的部分a超过240度的部分但不超过400度的部分超过400度的部分(1)求表中a的值；(2)求老李家9月份的用电量；(3)若老李家2022年8月份用电的平均电价为元/度，求老李家2022年8月份的用电量．4．（2023春·重庆巴南·七年级重庆巴南育才中学校校考阶段练习）小明的爸爸是一名业务员，使用电话的频率很高，因此他在某电话营业厅选择了A种套餐，如下表（A、B两种套餐接听免费，拨打收费，以下通话时间全部为拨打时间）：固定费用（元）免费拨打时间（分钟）超出免费时间后单价（元/分钟）A181500B384000(1)如果小明的爸爸10月份拨打电话2600分钟，求当月的电话费；(2)小明的爸爸在11月份便登记更换成B套餐，但营业厅告知下月才能生效，11月仍按套餐计费，第二年1月，小明的爸爸查询到去年11、12月话费共为176元，拨打时间一共为5200分钟。请问他11月和12月的话费各是多少？(3)若小明的爸爸没有按照（2）更换套餐，则11、12月话费一共将比实际多花多少钱？5．（2023秋·江苏徐州·七年级统考期末）为缓解用电高峰期的供电缺口，促进电力资源的优化配置，某地居民用电实施峰谷计费．峰时段为8：00－21：00；谷时段为21：00－次日8：00．下表为该地某户居民八月份的电费账单（部分信息缺失），设其中的峰时电量为x千瓦·时，根据所给信息，解决下列问题．户主***用电户号******家庭地址******2022年08月合计金额166元合计电量350千瓦·时抄送周期2022-06-01－－2022-08-01备注：合计电量=峰时电量+谷时电量单价（元）计费数量（千瓦•时）金额（元）峰时电量0.56x②______谷时电量0.36①_____③______(1)填空（用含x的代数式表示）：①________，②__________，③______；(2)由题意，可列方程为___________；(3)该账单中的峰时电量、谷时电量分别为多少千瓦时？【类型六一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】例题：（2023上·陕西宝鸡·七年级校考阶段练习）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为，点B表示的数为6．若动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．(1)当时，点M表示的数是____________，点N表示的数是____________；(2)当时，求t的值；(3)若点C为的中点，点D为的中点，当点M、N在线段上运动，且点M在点N的左侧时，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．【变式训练】1．（2023上·江苏徐州·七年级校考阶段练习）如图，数轴上有，，三点，分别表示有理数，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，设点的运动时间为秒．(1)用含的代数式表示点对应的数：________用含的代数式表示点和点之间的距离：________．(2)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回点探究点，同时运动的过程中是否相遇．若相遇，求相遇时的值．2．（2024上·辽宁沈阳·七年级统考期末）单项式的系数为，次数为，点，，在数轴上表示的数分别为，，，点在原点右边，且与点到原点的距离相等．(1)请直接写出，，的值：_____