浙教版九年级下册《2.3 三角形的内切圆》同步练习卷

浙教版九年级下册《2.3三角形的内切圆》2024年同步练习卷一、选择题1．正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为（）A．4R＝5r B．3R＝4r C．2R＝3r D．R＝2r2．如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F．已知∠B＝40°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（）A．50° B．55° C．65° D．70°3．如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图中标示的长度与角度，求AD的长度为何？（）A． B． C． D．4．如图，边长为2的等边△ABC的内切圆的半径为（）A．1 B． C．2 D．25．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝8，BC＝17，CA＝15，则阴影部分（即四边形CEOF）的面积是（）A．4 B．6.25 C．7.5 D．96．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，若AF，BE的长是方程x2﹣13+30＝0的两个根，且AF＞BE，则S△ABC为（）A．24 B．30 C．60 D．以上都不对7．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（）A．16 B．14 C．12 D．10二、填空题8．在△ABC中，∠A＝50°，若点O是△ABC的内心，则∠BOC＝．9．直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为．10．如图，已知等边三角形ABC的边长是6，⊙O是它的内切圆，则图中阴影部分的面积是．11．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝．12．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆的半径为．13．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90°，BO的延长线交AC于点D，若BC＝3，CD＝1，则⊙O的半径等于．14．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD．若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是．15．如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），则△ABC内心的坐标为．16．已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，则△ABC的内切圆半径＝．三、解答题17．作图题工人师傅要制作做铁桶，需要在如图中的三角形铁皮上截一个面积最大的圆形铁皮，请作出该圆．（尺规作图，不用说明做法，保留作图痕迹）18．如图，在△ABC中，已知AC＝2cm，△ABC的周长为8cm，K，F，N是△ABC与内切圆的切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长．19．已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若弧EF＝弧DE，如图．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）当AD＝8，BC＝10时，求⊙O的半径．20．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．（1）求证：E为BC的中点；（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．21．在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．（1）如图（1），若半径为r1的⊙O1是Rt△ABC的内切圆，求r1的值；（2）如图（2），若半径为r2的两个等圆⊙O1，⊙O2外切，且⊙O1与AC，AB相切，⊙O2与BC，AB相切，求r2的值．22．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△PAB的内心；（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．

参考答案与试题解析一、选择题1．【分析】正三角形的内心和外心重合，根据等腰三角形的三线合一，则正三角形的外接圆半径和内切圆的半径可以放在30°的直角三角形中，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得R＝2r．【解答】解：正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为R＝2r．故选：D．2．【分析】根据三角形的内角和定理求出∠A，根据多边形的内角和定理求出∠EOF，根据圆周角定理求出∠EDF即可．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠A＝80°，∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，∴∠EOF＝360°﹣∠A﹣∠OEA﹣∠OFA＝100°，∴∠EDF＝∠EOF＝50°．故选：A．3．【分析】设AD＝x，利用切线长定理得到BD＝BE＝1，AB＝x+1，AC＝AD+CE＝x+4，然后根据勾股定理得到（x+1）2+52＝（x+4）2，最后解方程即可．【解答】解：设AD＝x，∵直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，∴BD＝BE＝1，∴AB＝x+1，AC＝AD+CE＝x+4，在Rt△ABC中，（x+1）2+52＝（x+4）2，解得x＝，即AD的长度为．故选：D．4．【分析】连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB＝60°，CH⊥AB，则∠OAH＝30°，AH＝BH＝AB＝，然后利用正切的定义计算出OH即可．【解答】解：设△ABC的内心为O，连接AO、CO的延长线交AB于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，CH⊥AB，∴∠OAH＝30°，AH＝BH＝AB＝，在Rt△AOH中，∵tan∠OAH＝＝tan30°，∴OH＝×＝1，即△ABC内切圆的半径为1．故选：A．5．【分析】利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，∠A＝90°，再利用切线的性质得到OF⊥AB，OE⊥AC，所以四边形OFAE为正方形，设OE＝AE＝AF＝r，利用切线长定理得到BD＝BF＝8﹣r，CD＝CE＝15﹣r，所以8﹣r+15﹣r＝17，然后求出r后可计算出阴影部分（即四边形AEOF）的面积．【解答】解：∵AB＝8，BC＝17，CA＝15，∴AB2+CA2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵AB、AC与⊙O分别相切于点F、E，∴OF⊥AB，OE⊥AC，∴四边形OFAE为正方形，设OE＝r，则AE＝AF＝r，∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∴BD＝BF＝8﹣r，CD＝CE＝15﹣r，∴8﹣r+15﹣r＝17，∴r＝3，∴阴影部分（即四边形AEOF）的面积是3×3＝9．故选：D．6．【分析】求△ABC的面积，关键是求出两条直角边的长；由已知的方程可求出AF、BE的长，结合切线长定理和勾股定理，可求得CE、CF的长，进而可求出AC、BC的长；根据直角三角形的面积公式即可求出其面积．【解答】解：解方程x2﹣13x+30＝0，得：x1＝10，x2＝3，∴AD＝AF＝10，BD＝BE＝3，设CE＝CF＝x，则AC＝10+x，BC＝3+x；由勾股定理，得：AB2＝AC2+BC2，∴132＝（10+x）2+（3+x）2，解得：x＝2（负值舍去），∴AC＝12，BC＝5，∴S△ABC＝AC•BC＝×5×12＝30．故选：B．7．【分析】根据切线长定理得到AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，根据BC＝5，于是得到△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，∵BE+CE＝BC＝5，∴BD+CF＝BC＝5，∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，故选：B．二、填空题8．【分析】利用三角形的内心的性质得出∠ABO+∠ACO＝∠OBC+∠OCB＝65°，进而得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠BCA＝130°．∵O是△ABC的内心，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB．∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠BCA）＝65°．∴∠BOC＝180°﹣65°＝115°．9．【分析】先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为（其中a、b为直角边，c为斜边）求解．【解答】解：直角三角形的斜边＝＝13，所以它的内切圆半径＝＝2．故答案为2．10．【分析】记AB与圆O的切点为D，连接OD，依据等边三角形的内心的性质可求得∠DAO＝30°，∠ADO＝90°，AD＝BD＝3，从而可求得OD的长，然后求得△ABO与扇形EOF的面积，最后依据阴影部分的面积＝△ABO的面积﹣扇形EOF的面积求解即可．【解答】解：记AB与圆O的切点为D，连接OD．∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB．∴∠ADO＝90°．∵△ABC为等边三角形，⊙O是它的内切圆，∴∠DAO＝∠BAC＝30°，AO＝OB．∵AO＝OB，OD⊥AB，∴AD＝BD＝3．在Rt△ADO中，DO＝AD＝．∴S△ABO＝×6×＝3，S扇形EOF＝πr2＝π×3＝π．∴阴影部分的面积＝3﹣π．故答案为：3﹣π．11．【分析】设⊙O切AC于点E，切BC于F，切AB于G，连接OE，OF，由切线的性质易证四边形CEOF为正方形，得到CE＝CF＝r，由切线长定理得AE＝AG＝6﹣r，BF＝BG＝8﹣r，利用6﹣r+8﹣r＝10可求出r．【解答】解：如图，⊙O切AC于点E，切BC于F，切AB于G，连接OE，OF，∴OE⊥AC，OF⊥BC，∴正方形CEOF为正方形，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，设⊙O的半径为r，则CE＝CF＝r，∴AE＝AG＝6﹣r，BF＝BG＝8﹣r，∴AB＝AG+BG＝AE+BF，即6﹣r+8﹣r＝10，解得：r＝2．故答案为：2．12．【分析】首先求出AB的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示AF和BF，而它们的和等于AB，得到关于r的方程，即可求出．【解答】解：如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF，则OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，设半径为r，CD＝r，∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，∴AB＝5，∴BE＝BF＝4﹣r，AF＝AD＝3﹣r，∴4﹣r+3﹣r＝5，∴r＝1．∴△ABC的内切圆的半径为1．故答案为：1．13．【分析】假设半径为r过点O作OE⊥BC，垂足为E．再根据△BCD∽△BOE，然后对应边成比例，解出r即可．【解答】解：设半径为r过点O作OE⊥BC，垂足为E，∵OE∥AC，∴△BCD∽△BEO，由题意可得出：OE＝EC＝r，∴＝即＝，解得：r＝0.75．故答案为：0.75．14．【分析】先根据三角形内心的性质和切线的性质得到OB平分∠ABC，OD⊥BC，则∠OBD＝∠ABC＝20°，然后利用互余计算∠BOD的度数．【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，∴OB平分∠ABC，OD⊥BC，∴∠OBD＝∠ABC＝×40°＝20°，∴∠BOD＝90°﹣∠OBD＝70°．故答案为70°．15．【分析】根据点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），建立直角坐标系，根据等腰三角形三线合一，利用网格确定△ABC内心的坐标即可．【解答】解：如图，点I即为△ABC的内心．所以△ABC内心I的坐标为（2，3）．故答案为：（2，3）．16．【分析】由非负性可求a，b，c的值，由勾股定理的逆定理可证△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，由面积法可求△ABC的内切圆半径．【解答】解：∵b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，∴|c﹣3|+（a﹣4）2+（）2＝0，∴c＝3，a＝4，b＝5，∵32+42＝25＝52，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，设内切圆的半径为r，根据题意，得S△ABC＝×3×4＝×3×r+×4×r+×r×5，∴r＝1，故答案为：1．三、解答题17．【分析】可作出任意两个内角的平分线，交点即为所求的圆心，交点到任意边的距离为半径画圆即可．【解答】解：如图所示：18．【分析】因为AB，AC，BC，DM都是圆的切线，由得，DK＝DM，EM＝EN，AK＝AF，CF＝CN，EM＝EN，此定理可以证明，以DK＝DM为例，连接OD，因为角OKD＝OMD＝90，OD＝OD，OM＝OK，所以三角形OKD全等于OMD，所以DK＝AD，再由已知条件即可求出DE的长．【解答】解：因为AB，AC，BC，DM都是圆的切线，由得，DK＝DM，EM＝EN，AK＝AF，CF＝CN，EM＝EN三角形ABC的周长＝AB+BC+AC＝BK+AK+AF+CF+CN+BN＝8，又因为，AC＝AF+CF＝AK+CN＝2，代入上式，得BK+BN＝4，三角形BDE周长＝BD+DE+BE＝BD+DM+EM+BE，又因为，DK＝DM，EM＝EN，所以，三角形BDE周长＝BD+DK+BE+EN＝BK+BN＝4，因为，DE∥AC，所以△BDE∽△BAC，所以AC：DE＝三角形ABC周长：三角形DBE周长＝8：4＝2，所以DE＝1．19．【分析】（1）根据切线的性质得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，则∠B+∠DOE＝90°，∠C+∠EOF＝90°，再根据圆心角、弧的关系得到∠DOE＝∠EOF，所以∠B＝∠C，然后根据等腰三角形的判定定理判断△ABC为等腰三角形；（2）连接OA，如图，利用切线长定理得到OA平分∠BAC，再利用等腰三角形的性质可判断点A、O、E共线，利用BD＝BE＝5得到AB＝13，利用勾股定理计算出AE＝12，设⊙O的半径为r，则OA＝12﹣r，在Rt△OAD中利用勾股定理得到r2+82＝（12﹣r）2，然后解方程求出r即可．【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形．理由如下：∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∴∠ODB＝∠OEB＝90°，∴∠B+∠DOE＝90°，同理可得∠C+∠EOF＝90°，∵＝，∴∠DOE＝∠EOF，∴∠B＝∠C，∴△ABC为等腰三角形；（2）连接OA，如图，∵AD、AF为切线，∴OA平分∠BAC，∵△ABC为等腰三角形，∴OA⊥BC，∴点A、O、E共线，∴BE＝CE＝5，∵BD＝BE＝5，∴AB＝AD+BD＝13，在Rt△ABE中，AE＝＝12，设⊙O的半径为r，则OA＝12﹣r，在Rt△OAD中，r2+82＝（12﹣r）2，解得r＝，即⊙O的半径为．20．【分析】（1）证明∠EDB＝∠EBD，∠BDC＝90°，E为直角三角形BDC的中线，即可求解；（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，确定AD：BM＝，即HM：BH＝，得∠BMH＝30°＝∠BAC，即可求解．【解答】解：（1）连接BD、OE，∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠ADO+∠ODB，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，即BC是圆的切线，∴ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD，∵∠C+∠EBD＝90°，∠CDE+∠EDB＝90°∴∠C＝∠EDC，∴ED＝EC，∴EC＝EB，∴E为BC的中点；（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，∴AD：BM＝，而△ADH∽△MBH，∴DH：BH＝，则DH＝HM，∴HM：BH＝，∴∠BMH＝30°＝∠BAC，∴∠C＝60°，DE是直角三角形的中线，∴DE＝CE，∴△DEC为等边三角形，⊙O的面积：12π＝（AB）2π，则AB＝4，∠CAB＝30°，∴BD＝2，BC＝4，AC＝8，而OE＝AC＝4，四边形OBED的外接圆面积S2＝π（2）2＝4π，等边三角形△DEC边长为2，则其内切圆的半径为：，面积为，故△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比为：．21．【分析】（1）根据切线的性质以及正方形的判定得出四边形CEO1F是正方形，进而得出CE＝CF＝r1，再利用切线长定理求出即可；（2）在Rt△AO1G中，根据r1＝2，AG＝6﹣r1＝4，求出tan∠O1AG的值，可得tan∠O1AD＝，同理可得：tan∠O2BE＝，进而得出AD＝2r2，DE＝2r2，BE＝3r2，即可求出r2．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，（1）在图（1）中，∵⊙O1是Rt△ABC的内切圆，设与三边分别相切于点E、F、G，连接O1E，O1F，O1A，∴O1F⊥BC，O1E⊥AC，∠ACB＝90°，∴四边形CEO1F是矩形，∵EO1＝O1F，∴四边形CEO1F是正方形，CE＝CF＝r1．∵AG＝AE＝6﹣r1，BG＝BF＝8﹣r1，而AG+BG＝AB＝10，∴（6﹣r1）+（8﹣r1）＝10，∴r1＝2；（2）如图（1）连接O1G，在Rt△AO1G中，∵r1＝2，AG＝6﹣r1＝4，tan∠O1AG＝＝＝；如图（