四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2024-2025学年高一上学期入学考试数学试题（解析）

成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2024-2025学年新高一数学入学测试测试时间：120分钟满分：150分一，单项选择题.（每题5分，共40分）1.在平面直角坐标系中，两条直线（）时候垂直？A.斜率之积为-1时B.两条直线有1个公共点的时候C.两条直线分别与坐标轴垂直的时候D.以上答案均不正确【答案】A【解析】【分析】由两直线垂直的定义逐个判断即可.【详解】对于A：斜率之积为-1时，两直线垂直，正确对于B：两条直线有1个公共点的时候，可能相交但不垂直，错误对于C：两条直线分别与坐标轴垂直的时候，如果是同一坐标轴，那么平行，错误对于D：错误故选：A2.关于数的分类，以下说法正确的是（）A.无理数相加不可能是有理数B.是无限不循环小数C.0不属于自然数集D.若抛物线的系数均不是整数，那它的对称轴，也不是整数【答案】B【解析】【分析】由，可判断A；是无限不循环小数可判断B；0属于自然数集可判断C；由，求得对称轴判断D.【详解】对于A：由，故两个无理数的和可能是有理数，故A错误；对于B：是无限不循环小数，故B正确；对于C：0属于自然数集，故C错误；对于D：抛物线的对称轴为，当时，对称轴为，故D错误.故选：B.3.下面说法正确的是（）A.两个不同的点确定一条直线，三个不同的点确定一条曲线B.如果只知道抛物线的一个点，那么在某些情况也是可以确定它的解析式的C.函数的对称轴只有一条D.反比例函数上的三个不同的点可能在某些情况是共线的【答案】B【解析】【分析】举例说明三个不同的点不能确定一条曲线，判断A，举例说明在特殊条件下，已知抛物线上的一个点，可以求其解析式，判断B，取，函数没有对称轴，判断C；设反比例函数上存在三个点共线，联立反比例函数的解析式与直线方程，化简推出矛盾，判断D.【详解】因为点都在抛物线上，点也都在反比例函数的图象上，所以三个不同的点不能确定一条曲线，A错误；若抛物线的解析式为，且抛物线过点，则，此时抛物线的解析式为，故如果只知道抛物线的一个点，那么在某些情况也是可以确定它的解析式的，B正确；当，函数的解析式可化为，该函数的图象没有对称轴，C错误；设反比例函数的解析式为，设函数的图象上存在三个不同的点共线，则该直线方程不可能为，设其解析式为，联立，化简可得，因为方程至多只有个解，所以方程组至多只有组解，矛盾，D错误故选：B.4.下面说法正确的是（）A.借助两点间距离公式，可以知道甲地到乙地的路程B.两点间距离公式是通过勾股定理推导出来的C.满足这样轨迹方程的一定是圆，因为圆的有一个定义是，点到定点距离为定值的轨迹，再根据两点间距离公式，将这个转换为数学语言，就是D.以上选项均不正确【答案】D【解析】【分析】根据两点间的距离公式、圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，两点间的距离是两点间的直线距离，甲乙两地的道路不一定是直线，所以A选项错误.B选项，两点间距离公式可以通过勾股定理来推导，也可以通过向量法、解析几何法、坐标变换法、微积分等方法来进行推导，所以B选项错误.C选项，当时，满足的点，即点，所以C选项错误.故选：D5.老师们常常给我们说，“努力学习不一定有好结果，但是不努力学习一定没有好结果”，对于这句话，正确的理解是（）A任何时候不管努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果B.不努力学习也可能有好结果C.努力学习一定有好结果D.如果没有取得好结果，那么一定没有努力【答案】A【解析】【分析】根据给定的语句的正确性，逐一分析各个选项即可.【详解】对于A，由给定的语句知，努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果，A正确.对于B，由给定的语句知，不努力学习一定没有好结果，B错误；对于C，由给定的语句知，努力学习不一定有好结果，C错误；对于D，命题“如果没有取得好结果，那么一定没有努力”，等价于：如果努力，就能取得好结果，D错误.故选：A6.抛物线与圆相交形成交点（）A.横坐标相加之和为0B.可能有3个C.将交点连接后，其形状可能是等腰梯形或一条直线D.以上说法均不正确【答案】B【解析】【分析】由抛物线与圆有三个交点可判断每个选项的正确性.【详解】若抛物线方程为，圆的方程为，联立方程组解得或，当时，，当时，或，故此时抛物线与圆有三个交点，故B正确；故横坐标之和不为0，故A错误；连接交点可得一个三角形，故C错误.故选：B.7.请结合计算和画图，判断（）A.1 B.2 C.3 D.无法确定【答案】A【解析】【分析】作出直角三角形，利用锐角三角函数的定义计算判断即可.【详解】在中，令锐角的对边为，邻边为，斜边为，则，，所以.故选：A8.已知，则直线恒过定点（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得，可得定点坐标.【详解】因为，所以，由，可得，所以，当时，所以对为任意实数均成立,故直线过定点.故选：A.二.不定项选择题.（每题6分，共18分）9.当二次函数自变量有范围限制的时候，会出现（）情况A.若限制范围包含顶点，那么最小值或最大值是不变的B.若限制范围不包含顶点，那么一定存在最小值或者最大值C.若限制范围不包含顶点，那么一定存在最小值和最大值D.若限制范围为确定的值，而不是一个区间，那么它的最小值和最大值相等【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，结合二次函数图象性质逐项判断即得.【详解】对于A，限制范围包含顶点，若二次函数图象开口向上，则顶点的纵坐标值为二次函数最小值；若二次函数图象开口向下，则顶点的纵坐标值为二次函数最大值，因此最小值或最大值不变，A正确；对于BC，限制范围不包含顶点，当限制范围的端点值不能被取到时，该函数可能没有最小值和最大值，BC错误；对于D，限制范围为确定的值，而不是一个区间，该函数只有一个函数值，其最小值和最大值相等，D正确.故选：AD10.下面图形是矩形的是（）A.长方形 B.正方形C菱形 D.直角梯形【答案】AB【解析】【分析】由矩形的定义可得结论.【详解】由矩形的定义可得是矩形的有长方形，正方形.故选：AB.11.一个直角三角形，直角边分别是，那么下面说法正确的是（）A.斜边长度为B.斜边长度最小值是2C.将其绕其直角顶点旋转一周，那么其斜边上任何一个点（包含端点）的运动轨迹都是圆D.这个直角三角形可能是等腰直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，结合直角三角形的性质逐项判断即可.【详解】对于A，由直角三角形勾股定理得斜边长度为，A正确；对于B，，当且仅当，即取等号，B错误；对于C，直角三角形斜边上一点与直角顶点为端点的线段，绕直角顶点旋转一周，另一端点的轨迹是圆，C正确；对于D，当时，该直角三角形是等腰直角三角形，D正确.故选：ACD三.填空题：（每题5分，共15分）12.若集合A有3个元素，集合B有4个元素，那么集合A和集合B的交集可能有_________个元素.【答案】0或1或2或3【解析】【分析】利用集合公共元素个数即可得解.【详解】集合A有3个元素，集合B有4个元素，则集合的公共元素个数最多为3个，所以集合A和集合B的交集可能有0或1或2或3.故答案为：0或1或2或313.已知一元二次方程的两根分别为，那么_________.【答案】【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系求解即可.【详解】因为一元二次方程的两根分别为，所以.故答案为：.14.函数（为确定的实数）的因变量取值范围是__________.【答案】当时，因变量的取值范围是；当时，因变量的取值范围是；当时，因变量的取值范围是.【解析】【分析】对进行分类讨论，根据一次函数、二次函数的知识求得正确答案.【详解】当时，，则；当时，二次函数，则顶点的纵坐标为，所以，当时，因变量的取值范围是；当时，因变量的取值范围是.故答案为：当时，因变量的取值范围是R；当时，因变量的取值范围是；当时，因变量的取值范围是.四．解答题：（15题13分，16题～17题每题15分，18～19题每题17分，共77分）15.已知，请作出，，的图象，并说说你是怎么作出的.【答案】作图见解析.【解析】【分析】利用函数利用变换法作出图象，并叙述作图过程.【详解】当时，，此时的图象为函数图象在轴及右侧图象，当时，，此时的图象为函数在轴右侧图象关于轴对称而得，函数的图象，如图，当时，，此时的图象为函数图象在轴及上方图象，当时，，此时的图象为函数在轴下方图象关于对称而得，函数的图象，如图：函数的图象是将函数图象向右平移1个单位而得，如图.16.请利用种方法证明勾股定理.并说出一例勾股定理在生活中的运用.【答案】证明见解析，举例见解析.【解析】【分析】方法一：过作，垂足为，证明，由此可得，同理可得，由此证明结论；方法二：以为边作正方形，过点作垂足为，过点作，垂足为，延长，交于点，证明，再证明四边形为正方形，结合面积关系证明结论；方法三：以点为圆心，为半径作圆，分别交和的延长线于点，证明为圆的切线，结合切割线定理证明结论.再举例说明勾股定理在生活中的应用.【详解】如图，在直角三角形中，，求证：.方法一：过作，垂足为，则，，故，又，所以，所以，即，同理：，所以，所以.方法二：如图，以为边作正方形，过点作垂足为，过点作，垂足为，延长，交于点，由已知，，所以，故，因为，,所以，又，，所以,同理可证，，所以，，所以，又，所以四边形为正方形，设正方形的面积为，正方形的面积为，的面积为，则，所以，所以.方法三：以点为圆心，为半径作圆，分别交和的延长线于点，则，因为，点在圆上，所以为圆的切线，所以，所以.家装时，工人为了判断一个墙角是否标准直角，可以分别在墙角向两个墙面量出，并标记在一个点，然后量这两点间距离是否是，如果超出一定误差，则说明墙角不是直角.17.请讨论方程解的个数.【答案】答案见解析【解析】【分析】根据的不同取值分类讨论，结合一元二次方程性质判断解的个数，即可得到答案.【详解】当，即或时，方程为一元一次方程，有一个解；当，即且时，方程为一元二次方程，，令，即，解得，所以当时，，方程有一个解，当时，，方程无解，当且或且时，，方程有两个解，综上，当或或时，方程有1个解，当时，方程无解，当当且或且时，方程有两个解.18.已知抛物线C的顶点在原点，开口向上，且经过点.（1）求它向左平移3个单位，向上平移1个单位后的解析式；（2）当m，n是方程的两根的时候，求抛物线C的解析式；（3）求经过的切线方程，并说明这样的切线有几条.【答案】（1）；（2）或；（3），1条.【解析】【分析】（1）求出抛物线的解析式，利用平移变换求出解析式.（2）求出，再分类求出解析式.（3）求出过点的切线方程，再与抛物线方程联立即可求解即得.【小问1详解】依题意，设抛物线的解析式为，则，解得，因此抛物线的解析式为，将抛物线向左平移3个单位，向上平移1个单位后的解析式为.【小问2详解】解方程，得，当时，抛物线对应的解析式为，当时，抛物线对应的解析式为，所以抛物线的解析式为或.小问3详解】设过点的切线方程为，则，解得，即切线方程为，由消去得，，解得，所以经过的抛物线切线方程为，这样的切线方程只有一条.19.在初中的时候，我们知道三角形是有稳定性的，那为什么它有稳定性，而平行四边形没有稳定性呢？GGbond数学研究小组对这个问题进行了探究，上网查阅了资料，了解了一个公式，已知三角形三边长度为a，b，c，三个角为A，B，C，那么，请你结合这个公式，来思考这个问题，并回答：（1）请利用这个公式说明边长为3，3，7的三角形是不存在的；（2）证明这个公式；（3）若一个平行四边形四边长为1，1，2，2，请说明这样的平行四边形有几个，请直接写出你的答案；（4）请利用这个公式，阐述为什么三角形有稳定性，而平行四边形没有稳定性.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）无数个；（4）见解析.【解析】【分析】（1）由题意求出，即可判断；（2）以为坐标原点，边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，由两点间的距离公式即可证明.（3）如图，设，由题意可得，当长度变化时，也会变化，所以说明这样的平行四边形有无数个.（4）三角形的三边长是固定的，由题意可知三个角的余弦值也是固定的，所以三角形有稳