山东省齐鲁名师联盟2025届高三上学期第一次诊断考试数学试题

齐鲁名师联盟2025届高三年级第一次诊断考试数 学本试卷共4页，19题。满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本次考试范围：集合与常用逻辑用语；一元二次方程、函数和不等式；函数与导数；计数原理与概率统计。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，，，则A． B． C． D．2．函数在区间上的最大值是A． B． C．16 D．93．若正数x，y满足，则的最小值为A．2 B． C．3 D．4．从数字1，2，3中随机取一个数字，取到的数字为n（，2，3），再从数字1，，n中随取一个数字，则第二次取到数字2的概率为A． B． C． D．5．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为A．48 B．32 C．24 D．166．令，则当时，a除以15所得余数为A．4 B．1 C．2 D．07．不等式恒成立，则实数a的最大值为A． B． C．1 D．28．已知函数（a，）没有极值点，则的最大值为A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是A．四位回文数有45个 B．四位回文数有90个C．2n（）位回文数有个 D．（）位回文数有个10．已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是A．若，且，，则B．若，且，，则C．若，，则D．若，，，则11．已知函数（a，b，），是的导函数，则A．“”是“为奇函数”的充要条件B．“”是“为增函数”的充要条件C．若不等式的解集为，则的极小值为D．若，，是方程的两个不同的根，且，则或三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为．13．已知函数（其中且），若存在，使得，则实数a的取值范围是．14．切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5～1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量X，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量X，为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数n的值至少为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）设函数，其中.（1）若命题“，”为假命题，求实数t的取值范围；（2）若函数在区间内恒成立，求实数t的取值范围.16．（15分）已知函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.17．（15分）某校举行篮球比赛，规则如下：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和p，且每人进球与否互不影响.（1）若，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率；（2）若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？18．（17分）已知函数（）．（1）在定义域内单调递减，求a的范围；（2）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（3）若函数在处取得极值，，恒成立，求实数b的取值范围．19．（17分）在信息理论中，X和Y是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，2，…，n，．定义随机变量X的信息量，X和Y的“距离”．（1）若，求；（2）已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为p（），由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为q，发出信号1接收台收到信号为1的概率为q（）．（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用p，q表示结果）（ⅱ）记随机变量X和Y分别为发出信号和收到信号，证明：．

2025届高三一诊数学参考答案1234567891011CCBACDBBBDBCDACD12．13．14．125015．（13分）（1）解：因为函数，由命题“，”为假命题，即命题“，”为真命题，根据二次函数的性质，可得，解得或，所以实数t的取值范围为.（2）解：由函数，可得，因为函数在区间内恒成立，即在区间内恒成立，又因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，所以，解得，所以实数t的取值范围为.16．（15分）（1），该函数的定义域为，则，列表如下：x12＋0－0＋增极大值减极小值增增所以，函数的增区间为和，减区间为，函数的极大值为，极小值为.（2）当时，由可得，令，其中，则，由可得，由可得，所以，函数的增区间为，减区间为，所以，，所以，，故实数a的取值范围是.17．（15分）（1）设事件表示甲在一轮比赛中投进i个球，表示乙在一轮比赛中投进i（，1，2，3）个球，则，，，；，，，.则乙在一轮比赛中获得一个积分的概率为：．（2），.设事件C表示乙每场比赛至少要超甲2个球，则；设随机变量X表示n轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，显然，故，要满足题意，则，即，又，故，令，，则在恒成立，故在上单调递增，又的最大值为，则的最大值为，的最小值为，而故理论上至少要进行12轮比赛.18．（17分）（1）函数定义域为，，因为在定义域内单调递减，则在上恒成立，可得，函数在单调递减，a的取值范围为；（2）当时，在定义域内单调递减，∴在上没有极值点；当时，得，得，∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．（3）∵函数在处取得极值，，∴，∴，令，，，则，可得在上递减，在上递增，∴，即．19．（17分）（1）