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文档简介
专题03难点探究专题:实际问题与一元一次方程之六大类型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一一元一次方程的应用--古代问题】 1【类型二一元一次方程的应用--销售问题】 4【类型三一元一次方程的应用--方案问题】 10【类型四一元一次方程的应用--配套问题】 17【类型五一元一次方程的应用--电费和水费问题】 21【类型六一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】 27【典型例题】【类型一一元一次方程的应用--古代问题】例题:(2023上·安徽淮南·七年级校考阶段练习)《直指算法统宗》中有这样一道题,原文如下:“一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚得几丁?”大意为:有100个和尚分100个馒头,如果大和尚1人分3个,小和尚3人分1个,正好分完,大、小和尚各有多少人?请解答上述问题.【变式训练】1.(2023上·七年级课时练习)我国古代对于利用方程解决实际问题早有研究,《九章算术》中提到这么一道“以绳测井”的题:以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几何?这道题大致意思是:用绳子测量水井深度,如果将绳子折成三等份去测,那么绳子会多出四尺;如果将绳子折成四等份去测,那么绳子会多出一尺.绳长和井深各多少尺?2.(2022下·福建泉州·七年级统考期末)我国古代数学著作《孙子算经》中有一道数学题:今有三人共车,二车空:二人共车,九人步,问人几何?其大意是:今有若干人乘车,每3人共乘一车,剩余2辆车没人乘坐;若每2人共乘一车,剩余9个人没有车可乘坐.问共有多少人?3.(2023上·辽宁锦州·七年级统考期末)《九章算术》是中国古代的一部数学专著,其中第六章《均输》卷记载了一道有趣的数学问题:“今有凫(读fú,指野鸭)起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海.今凫雁俱起,问何日相逢?”题目大意是:今有野鸭从南海起飞,天到北海;大雁从北海起飞,天到南海.现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞(两者的飞行路线相同),问经过多少天相遇?4.(2022上·广东深圳·七年级深圳中学校联考期末)列方程应用题.《孙子算经》中有一道题,原文是:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺,绳木各长几何?”原文的意思是:用一根绳子去量一根长木,绳子还余4.5尺,将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺.(1)绳子、长木各长多少尺?(2)皓元同学对(1)中所用的长木和绳子进行了一定条件下燃烧速度的实验.他分别截取了等长的木头和绳子各两根.先取出木头和绳子各一根,将其浸没在油中,一段时间后取出.从一端点燃后,他发现燃烧完一根木头需要40分钟,燃烧完一根绳子需要10分钟.随后,他同时点燃了剩下的等长的木头和绳子,一段时间后,同时都被风吹灭,这时他发现木头的长是绳子的长的4倍,问第二次木头燃烧的时间为多少分钟?【类型二一元一次方程的应用--销售问题】例题:(2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末)小张自主创业开了一家服装店,因为进货时没有进行市场调查,在换季时积压了一批服装。为了缓解资金压力,小张决定打折销售.若每件服装按标价的6折出售将亏10元,而按标价的8折出售将赚40元.(1)请计算每件服装标价多少元?每件服装成本多少元?(用一元一次方程求解)(2)为尽快减少库存,又要保证不亏本,请问小张最多能打几折?【变式训练】1.(2023春·重庆云阳·七年级校考阶段练习)云阳新世纪超市销售蓝莓,第一周的进价是每千克30元,销量是200千克;第二周的进价是每千克25元,销量是400千克.已知第二周的售价比第一周的售价每千克少10元,第二周比第一周多获利2000元.(1)求第二周该水果每千克的售价是多少元?(2)第三周该水果的进价是每千克20元.经市场调查发现,如果第三周的售价比第二周降低,销量是第二周销量的3倍.此时获利比第二周增加了求t的值.2.(2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末)某百货超市经销甲、乙两种服装,甲种服装每件进价120元,售价150元;乙种服装每件进价200元,售价320元.(1)若该百货超市同时购进甲、乙两种服装共40件,总进价用去6000元,购进甲种服装多少件?(2)在“双11购物节”当天,该百货超市实行“每满100元减30元”的优惠促销(比如:某顾客购物120元,他只需付款90元),张先生这天买了一件乙种服装.到了第二天,百货超市又推出:先打折,再参与“每满100元减30元”的让利活动,他发现一件乙种服装打折后的价钱在200元到299元之间此时购买反而要多付7.6元.在该百货超市第二天推出的让利活动下,购买一件甲种服装需要多少元?3.(2023·全国·七年级假期作业)某水果店第一次购进西瓜千克,由于天气炎热,很快卖完.该店马上又购进千克西瓜,进货价比第一次每千克少元,两次进货共花费元.(1)这两次购进的西瓜进货价分别是每千克多少元?(2)在销售过程中,两次进的西瓜售价相同.由于西瓜是易坏水果,第一次购进的西瓜有%的损耗,第二次购进的西瓜有%的损耗,该水果店售完这些西瓜共获利元,每千克西瓜的售价为多少元?4.(2023春·山东泰安·六年级校考开学考试)玉玲超市经销的甲、乙两种商品,甲种商品每件售价80元,利润率;乙种商品每件进价40元,售价60元.(1)每件甲种商品的进价为元;每件乙商品的利润率为.(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共500件,总进价为21000元,求购进甲种商品多少件?(3)“元旦”期间,该超市对乙商品进行如下优惠促销活动:打折前一次性购物总金额优惠措施少于或等于450元不优惠超过450元,但不超过600元按购物总金额打九折超过600元其中600元部分八五折优惠,超过600元的部分打三折优惠按上述优惠条件,若小华购买乙种商品实际付款564元,求小华在商场购买乙商品多少件?5.(2023秋·江苏盐城·七年级校考期末)根据疫情防控有关部署和上级教育行政部门既有安排,结合我市中小学幼儿园实际,为保护广大师生安全健康,市教育局经研究决定:2022年12月19日起,全市中小学本学期剩余时间全部进行线上教学.七年级某班家委会决定在网上统一购买一批防蓝光眼镜,网上某店铺的标价为90元/副,优惠活动如下:销售量单价不超过10副的部分每副立减14元超过10副但不超过20副的部分每副立减22元超过20副的部分每副立减30元(1)①若该班级家委会购买了2副这种防蓝光眼镜,花了___________元;②若该班级家委会购买了15副这种防蓝光眼镜,花了___________元;③若该班级家委会购买了副这种防蓝光眼镜,花了___________元;(用含x的代数式表示)(2)若该班级家委会购买的这种防蓝光眼镜均价为69.6元,求他们购买的数量.【类型三一元一次方程的应用--方案问题】例题:(2023春·河南周口·七年级校考期中)“太行分一脉,缥缈入云台”.某单位计划“五一”节组织员工到焦作云台山旅游,已知甲、乙两旅行社都提供去云台山的方案,都是每人400元.几经洽谈,甲旅行社表示给予每位旅客折优惠,乙旅行社表示能免去一位旅客的费用,其余9折.(1)若参加旅游的人数为x,则选择甲旅行社的费用为______元,选择乙旅行社的费用为______元(都用含x的式子表示).(2)若经过计算可知甲,乙两家旅行社的费用相同,则该单位有员工多少人?【变式训练】1.(2023秋·黑龙江绥化·七年级统考期末)张老师暑假带领学生去北京旅游,甲旅行社说:“如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优惠”;乙旅行社说:“包括校长在内全部按全票价的6折优惠”,若全票价为240元.(1)若学生有3人和5人,甲旅行社需费用多少元?乙旅行社呢?(2)学生数为多少时两个旅行社的收费相同?2.(2023秋·江苏·七年级专题练习)为庆祝元旦活动,某中学组织大合唱比赛,甲、乙两个班级共92人(其中甲班51人以上,不足55人)准备统一购买服装参加演出,下面是某服装厂给出的演出服装的价格表为:购买服装的套数1套至50套51套至90套91套及以上每套服装的价格50元40元30元(1)甲、乙两个班级共92人合起来统一购买服装共需付款____________元;(2)如果两个班级分别单独购买服装一共应付4080元,甲、乙两个班级各有多少学生准备参加演出?(3)如果甲班有8名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出,请你为两个班级设计一种最省钱的购买服装方案.3.(2023秋·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末)按照“双减”政策,为丰富课后托管服务内容,学校准备订购一批篮球和跳绳,经过市场调查后发现篮球每个定价70元,跳绳每条定价10元.某体育用品商店提供A、B两种优惠方案:A方案:买一个篮球送一条跳绳;B方案:篮球和跳绳都按定价的90%付款.已知要购买篮球50个,跳绳x条()(1)若按A方案购买,一共需付款_________元(用含x的代数式表示);若按B方案购买,一共需付款_________元(用含x的代数式表示).(2)购买跳绳条数为多少时,两种方案的收费相同?(3)当时,你能设计出一种最省钱的购买方案吗?请写出你的购买方案,并计算需付款多少元?4.(2023秋·浙江湖州·七年级统考期末)为了增强学生的身体素质,丰富学生的课余生活,我县各个学校都开展了各具特色的“阳光体育大课间活动”.七年级3班和4班的班长一起去体育用品商店,准备给每位同学购买一根跳绳.了解到该店跳绳的单价及优惠方案如下图所示.已知两个班共有学生79人,其中3班人数超过40人但不超过45人.(1)若3班有学生44人,以班级为单位每人购买一根跳绳,则两个班共付钱多少元?(2)若以班级为单位每人购买一根跳绳,两个班共付钱1340元.①问两个班级各有多少人?②两位班长通过讨论和计算,发现有一种购买方案最省钱.请你写出最省钱的购买方案,并通过计算说明理由.5.(2023春·山西长治·七年级统考阶段练习)综合与探究“双十一”即将来临,某超市规定消费不超过200元的按原价付款,对消费超过200元的顾客实行如下优惠:一次性购物优惠方案超过200元但不超过600元超过200元不超过600元的部分打八折超过600元每满300元减100元(1)小博妈妈一次性购物元,她实际付款_________元.(用含x的式子表示)(2)小西妈妈一次性购物元,小博妈妈一次性购物元,结账时小博妈妈比小西妈妈多付了336元,求x的值.(3)小博和妈妈一起在超市购买了如下标价的物品:一个电饭煲445元,五斤排骨(38元/斤),两提牛奶(75元/提),两板鸡蛋(35元/板),一提卷纸27元,一个文具袋6元.妈妈正准备一次性付款,小博说他有更省钱的方法.你知道他的方法吗,请问小博能为妈妈节省多少钱?【类型四一元一次方程的应用--配套问题】例题:(2023秋·江苏·七年级专题练习)工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母,该车间有工人44人,其中女生人数比男生人数的2倍少10人,每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个.(1)该车间有男生、女生各多少人?(2)已知一个螺丝与两个螺母配套,为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套,应该分配多少工人负责生产螺丝,多少工人负责生产螺母?【变式训练】1.(2023春·福建福州·七年级校考开学考试)某机械厂加工车间有34名工人,平均每名工人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个.已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套,则安排名工人加工大齿轮,才能刚好配套.2.(2023秋·全国·七年级课堂例题)服装厂计划生产一批某种型号的学生服装,已知每米长的某种布料可做件上衣或条裤子,一件上衣和一条裤子为一套,现仓库内存有这样的布料米,若全部用来做这种型号的学生服装,应分别用多少布料做上衣和裤子,才能恰好配套?3.(2023秋·全国·七年级课堂例题)一张方桌是由一个桌面和四条桌腿组成的,如果1立方米木料可制作方桌的桌面50个,或制作桌腿300条,现在要用5立方米木料制作方桌,请你设计一下,用多少木料制作桌面,用多少木料制作桌腿,恰好配成方桌多少张?4.(2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习)某车间共有90名工人.每名工人平均每天可加工甲种部件15个或乙种部件8个,应安排加工甲、乙两种部件各多少名工人,才能使每天加工后每3个甲种部件与2个乙种部件恰好配套?5.(2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中)某车间有22名工人生产螺钉和螺母,每人每天平均生产螺钉12个或螺母20个,一个螺钉要配两个螺母,要求使每天生产的产品刚好配套.(1)如果车间主任安排8人生产螺钉,其它人生产螺母,请你计算这样的安排是否符合要求?(2)如果你是车间主任,请你用列方程的办法计算出分配多少名工人生产螺钉,多少名工人生产螺母才能符合要求?6.(2021秋·江西九江·七年级校考期中)在手工制作课上,老师组织班上学生用硬纸制作圆柱形茶叶桶.这个班共有学生50人,其中男生比女生少2人,并且每名学生每小时剪筒身40个或筒底120个.(1)这个班有男生、女生各多少人?(2)茶叶筒要求一个筒身配两个筒底,那么应分配多少人去剪筒身,多少人去剪筒底?【类型五一元一次方程的应用--电费和水费问题】例题:(2023秋·安徽六安·七年级阶段练习)电信公司推出两种移动电话计费方法:方法:免收月租费,按每分钟0.5元收通话费;方法:每月收取月租费30元,再按每分钟0.2元收通话费.现在设通话时间是分钟.(1)请分别用含的代数式表示计费方法、的通话费用.(2)用计费方法的用户一个月累计通话150分钟所需的话费,若改用计费方法,则可通话多少分钟?(3)当通话多少分钟时,两种计费方法产生的费用相差15元?【变式训练】1.(2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测)南京市自来水公司为限制单位用水,每月只给某单位计划内用水吨,计划内用水每吨收费元,超计划部分每吨按元收费.(1)用代数式表示(所填结果需化简):设用水量为吨,当用水量小于等于吨,需付款____元;当用水量大于吨,需付款_____元;(2)某月该单位用水吨,水费是____元;若用水吨,水费____元;(3)若某月该单位缴纳水费元,则该单位用水多少吨?2.(2023秋·湖南益阳·七年级统考期末)为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的,价目表如下图.价目表每月用水量单价不超过的部分3元超过不超过的部分4元超过的部分6元注:水费按月结算(1)若某户居民1月份用水,则水费为_________元.(2)若某户居民某月用水,请用含x的代数式表示水费.(3)若某户居民3,4月份共用水,且4月份用水量超过,3月份用水量超过,共交水费94元,则该户居民3、4月份各用水多少m³?3.(2023秋·河南信阳·七年级统考期末)某市对居民生活用电实行“阶梯电价”收费,具体收费标准如下表:已知2022年10月份该市居民老李家用电200度,交电费120元,2022年9月份老李家交电费157元.一户居民一个月的用电量电价(元/度)不超过240度的部分a超过240度的部分但不超过400度的部分超过400度的部分(1)求表中a的值;(2)求老李家9月份的用电量;(3)若老李家2022年8月份用电的平均电价为元/度,求老李家2022年8月份的用电量.4.(2023春·重庆巴南·七年级重庆巴南育才中学校校考阶段练习)小明的爸爸是一名业务员,使用电话的频率很高,因此他在某电话营业厅选择了A种套餐,如下表(A、B两种套餐接听免费,拨打收费,以下通话时间全部为拨打时间):固定费用(元)免费拨打时间(分钟)超出免费时间后单价(元/分钟)A181500B384000(1)如果小明的爸爸10月份拨打电话2600分钟,求当月的电话费;(2)小明的爸爸在11月份便登记更换成B套餐,但营业厅告知下月才能生效,11月仍按套餐计费,第二年1月,小明的爸爸查询到去年11、12月话费共为176元,拨打时间一共为5200分钟。请问他11月和12月的话费各是多少?(3)若小明的爸爸没有按照(2)更换套餐,则11、12月话费一共将比实际多花多少钱?5.(2023秋·江苏徐州·七年级统考期末)为缓解用电高峰期的供电缺口,促进电力资源的优化配置,某地居民用电实施峰谷计费.峰时段为8:00-21:00;谷时段为21:00-次日8:00.下表为该地某户居民八月份的电费账单(部分信息缺失),设其中的峰时电量为x千瓦·时,根据所给信息,解决下列问题.户主***用电户号******家庭地址******2022年08月合计金额166元合计电量350千瓦·时抄送周期2022-06-01--2022-08-01备注:合计电量=峰时电量+谷时电量单价(元)计费数量(千瓦•时)金额(元)峰时电量0.56x②______谷时电量0.36①_____③______(1)填空(用含x的代数式表示):①________,②__________,③______;(2)由题意,可列方程为___________;(3)该账单中的峰时电量、谷时电量分别为多少千瓦时?【类型六一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】例题:(2023上·陕西宝鸡·七年级校考阶段练习)已知在数轴上有A,B两点,点A表示的数为,点B表示的数为6.若动点M从点A出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,同时动点N从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t秒.(1)当时,点M表示的数是____________,点N表示的数是____________;(2)当时,求t的值;(3)若点C为的中点,点D为的中点,当点M、N在线段上运动,且点M在点N的左侧时,试猜想与之间的数量关系,并说明理由.【变式训练】1.(2023上·江苏徐州·七年级校考阶段练习)如图,数轴上有,,三点,分别表示有理数,,,动点从点出发,以每秒个单位长度的速度向终点运动,设点的运动时间为秒.(1)用含的代数式表示点对应的数:________用含的代数式表示点和点之间的距离:________.(2)当点运动到点时,点从点出发,以每秒个单位长度的速度向点运动,点到达点后,再立即以同样的速度返回点探究点,同时运动的过程中是否相遇.若相遇,求相遇时的值.2.(2024上·辽宁沈阳·七年级统考期末)单项式的系数为,次数为,点,,在数轴上表示的数分别为,,,点在原点右边,且与点到原点的距离相等.(1)请直接写出,,的值:_____
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