2022年初升高暑期数学讲义12 函数的奇偶性（重难点突破）（原卷版）

专题12函数的奇偶性

一、考情分析

奇函数

性成义^2

偶函数

奇函数关于y轴对称

哥偶性的图像特征

偶函数圻原点又搞

首先，求因数定义域

判断或证明困数的奇偶性其次,判断函数图像及函数解析式

奇函数/偶函数

奇偶性的应用

单调性与奇偶性的综合应用—Q交易量

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二、经验分享

【知识点一、函数的奇偶性】

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有那么函数f(x)就叫做偶函数.

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X都有那么函数f(x)就叫做奇函数.

名师解读：函数具有奇偶性的条件

(1)①首先考虑定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；

②在定义域关于原点对称的前提下，进一步判定/(一的是否等于±f(x).

(2)分段函数的奇偶性应分段说明/(一幻与/(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的

关系时，才能判定函数的奇偶性.

(3)若奇函数的定义域包括0,则/(0)=0.

【知识点二、函数的奇偶性的图像特征】

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形；反之，如果一

个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以为对称轴的轴对称图形；反之,如果一个函

数的图象关于对称，则这个函数是偶函数.

名师解读：奇、偶函数的单调性

根据奇、偶函数的图象特征，可以得到：

(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调

性.上述结论可简记为“奇同偶异”.

(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数

在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.

名师解读:_性质法判断函数的奇偶性

fix),g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论:

fMg(%)f(x)+g(x)

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数

三、题型分析

(-)证明或判断函数的奇偶性

例1.(1)、(2021•贵溪市实验中学高三其他模拟)函数/(x)=j4_/+怖.是偶函数()

N-1

A.对B.错

(2)、(2022•四川省绵阳南山中学高二期末(文))设函数/(6=手，则下列函数中为奇函数的是

1-X

()

A./(x—1)—1B./(.t—1)+1

C./(x+l)-lD./(x+l)+l

【变式训练1-1】、(2022・天津河东高二学业考试)下列函数中，是偶函数的为()

A.f{x)=xB.f(x)=-C.f(x)=x2D.f(x)=sinx

x

【变式训练1・2】、(2021•浙江高二期末)若函数/(%)=:--——；为奇函数，则〃=()

(xI1)(%。)

A.1B.2C.3D.-1

例2、(2021.甘肃.甘南藏族自治州合作第一中学高一期中)判断下列函数的奇偶性：

⑴/(儿)=/十国;

(2)g(力量(3/3,4]).

【变式训练2-1】、(2021•湖南・邵阳市第二中学高一期中)判断下列函数的奇偶性

⑴/(幻=1+1；

X

(3)/(.r)={x2-1+\l\-x2；

（-）函数奇偶性的应用

例3.⑴、（2022四川达州•高一期末（理））定义在R，的偶函数/（人）在（〜,0）_L单调递增，且

/（l）=o,则的解集是（）

B.[-1,1]

D.[-LO)U(OJ]

⑵、（2。22・江西・南昌十中模拟预测（理））已知函数8）内+券）为偶函数，则加的值为

【变式训练3・1】、（2022・河北省曲阳县第一高级中学高二期末）若定义域为R的奇函数/在（0,+8）内单

调递减，旦/（-2）=0,则满足，（人-1）之。的X的取值范围是（）

A.[-1,1]U[4,4OO）B,[-2,-l]U[0,l]

C.[-l,0]u[i,-Hx））D.[-l,0]U[h3]

【变式训练3・2】、（2022•青海海东市第一中学模拟预测（文））函数/"）=（型的部分图象大致是

【变式训练3・3】、（2022•湖北黄冈中学模拟预测）已知函数〃%）=岸巴是奇函数，则实数“的值为

2—1

2

例4.（2022・湖南•怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）已知函数/（"=丽.

⑴写已了⑶的定义域并判断人幻的奇偶性；

⑵证明：f（x）在xw（O,l）是单调递减；

⑶讨论/（X）=城*>0）的实数根的情况.

例5.（2022•福建三明一中高二阶段练习）已知了（同为R上的奇函数，当工>0时，/（X）=X2-2A-.

⑴求〃-2）；

⑵求“力的解析式；

⑶画］，=〃戈）的草图，并通过图象写出y=/（力的单调区间.

例6.(2。22・陕西・西安市雁塔区第二中学高二阶段练习(文))函数〃、)=茎是定义在(-3,3)上的奇函

数，且〃1)=：.

4

⑴确定八处的解析式

⑵证明人处在(-3,3)上的单调性;

(3)解关于f的不等式+.

例7.(2022,江苏・南京师