沪科版七年级数学上册 3.3 一元一次方程的应用（第3章 一次方程与方程组 自学、复习、上课课件）

3.3

一元一次方程的应用第三章一次方程与方程组学习目标课时讲解1建立一元一次方程模型解决实际问题几何问题行程问题储蓄问题销售问题比例问题数字问题配套问题工程问题逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时流程2知1－讲感悟新知知识点建立一元一次方程模型解决实际问题11.列一元一次方程解决实际问题的一般步骤(1)

弄清题意和题中的数量关系，用字母(如x，y)

表示问题涉及的未知数；(2)

分析题意，找出等量关系(可借助示意图、表格等)；(3)

根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程；(4)

解这个方程，求出未知数的值；(5)

检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案(包括单位)

.感悟新知知1－讲特别提醒列一元一次方程解决实际问题时需要注意以下几点：1.恰当地设未知数可以简化运算，且单位要统一；2.题中的相等关系不一定只有一个，要根据具体情况选择；3.求出方程的解后要检验，既要检验所求出的解是不是方程的解，又要检验所求出的解是否符合实际意义.感悟新知2.分析题意常用的两种方法(1)

读题分析法：多用于“和、差、倍、分”问题.仔细读题，根据题意设出未知数，找出表示相等关系的关键字，例如：“大、小、多、少、是、共、合、完成、增加、减少、配套……”，将题目中量与量的关系转为代数式，进而列出方程.知1－讲感悟新知(2)

画图分析法：多用于“行程问题”，利用图形分析问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出示意图，弄清图形各部分的含义，借助图形找等量关系，从而建立方程.知1－讲感悟新知3.设未知数的常见方法(1)

设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么.(2)设间接未知数：特殊情况下，若设直接未知数难以列出方程，则可设另一个相关的量为未知数，通过这个未知数求出题中要求的量.知1－讲知1－练感悟新知饺子是中国传统食物，由一张小圆形面皮包馅制作而成，形如半月或元宝；馅饼也是非常流行的一种美食，由一张大圆形面皮包馅制作而成，呈扁圆形.元旦当天，小盛和爸爸、妈妈一起制作美味的饺子和馅饼，小盛向爸爸学习制作圆形面皮，一共制作了大、小两种圆形面皮100张，爸爸和妈妈一起包饺子和馅饼，正好用完所有制作的大、小面皮，小盛发现饺子的数量比馅饼数量的4倍多5个.请你根据以上信息，求出所包的馅饼有多少个.例1知1－练感悟新知两个等量关系，一个用来设未知数，并用未知数表示相关量，另一个用来列方程.知1－练感悟新知解：设包了x

个馅饼，则包了(4x+5)个饺子．根据题意，得x+(4x+5)

=100，解得x=19.答：所包的馅饼有19个．解题秘方：用分量的和等于总量列出方程，解决问题.知1－练感悟新知1-1.某校七年级200名学生分别到甲、乙两个纪念馆参观，其中到甲纪念馆参观的学生人数比到乙纪念馆参观的学生人数的2倍少10名，到乙纪念馆参观的学生有多少名？解：设到乙纪念馆参观的学生有x名，则到甲纪念馆参观的学生有(2x－10)名．根据题意，得2x－10＋x＝200，解得x＝70.答：到乙纪念馆参观的学生有70名．知1－练感悟新知[中考·日照][母题教材P107习题T3]《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足”记载：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何？”译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱.问人数、鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为()A.9x+11=6x+16B.9x－11=6x－16C.9x+11=6x－16D.9x－11=6x+16例2

知1－练感悟新知解：根据每人出9钱，会多出11钱，可得鸡的价格为(9x－11)

钱；根据每人出6钱，又差16钱，可得鸡的价格为(6x+16)钱，故9x－11=6x+16．解题秘方：不管是余是缺，总钱数不变是列方程的关键.答案：D知1－练感悟新知2-1.

[中考·自贡]某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位.求该客车的载客量．解：设该客车的载客量为x人，由题意，得4x＋30＝5x－10，解得x＝40.答：该客车的载客量为40人．感悟新知知2－讲知识点几何问题21.常见平面图形的基本等量关系C

长方形=2×(长+宽)，S

长方形=长×宽，C

正方形=4×边长，S

正方形=边长×边长.知2－讲感悟新知知识链接关于长方形、正方形的分割、拼图、剪贴问题，需设出适当的未知数，结合图形找到等量关系列方程.感悟新知知2－讲

感悟新知知2－练[母题教材P103例1]如图3.3-1，小轩家客厅的电视背景墙是由10块形状、大小相同的长方形墙砖砌成的.求一块长方形墙砖的长和宽.例3知2－练感悟新知解题秘方：根据拼接图形找到长方形墙砖的长与宽的关系列方程.解：设一块长方形墙砖的长为xm，则宽为(1.5－x)

m．依题意得2x=x+4(1.5－x)，解得x=1.2.则1.5－x=0.3.答：一块长方形墙砖的长为1.2m，宽为0.3m．知2－练感悟新知3-1.一块长、宽、高分别为4cm，3cm，2cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5cm的圆柱，求这个圆柱的高.(π取3.14，结果精确到0.1cm)感悟新知知3－讲知识点行程问题31.行程问题中的基本关系式路程=速度×时间，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间.感悟新知知3－讲2.行程问题中的相等关系(1)

相遇问题中的相等关系：①若甲、乙相向而行，相遇时，甲走的路程+乙走的路程=甲、乙出发点之间的路程；②若甲、乙同时出发，相遇时，甲用的时间=乙用的时间.感悟新知知3－讲(2)

追及问题中的相等关系：①快者追上慢者时，快者走的路程-慢者走的路程=追及路程；②若同时出发，快者追上慢者时，快者用的时间=慢者用的时间.(3)

航行问题中的相等关系：顺水(顺风)

速度=静水(无风)

速度+水(风)

速度；逆水(逆风）速度=静水(无风)

速度-水(风)

速度.知3－讲感悟新知特别提醒1.在行程问题的三个量(路程、速度、时间)中，一个量已知，另一个量设元，则第三个量用来列方程.2.在相遇和追及问题中，若两者同时出发，则时间相等，利用两者路程之间的关系列方程.3.航行问题中涉及顺和逆的问题，只要路线相同，路程就不变.感悟新知知2－练甲站和乙站相距1500km，一列慢车从甲站开出，速度为60km/h，一列快车从乙站开出，速度为90km/h.(1)若两车相向而行，慢车先开30min，快车开出几小时后两车相遇？(2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距1800km？(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距1200km(此时快车在慢车的后面)？例4

知2－练感悟新知解题秘方：根据“慢车行驶的路程+快车行驶的路程=1500km”列方程；

(1)若两车相向而行，慢车先开30min，快车开出几小时后两车相遇？知2－练感悟新知解：设yh后两车相距1800km.由题意，得60y+90y+1500=1800.解得y=2.答：2h后两车相距1800km.(2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距1800km？知2－练感悟新知解：设zh后两车相距1200km(此时快车在慢车的后面)

.由题意，得60z+1500－90z=1200.解得z=10.答：10h后两车相距1200km(此时快车在慢车的后面)

.(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距1200km(此时快车在慢车的后面)？知3－练感悟新知4-1.

[月考·安庆]A，B两地相距360km，甲、乙两车分别沿同一条路线从A地出发驶往B地，已知甲车的速度为60km/h，乙车的速度为90km/h，甲车先出发1h后乙车再出发，乙车到达B地后在原地等甲车．(1)

乙车出发多长时间追上甲车？解：设乙车出发xh追上甲车，由题意得90x＝60(x＋1)，解得x＝2.答：乙车出发2h追上甲车．知3－练感悟新知(2)

乙车出发多长时间与甲车相距50km？知3－练感悟新知小李和爸爸周末去体育中心晨练，两人沿400m的跑道匀速跑步，每次总是小李跑了2圈爸爸跑3圈，一次两人在同地同时反向而跑，小李最后发现隔了

32s两人第一次相遇.(1)

求两人的速度.(2)

若小李和爸爸在同地同时同向而跑，则过多久两人首次相遇？例5知3－练感悟新知解题秘方：可将环形中的相遇或追及问题转化为直线形中的相遇或追及问题.解：设小李的速度为2xm/s，则爸爸的速度为3xm/s.根据题意得32(2x+3x)=400.解得x=2.5.所以2x=5，3x=7.5.答：小李的速度为5m/s，爸爸的速度为7.5m/s.(1)求两人的速度.知3－练感悟新知解：设过了ts两人首次相遇.根据题意得7.5t－5t=400.解得t=160.答：过了160s两人首次相遇.(2)若小李和爸爸在同地同时同向而跑，则过多久两人首次相遇？知3－练感悟新知方法点拨：环形运动问题中的相等关系(同时同地出发)：(1)

同向相遇：第一次相遇快者跑的路程－

第一次相遇慢者跑的路程=跑道一圈的长度；(2)

反向相遇：第一次相遇快者跑的路程+第一次相遇慢者跑的路程=跑道一圈的长度.知3－练感悟新知5-1.甲、乙两人在400m的环形跑道上练习跑步，已知甲的速度为每分钟200m，乙的速度为每分钟120m，且两人都是同时出发，同向而行的.(1)

如果甲、乙两人从同一个地点出发，那么几分钟后两人第一次相遇？解：设xmin后两人第一次相遇，根据题意，得200x－120x＝400，解得x＝5.答：5min后两人第一次相遇．知3－练感悟新知(2)如果甲在乙前方80m处，那么几分钟后两人第一次相遇？解：设ymin后两人第一次相遇，根据题意，得200y－120y＝400－80，解得y＝4.答：4min后两人第一次相遇．知3－练感悟新知一艘轮船在两个码头间航行，顺流需航行4h，逆流需航行5h，如果水流速度为3km/h，求两个码头间的距离.例6

知3－练感悟新知

直接设未知数.间接设未知数.知3－练感悟新知6-1.

[月考·蚌埠]甲、乙两港口相距80km，一艘轮船从甲港口逆流向乙港口航行，航行速度为48km/h，水流速度为2km/h，现计划在甲、乙两港口之间修建一个丙港口，若该轮船从甲港口航行到丙港口所用时间与从乙港口航行到丙港口所用时间相同，求甲港口与丙港口之间的距离．知3－练感悟新知感悟新知知4－讲知识点储蓄问题41.概念顾客存入银行的钱叫作本金，银行付给顾客的酬金叫作利息，本金和利息的和叫作本息和，一定时期内利息与本金的比叫作利率.2.等量关系

本金×利率×期数=利息；本金+利息=本息和.知4－讲感悟新知特别警示储蓄问题中应注意的问题：(1)计算利息时不要忘记乘期数；(2)要注意区分给出的是年利率还是月利率.感悟新知知4－练[母题教材P105例3]某工厂向银行申请了甲、乙两种不同利率的贷款，共计200万元，每年需付利息10.6万元，甲种贷款每年的利率是5%，乙种贷款每年的利率是5.5%，求该工厂这两种贷款各申请了多少万元.例7知4－练感悟新知思路导引：贷款额/万元年利率每年利息/万元甲x5%5%x乙200－x

5.5%5.5%×(200－x)合计20010.6

知4－练感悟新知解：设该工厂申请甲种贷款x万元，则申请乙种贷款(200－x)

万元.由题意得5%x+5.5%×(200－x)

=10.6，解得x=80，则200－x=120.答：该工厂申请甲种贷款80万元，申请乙种贷款120万元.

知4－练感悟新知7-1.贝贝6年后上大学，预计上完四年大学需要5万元，因此贝贝的父亲现在就开始了教育储蓄，已知年利率如下表：存期年利率一年3.00%三年4.25%

知4－练感悟新知现有两种储蓄方式：①存两个三年期，先存入一个三年期，三年后将本息和自动转存下一个三年期；②存六个一年期，先存入一个一年期，一年后将本息和自动转存下一个一年期，直至六年期满.比较以上两种储蓄方式，哪种储蓄方式能让现在存入的本金最少？所需本金最少是多少？(用四舍五入法精确到百元)知4－练感悟新知解：①设存两个三年期所需的本金为x万元，根据题意，得

(1＋4.25%×3)(1＋4.25%×3)x＝5，解得x≈3.93.②设存六个一年期所需的本金为y万元，根据题意，得(1＋3.00%)6y＝5，解得y≈4.19.因为3.93<4.19，所以存两个三年期能让现在存入的本金最少，所需本金最少约是3.93万元．感悟新知知5－讲知识点销售问题5

知5－讲感悟新知知识储备1.利润率是相对于进价而言的，是利润占进价的百分比.2.在标价的基础上打折时，打几折，售价就等于标价乘十分之几.感悟新知知5－练某种商品每件的进价为120元，标价为180元.为了提高销量，商店准备打折销售，若使利润率为20%，则商店应打______折.例8

八知5－练感悟新知解题秘方：根据“利润=售价-进价=进价×利润率”列出方程即可求解.

知5－练感悟新知8-1.一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的五折出售将亏20元，而按标价的八折出售将赚40元.问：(1)

每件服装的标价、成本各是多少元？解：设每件服装的成本为x元，则标价为2(x－20)元．根据题意得0.8×2(x－20)－x＝40.

解得x＝120，所以2(x－20)＝200.答：每件服装的标价为200元，成本为120元．知5－练感悟新知(2)

为保证不亏本，最多能打几折？解：120÷200＝0.6.答：为保证不亏本，最多能打六折．感悟新知知5－练某商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售.则每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？例9知5－练感悟新知解题秘方：根据计算销售总额的两种方式列出方程.解：设每件衬衫降价x

元.根据题意，得120×400+(500－400)

×(120－x)

=500×80×(1+45%)

.解得x=20.答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标.知5－练感悟新知9-1.

[月考·合肥]某商场家电类商品均按进价提高20%后标价．该商场举办促销活动，所有家电类商品都以标价的9折销售．某种冰箱参加促销活动后，每台仍获利300元，这种冰箱每台的进价是多少？解：设这种冰箱每台的进价是x元，根据题意，得(1＋20%)x×90%－x＝300，解得x＝3750.答：这种冰箱每台的进价是3750元．感悟新知知5－练某商店将两个进价不同的豆浆机都卖了378元，其中一个盈利20%，另一个亏损20%，那么这家商店盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？例10

知5－练感悟新知解题秘方：根据进价高于售价则亏损，进价低于售价则盈利，进价等于售价则不盈不亏进行判断.知5－练感悟新知解：设盈利20%的豆浆机的进价为x

元.由题意，得(1+20%)

x=378，解得x=315.设亏损20%的豆浆机的进价为y

元.由题意，得(1－20%)

y=378，解得y=472.5.所以这两个豆浆机的进价和是315+472.5=787.5(元)

.因为这两个豆浆机共卖了378×2=756(元)，且756－787.5=－31.5(元)，所以这家商店亏损，亏损了31.5元.知5－练感悟新知10-1.“双11”电商节，某商店把某种商品按进价加20%作为定价，按定价的1.5倍标价再打8折出售，最终售出10件，总营业额为720元，则这次生意的盈亏情况为_________元.盈利220感悟新知知6－讲知识点比例问题61.应用题的数量关系如果是以量与量之间的比例关系以及这些量的总和给出的，那么这类问题就叫作比例问题.2.基本等量关系 各分量之和等于总量.知6－讲感悟新知知识链接利用方程解决比例问题，设未知数时宜设“每份”为x，各个未知量用nx(n

为正数)的形式表示.感悟新知知6－练[母题教材P106例5]某洗衣机厂今年计划生产洗衣机25500台，其中A型、B型、C

型三种洗衣机的数量比为1∶2∶14，那么计划生产的C

型洗衣机比B

型洗衣机多多少台？例11解题秘方：未知的量若以比例的形式出现，则解决问题的关键是通过设单位量表示总量列方程，求出单位量.知6－练感悟新知解：设生产洗衣机的数量每一份为x

台，则A，B，C

三种型号的洗衣机的数量分别为x

台、2x

台、14x

台，由题意得x+2x+14x=25500，解得x=1500，所以14x－2x=12x=12×1500=18000.答：计划生产的C型洗衣机比B

型洗衣机多18000台．知6－练感悟新知11-1.某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100t，新、旧工艺的废水排量之比为2∶5，两种工艺的废水排量各是多少？环保限制的最大量是多少？知6－练感悟新知解：设新工艺的废水排量为2xt，则旧工艺的废水排量为5xt.依题意，得2x＋100＝5x－200.解得x＝100.所以2x＝200，5x＝500，2x＋100＝300.答：新工艺的废水排量为200t，旧工艺的废水排量为500t，环保限制的最大量是300t.感悟新知知7－讲知识点数字问题7用代数式表示多位数的方法用式子表示多位数时，这个多位数=个位数字×1+十位数字×10+百位数字×100+千位数字×1000+万位数字×10000+…，如一个五位数，个位、十位、百位、千位、万位上的数字分别为a，b，c，d，e，则这个数可表示为10000e+1000d+100c+10b+a

或104e+103d+102c+10b+a.知7－讲感悟新知方法点拨巧设元解数字问题的方法：(1)

连续数设中间；(2)多位自然数设一位；(3)数字换位设部分；(4)小数点移动直接设；(5)数字成比例设比值；(6)

特殊关系特殊设.感悟新知知7－练[母题教材P107习题T4]一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为9，如果把这个两位数加上63，那么恰好成为原两位数的个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求原来的两位数.例12

知7－练感悟新知解题秘方：用各数位上的数字表示原数和新数，利用两个数之间的关系列方程.解：设原来的两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为9－x.根据题意，得10(9－x)

+x+63=10x+9－x.解得x=8.所以10(9－x)

+x=18.答：原来的两位数是18.设间接未知数.知7－练感悟新知12-1.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大4，把个位上的数字和十位上的数字对调，新的两位数与原两位数之和为110，求原两位数是多少．解：设原两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为(x＋4)，根据题意，得10x＋(x＋4)＋10(x＋4)＋x＝110，解得x＝3，则10x＋(x＋4)＝10×3＋(3＋4)＝37.答：原两位数是37.感悟新知知8－讲知识点配套问题81.在配套问题中，配套的物品之间都具有一定的数量关系，这个数量关系可以作为列方程的依据.2.生产配套问题中的基本相等关系加工(或生产)

的各种零件、配件的总数量比等于一套组合件中各种零件、配件的数量比.感悟新知知8－讲3.调配问题中的基本相等关系指从甲处调一些人(或物)到乙处，使之符合一定的数量关系，或从第三方调入一些人(或物)到甲、乙两处，使之符合一定的数量关系，其基本相等关系为：甲处人(或物)

数+乙处人(或物)

数=总人(或物)

数.知8－讲感悟新知知识链接配套问题中的关键词语“刚好”与“最多”要认真区别.感悟新知知8－练某制造“机器人”的车间有28名工人，每名工人每天可以生产“机器人”的机壳500个或机脚800个.1个机壳需要配4个机脚，为使每天生产的机壳和机脚刚好配套，应安排生产机壳和机脚的工人各多少名？例13知8－练感悟新知解题秘方：解题的关键是找准题目中的相等关系.解：设安排x名工人生产机壳，则安排(28－x)名工人生产机脚.依题意，得4×500x=800(28－x)

.解得x=8.则28－x=20.答：应安排8名工人生产机壳，安排20名工人生产机脚.知8－练感悟新知13-1.某工厂生产茶具，每套茶具由1个茶壶和4个茶杯组成，生产这套茶具的主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可做3个茶壶或6个茶杯.现要用9千克紫砂泥制作这些茶具，若使做出的茶壶和茶杯刚好配套，应用多少千克紫砂泥做茶壶，多少千克紫砂泥做茶杯？可配成多少套？知8－练感悟新知解：设用x千克紫砂泥做茶壶，则用(9－x)千克紫砂泥做茶杯．由题意得3x×4＝6(9－x)，解得x＝3，所以9－x＝6，3x＝9.答：应用3千克紫砂泥做茶壶，6千克紫砂泥做茶杯，可配成9套．感悟新知知8－练学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？例14

解题秘方：此类问题多用列表法找相等关系.知8－练感悟新知

原有人数增加人数现有人数甲处23x23+x乙处1720－x17+(20－x