2023年高考数学一轮复习点点练34抛物线含解析理

点点练34抛物线

一基础小题练透篇

1.已知点〃到点KO,1）的距离比它到直线7：y+2=0的距离小1,则点尸的轨迹方程

为（）

A."=一4比.彳2="

C.y=-4AD.y=4X

2.[2022•江西省南昌市摸底]设厂为抛物线GV=16y的焦点，直线/：尸一1,点

4为C上一点且|"1=5过点4作加L/于R则14Pl=（）

A.4B.3C.2D.1

3.已知抛物线/=8x的准线为/,点尸是抛物线上的动点，直线△的方程为2x—y+3

=0,过点尸分别作冏/J_A垂足为机PN工1\,垂足为M则|用训+|外〔的最小值为（）

4.已知抛物线/=16%过点J/（2,0）的直线交抛物线于43两点，尸为抛物线的焦点，

若。为坐标原点，则匹边形力加的面积是（）

A.20723.l（h/2C.5^/2D.婴

5.[2022•湖南省湘潭市一模]已知抛物线C：/=2夕少（夕>0）的焦点为F,点T在。上，

5

且|/71=5,若点〃的坐标为（0,1）,KMFLML则C的方程为（）

A.，=2）或"=8AB.，=/或"=8*

C."=2x或"=4疝./=彳或7=4才

6.已知直线人尸Hx—2）%>0）与抛物线G/=8x交于力，8两点，尸为抛物线。

的焦点，若办=2或则4的值是（）

A.|B.¥（;.2720.平

7.[2022•云南省昆明市检测]。为坐标原点，厂为抛物线G/=4x的焦点，P为C上

的一点，若I加1=3,则△〃⑺的面积为_______.

8.[2022•广东省深圳市月考]已知抛物线G”=2px的焦点为兄点4为抛物线C上

横坐标为3的点，过点4的直线交x轴的正半轴于点8,且△力即为正三角形,则p=.

二能力小题提升篇

1.[2022•广西柳州市摸底考试]已知厂是抛物线y=8x的焦点，直线1是抛物线的准

线，则尸到直线，的距离为()

A.2B.4C.6D.8

2.[2022•广西柳州联考]抛物线炉=2日(0>0)的焦点为凡准线为点尸为抛物线

上一点，为

锤Symb。「的I,垂足为力，若直线"'的斜率为一I阴=4,贝I］抛物线方程为()

A.y=4AB.y=4y/ix

C.y=8AD.y=8^3X

3.［2022•吉林省长春市质量监测］已知产是抛物线/=4x上的一动点，尸是抛物线的

焦点，点力(3,1),则|*|+|例的最小值为()

A.3B.245c.4D.4^2

4.［2022•江西省临川月考］已知抛物线G「=2/(A>0)的焦点为尸，0为坐标原点，

A,8为抛物线上两点，|他=|朋且|朋+|91=半，则直线4?的斜率不可能为()

A.-平B.乎C.柄「芈

22

5.2(022•安徽省滁州市摸底］抛物线V=2.仿>0)的焦点为厂，其准线与双曲线9一5

oJ

=1相交于力，B两点,若△力加为等边三角形，则夕=.

6.［2022•江苏省南京模拟］已知圆C;(十-3)2+/=4,点材在抛物线久y=4彳上运

动，过点“引直线上，4与圆C相切，切点分别为R0,则I图I的取值范围为________.

三高考小题重现篇

22

1.［2019•全国卷H］若抛物线/=2RY(P>0)的焦点是椭圆卷+］=1的一个焦点，则p

=()

A.2B.3C.4D.8

2.［2020•全国卷I］已知/I为抛物线C：/=2px(p>0)上一点，点A到。的焦点的距离

为12,到y轴的距离为9,则夕=()

A.2B.3C.6D.9

3.［2020♦全国卷HI］设0为坐标原点，直线不=2与抛物线C：产=2夕才(0>0)交于〃，E

两点，若如L%则。的焦点坐标为()

A.R0〉.&0)

C.(1,0)I).(2,0)

4.［2020♦北京卷］设抛物线的顶点为0,焦点为产，准线为/,尸是抛物线上异于。的

一点，过〃作/UL/于0,则线段用的垂直平分线()

A.经过点6B.经过点P

C.平行于直线0D.垂直于直线8

5.［2021•北京卷］已知抛物线Gy=4x,C的焦点为E点.机在。上，若|£必=6,则

"的横坐标是.

6.[2021•山东卷]已知。为坐标原点，抛物线G/=2以（0>0）的焦点为尸，P为C上

一点,PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且图J■例若I尸0=6,则C的准线方程为.

四经典大题强化篇

1.[2022・重庆模拟]如图，己知抛物线/=2勿（夕〉0）上一点M2,加）到焦点/的距离为

3,直线/与抛物线交于力（X】，必），以如也）两点，且y>0,刑<0,而♦宓=12（0为坐标原

点）.

（1）求抛物线的方程;

（2）求证直线/过定点.

2.[2022•山西省运城市模拟]已知Wl,2)在抛物线C：f=2px±.

(1)求抛物线。的方程；

(2)48是抛物线。上的两个动点，如果直线目的斜率与直线用的斜率之和为2,证

明：直线44过定点.

点点练34抛物线

一基础小题练透篇

1.答案：B

解析：由题意，点尸到点尸(0,1)的距离等于它到直线尸一1的距离，则点夕的轨

迹是以尸为焦点，尸一1为准线的抛物线，则点〃的轨迹方程为"=4乂

2.答案：C

解析：抛物线方程G/=16y,准线方程为：y=-4,因为|/网=5,所以点力到准线

的距离为5,且％>0,直线/：尸一1与准线方程的距离为占3,所以|力户|=5—3=2.

3.答案：B

解析：令抛物线7=8x的焦点为尸，则/⑵0),连接例如图,

因，是抛物线的准线，点〃是抛物线上的动点，且阴J_/于第于是得\PM\=\PF\,

点月（2,0）到直线入；2*一，+3-0的距离d-。一逑，又PN11舌N,显

竟J+*：（-♦1?）!-5

然点尸在点尸与N之间，于是有仍必+|网=|阳+|网24当且仅当尸，月N三点共线

时取“=”，所以|月必+|掰的最小值为d=逑.

4.答案：A

解析：抛物线炉=16x的准线方程为x=-4,设力（小，yi）,8（x2,%）,由抛物线的

定乂可知，汨+4=12,为=8,K=16X8,由抛物线的对称性，不妨令yi=8y区,设直线

]x=zny+2,

48的方程为x=my+2,由？得，一16Q-32=0,几^二一32,・・・度=一2m，四

(y=16x,

边形如量的面积S=J的•|yi-y2|=1x4X10\/2=2(h/2.

5.答案：A

解析：设7为（吊，外），则访一（龙，义一1）,又由尸4，0）,所以麻=得，—1）,

乙乙

因为初所以访•访'=0,可得枭一乂）+1=0,

乙

9

由「=2px0,联立方程组，消去的可得加-4外+4=0,所以H=2,故7（J2）,

又由囹=刖+衿，所以衿即*5什4=0,解得夕=1或0=4,

所以C的方程为/=2x或/=8x

6.答案：C

解析：直线/：y=k（x-2）（A>0）过（2,0）,即直线/过抛物线的焦点/（2,0）,

画出图象如图所示，过力作直线垂直于抛物线的准线，垂足为〃；过8作直线垂直于抛物线

的准线，垂足为C,过B作BELAD,交AD于R

依题意"=2融设|"1=2，即=21（£>0）,

则|力£|=|力〃|-18a=b|例|=|"1+|母1=32，|BE\=yj（302-t2=2^2f,

所以直线/的斜率力一告一2班.

7.答案：*

解析：由题意，抛物线。的焦点为尸（1,0）,准线方程为k一1,由|所|=3,

设尸（筋y）,则x+l=3,x=2,所以尸±2啦，即点尸的坐标为（2,±2m）,

则的面积为5=1X1X

8.答案:2

解析：由题意可知，当8在焦点户的右侧时，|明=3+圣附=3—*

乙乙

又|功|=3（3+Q,所以；（3+会=3-m解得夕=2；

当5在焦点尸的左侧时，同理可得〃=18,此时点8在x轴的负半轴，不合题意.

二能力小题提升篇

1.答案：B

解析：由「=8x得夕=4,所以尸到直线，的距离为夕=4.

2.答案：A

解析：设准线）与X轴交点为A；

•・•直线"的斜率为一■，・・・NEfF=N/1"=60°,•・•由抛物线的定义知|%=|川=

4,・•・△"!/为等边三角形，・・・|4?|=4,・••在Rt△力切中，|例=2,，p=2,・••抛物线方

程为，=4乂

3.答案：C

解析：过尸作灯/垂直准线，必为垂足，=|勿I，所以|胡|+|呼12MM24（当且

仅当机N,月纵坐标相等时取等号）.

4.答案：C

解析：因为〃为抛物线Gy=2px（p>0）的焦点，所以尸（*0）,

又|40|=|"1,即△40为等腰三角形，所以X产二要=*

又点/在抛物线y=2内上，

所以《=2pX^=p则％=±*^,BPA号±*^），

所以由抛物线的焦半径公式可得：|羽=M+介］,

又I/-I+|如I=今^,所以|印|=当，即数+亨=券，所以xg=4pf

*乙乙乙

则点=2pX4〃=8-,即%=±2娘°，所以8（40，±2娘0）；

2啦〃一乎"

'（%呼）’8（4夕，2乖p）时，/0的斜率为女胡=乙

当

,P5；

4P-4

—2y[2p遍

彳寻呼耳，8（4夕，一2包）时，的斜率为七22A/2

当1尸

.P3，

4kz

「2物+率，

P

当,B（4p,2yl2p）时，力"的斜率为左s=---------=V-；

.P3

40一彳

一2业+率r-

当4（4夕，~2yl2p）时，N6的斜率为孔尸------------=一¥；

25

4f

故ABD都能取到，C不能取到.

5.答案：6

解析：由题设，彳0，9,令尸—g弋入1—^=1得kt、6.」,/.|AB\=N方+12,

仍|)23(4+12)

又△?!断为等边三角形，则△4="由+12,，由勾股定理知：|"V-

=p»解得/=36,又标0,

•*•p—6.

6.答案：[2^2,4)

解析：如图，连接⑦mCM,依题意，CPLMP,CQIMQ,而16Pl=|0|=2,

而|相|=|.，阳，则以/垂直平分线段PQ,于是得四边形物S的面现为RtZXOW面积的2

倍,

从而得)用।・|闾=2・)刎・।小，即

P

lnn2\CP\•1^140d-16l2r厂

1PQ=一商—=IM=4、1一国产

设点M(£,s),而C(3,0),s=4t(^0),则1cM2=(t-3)2+s=^-2r+9=

(r-1)2+828,

当且仅当£=1时取“="，V£20,|掰2W[8,+oo),

因此得0〈y*pW，即品1—常产1，得2啦W|闻＜4,

所以I尸0的取值范围为[2乖，4).

三高考小题重现篇

1.答案：D

解析：由题意，知抛物线的焦点坐标为（50）,椭圆的焦点坐标为（土小，0）,所以

5=，^,解得〃=8.

2.答案：C

解析：设焦点为E点力的坐标为（加用）,由抛物线定义得|力尸|=照+导

•・•点4到y轴距离为9,・••的=9,

••・9+与=12,

乙

・'•夕=6.

3.答案：B

—2

解析：由抛物线的对称性不妨设〃在A•轴上方1在x轴下方.由；:得以2,25），

{y=2px

£（2,一2«）,,：ODLOE,.••而•良三4一40=0,：.p=l,...C的焦点坐标为0J.

4.答案：B

解析：不妨设抛物线的方程为了=2px（p>0）,Kxo,用）（加>0）,则（一1"），/修0）

直线内o的斜率为子，从而线段用的垂直平分线的斜率为《，又线段内0的中点为（o,3,

所以线段用的垂直平分线的方程为7-弓=上（jr-0）,即26一2如斗总=0,将点尸的横

乙yb

坐标代入，得2网）—=0,又2诚=京，所以尸加所以点。在线段用的垂直平

分线上.

5.答案：5

解析：设点，"的坐标为（刘，乃），则有|播/|=m+