江苏省常州市溧阳中学2025届高二上学期期初考试 数学试卷

江苏省溧阳中学2025届高二（上）期初考试数学学科注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．请将试卷答案做在答卷纸上的指定位置,在其它位置作答一律无效．一．单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集则()A. B. C. D.2．某组数据、、、、、、、、、的第百分位数为（

）A． B． C． D．3．已知，则的大小关系()A. B.C.D.4．已知是空间两条不重合的直线,是空间两个不同的平面,下列说法正确的是（）A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则5．已知向量，，若，则（）A. B. C. D.36．一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（）A. B. C. D.7．设为两个随机事件，以下命题正确的为（）A.若是对立事件，则B.若是互斥事件，，则C.若，且，则是独立事件D.若是独立事件，，则8.已知定义在上的函数的图象连续不断，有下列四个命题：甲：是奇函数；乙：的图象关于直线对称；丙：在区间上单调递减；丁：函数的周期为2.如果只有一个假命题，则该命题是（）A甲 B.乙 C.丙 D.丁二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知复数，其中为虚数单位，则（）A.的虚部为 B.C.在复平面内对应的点在第四象限 D.是关于的方程的一个根10．已知平面向量，，则下列说法正确的是（）A. B.C.向量与的夹角为 D.向量在上的投影向量为11.已知,且,则()A．B．C． D．12．如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（

）A．平面平面B．平面C．异面直线与所成角的取值范围是D．三棱锥的体积不变三．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．某校共有学生1600人，其中高一年级400人．为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从中抽取容量为80的样本，则应抽取高一学生人．14．中，角所对的边分别为，已知，，，则角大小为______．15．端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来天目湖旅游，若甲、乙2人中至少有1人来天目湖旅游的概率是，丙来天目湖旅游的概率是，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内甲，乙，丙3人中至少有1人来天目湖旅游的概率为________．16．在正四棱柱中，己知，，则点到平面的距离为______；以A为球心，2为半径的球面与该棱柱表面的交线的总长度为______．四．解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）设全集，，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．18．（本小题满分12分）已知，.（1）求值；（2）若，求的值.19．（本小题满分12分）某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图：（1）估计两组测试的平均成绩；（2）若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率．20．（本小题满分12分）如图，三条直线型公路，，在点处交汇，其中与、与的夹角都为，在公路上取一点，且km，过铺设一直线型的管道，其中点在上，点在上（，足够长），设km，km．（1）求出的关系式；（2）试确定的位置，使得公路段与段的长度之和最小．OOCBAl1l3l221．（本小题满分12分）如图，在长方体中，，点是的中点.（1）证明：；（2）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求，若不存在，说明理由；（3）求二面角的正切值.22．（本小题满分12分）已知函数与，其中是偶函数.（1）求实数的值；（2）求函数的定义域；（3）若函数只有一个零点，求实数的取值范围. 江苏省溧阳中学2025届高二（上）期初考试数学学科2023、9一、单选：BCDD,CACD二、多选：BD,BD,ACD,ABD三、填空题13、2014.15、16.，17.（1）（2）或18【详解】（1）因为，所以，所以；（2）由（1）得，所以.19.（1）由田径队的频率分布直方图得：，解得，同理可得．其中“田径队”的平均成绩为：，“足球队”的平均成绩为：.答：“足球队”的平均成绩为71分。（2）“田径队”中90分以上的有（人），“足球队”中90分以上有（人）．所以抽取的比例为，在“田径队”抽取（人），记作a，b，c，d；在“足球队”抽取（人）．记作A，B，C．从中任选2人包含的基本事件有：ab，ac，ad，aA，aB，aC；bc，bd，bA，bB，bc；cd，cA，cB，cC；dA，dB，dC；AB，AC；BC，共21个，正、副队长都来自“田径队”包含的基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6个，答：正、副队长都来自“田径队”的概率为．20．（1）（法一）由图形可知．，，所以，即．…………6分（2）（），当且仅当（km）时取等号．答：当时，公路段与段的总长度最小为8．……12分21（1）如图所示：连接交于点O，则O为的中点，由题意可知，四边形是正方形，∴.∵平面，平面，∴.又∵平面，平面，，∴平面，又平面，∴，即.（2）存在一点满足时，使得平面，当点满足，即为的中点，取的中点，连接，在中，为中点，∴，∵在长方体中，是的中点，∴且，∴且，∴四边形为，∴，又平面，平面，∴平面.（3）22【详解】（1）∵是偶函数，∴，∴，∴，∴，即对一切恒成立，∴；（2）要使函数有意义，需，当时，，解得，当时，，解得，综上可知，当时，的定义域为；当时，的定义域为；（3）∵只有一个零点，∴方程有且