2022年初升高暑期数学讲义13 充分必要条件、全称量词与存在量词（重难点突破）【含答案】

专题13充分必要条件、全称■词与存在量词

一、考情分析

＜充分条件

必要条件

充分必要条件

应用——小集合与大集合

全称量词

诙期

含有全称量词与存在量词命题的否定

二、考点梳理

知识点一充分条件与必要条件

(1)一般地，“若P，则为真命题，是指由〃通过推理可以得出力这时，我们就说，由〃可以推出q,

记作p=q，并且说，P是4的充分条件，夕是p的必要条件.

(2)几点说明

若片q则夕是q的充分条件，。是。的必要条件

。是。的充分不必要条件片且@p

。是g的必要不充分条件加q且q=>p

。是。的充要条件片q

。是q的既不充分也不必要条

3q且Fp

件

知识点二充要条件

⑴如果“若“，则4”和它的逆命题“若0则P”均是真命题，即既有P=g,又有q=p,就记作P=q,此

时，〃既是q的充分条件，也是夕的必要条件，我们就说〃是q的充分必要条件，简称为充要条件.

(2)如果〃是g的充要条件，那么g也是p的充要条件.概括地说，如果〃00那么〃与4互为充要条

件.

知识点三全称量词和存在量词

(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“上”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个.

有些，用符号“旦表示.

(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题.“对M中任意一个x,有p(x)成立"用符号简记为：上巨

M,0工).

(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题.“存在M中元素切，使〃出))成立“用符号简记为：#巨

M,Wo).

知识点四含有一个量词的命题的否定

一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：

(1)全称量词命题p：PxRM,p(x),它的否定「p：或£M,-»p(x)；

(2)存在量词命题p：p(x),它的否定一'p：-w(x).

全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题.

命题命题的否定

VxEM,p(x)

BxoEM,p(xo)

三、题型突破

重难点题型突破1充分必要条件的判断

例1.(1)、(2022•安徽阜阳•高一期末)“acbvO"是ua4>b4n的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

由ua<b<0n可以推出“/>/”,由“/>/”得u\at>\b\n,不能推出ua<b<0n,利用充分条

件与必要条件的概念即可求得结果.

【详解】

由'〈人<0”可以推出“/>/”,由“/>/”得,不能推出“avb<0”，所以

,la<b<0,'是的充分不必要条件.

故选：A.

⑵、“丁-2%-3=0”是“x=3”的()条件

A,充分不必要B,必要不充分C.充要D.既不必要也不充分

【答案】B

【分析】

解一元二次方程，根据大范围是必要条件，小范围是充分条件进行判断

【详解】

由W-2x-3=0可得（十一3）"+1）=0,即x=3或x=-L贝IJV-2x-3=0"是"1=3”的必要不充分

条件

故选：B

【变式训练1-1】、（2022•北京•北理工附中高二阶段练习）下列选项中，成立的一个必要不充分

条件是（）

A.a>b-\B.a2>h2C.a>b+\D.a3>b3

【答案】A

【解析】

【分析】

欲求成立的必要而不充分的条件，即选择一个能推出的选项，但不能推出对选项逐一

分析即可.

【详解】

解：“a>b”能推出,但“。>匕-1”不能推出“a>b”,故A满足题意；

“a>b”不能推出“标>〃，，，故选项B不是“a>b”的必要条件，不满足题意；B不正确.

“a>b”不能推出+，故选项C不是“a>b”的必要条件，不满足题意；C不正确.

“。>与”能推出“/>护"，且“">从，，能推出，故是充要条件，不满足题意；D不正确；

故选：A.

【变式训练1-2］、（2022•浙江•义乌市福田书院高二期末）ua>b>0n是从>（），，的（）

A,充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

由充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.

【详解】

因为G>b>0能推出">从>0而/>0不能推出例如（-5）’>32>0,

不能推出-5>3>0,所以"。>人>0”是“/>〃”的充分不必要条件，

故选：A

重难点题型突破2充分必要条件的应用（求参数的取值范围）

例2.（1）、（2022,江苏・高一）已知条件p:2A-1&XW2,^:-5<x<3,p是g的充分条件，则实数k的

取值范围是.

【答案】[-2,内）

【解析】

【分析】

设4=何2"1"<2}.8={H-5W3},则AqB,再对A分两种情况讨论得解.

【详解】

iEA={x|2^-l<x<2},8={H-5W3},

因为〃是q的充分条件，所以4三8.

当A=0时，2k-\>2,即左A5.符合题意；

当时，由Aq。可得2%-1之一5,所以人之一2,即一242«=.

22

综上所述，实数的左的取值范围是“2,+8）.

故答案为：J2,内）.

（2）、（2022•全国高一专题练习）（多选题）可以作为x<T或x>3的一个充分不必要条件是（）

A.x<-2B.x<lC.x>4D.x>2

【答案】AC

【解析】

【分析】

由充分不必要条件的定义即可得出答案.

【详解】

可以作为xvT或x>3的一个充分不必要条件是1<-2和工>4.

故选：AC.

【变式训练2-1】.（多选题）命题“X£[L2],^-6/<0"为真命题的充分不必要条件可以是（）

A.a>4B.a>5C.a>3D.a>2

【答案】AB

【分析】

根据命题“Txw[l,2],x2—々WO”为真命题，求得d得范围，然后从集合得角度充分不必要条件对应得

集合是已求a得范围对应集合的真子集，结合选项即可得解.

【详解】

解：由工«1,2],则/力用，

要使在xw[l,2]上恒成立，

则124a,所以a24,

根据题意可得所求对应得集合是[4”）的真子集，

根据选项AB符合题意.

故选：AB.

【变式训练2-2】、（2022•江苏南通•模拟预测）函数/*）=%3-级+。-1有两人零点的一个充分不必要条件

是（）

A.a-3B.a=2C.a=lD.a=0

【答案】A

【解析】

【分析】

先因式分解得/a）=a-D（d+x+]_a）再分类讨论求解当/"）有两个零点时〃的值，再根据充分不必要

条件的性质判断选项即可

【详解】

/*）=%3_1_〃（工_1）=*-1）■2+工+]_4）/（X）有两个零点有两种情形：

①1是卜=/+1+]_4的零点，则a=3,此时y=«?+x-2有1,2共两个零点

②1不是），=/+工+1-。的零点，则判别式1一4（1一a）=0,即a

4

・•・a=3是f（x）有两个零点的充分不必要条件

故选：A.

例3.（2022・全国•高一专题练习）已知集合4=凶2-。《工42+4},B={x|x<l^x>4}.

⑴当a=3时，求Ap|8；

(2)若。>0,且“xtA”是“屋田，的充分不必要条件，求实数”的取值范围.

【答案】⑴AnB={x|-14E或4W5}

⑵(0」)

【解析】

【分析】

(1)借助数轴即可确定集合A与集合8的交集(2)由于A\Bt根据集合之间的包含关系即可求解

(1)

当a=3时，*0,A={x|2-a<x<2+a}={x|-l<x<5},

B={x\x<i^x>4],

AnB={x|-14E或4W5}

⑵

・••若。>0,且“xcA"是充分不必要条件，

A={j|2-aWx42+0}3>0),务8={对v/v4}

2-a>\

因为A,贝小2+a<4

a>0

解得Ovavl.

故a的取值范围是：(O,l)

【变式训练3-1】.(2021•江苏省武进高级中学高二阶段练习)已知集合4=卜|〃?-1<%<m2+1},

4=卜—<4}.

(1)当m=2时，求A=B,Ac8；

⑵若"xcA"是“xeB”成立的充分不必要条件，求实数小的取值范围.

【答案】(l)AuB={x|-2<x<5},AnB={x|l<x<2},(2){w|-l<m^l}

【解析】

【分析】

(1)根据交集和并集的定义即可求出；

(2)由xeA是xw6成立的充分不必要条件，可得AR,进而得出实数，〃的取值范围

⑴

(1)当m=2时，A={x|l<x<5},b={x\-2<x<?},

/.AuB={M_2<x<5},Ac8={x[l<x<2};

⑵

由xeA是xe3成立的充分不必要条件，得AB,

当A=0时，即〃.IN机2.1时，此时加无解，

A^0,

[tn1>-2.,

•Y,解得T4〃"l，

\tn'+\<2

当m=—1时，A=B=(-2,2),不成立.

故实数〃?的取值范围为{m\-\<m<\}.

重难点题型突破3全称命题与存在命题真假的判断

例4.（1）、（2021•河北唐山•高一期中）（多选题）下列命题中是真命题的是（）

A.若筋yeR,且x+y>2,则x,丁中至少有一个大于1

B.。+力>0的充要条件是：=-1

b

C.3xe/?,x2-2<0

D.Vxe/?,x2>3

【答案】AC

【解析】

【分析】

对于A选项，假设X,），中没有一个大于1得x+y«2,与x+y>2矛盾可判断；对于B选项，当

〃=2加=-1时，必要性不成立，故错误；对于C选项，取x=0判断；对于。选项，取工4「万,石［时可

判断

【详解】

解：对于A选项，假设》,丁中没有一个大于1,即xWl,y<\,则x+y«2,与x+y>2矛盾，故命题

正确；

对于B选项，显然充分性不成立；当〃=2,〃=-1时，a+b>0,此时£=-2,必要性不成立，故错误；

b

对于C选项，当％=0时，/一240成立，故正确；

对于D选项，xe卜石,6］时，x2<3,故错误.

故选：AC

【变式训练4-1】.（2021•山东省临沂第一中学高一期中）（多选题）下列叙述中正确的是（）

A.命题uBxeR,x2+\=0n的否定是“X/xwR,丁+1工0”

B.“孙>0”是"x+y>0”的充要条件

C.已知aeR,则是。<人<0的必要不充分条件

ab

D.若,,l<x<3"的必要不充分条件是“〃?-2vxv〃叶2",则实数机的取值范是1,3］

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由特称命题得否定可以判断A,由充要条件可以判断BCD

【详解】

对于A：命题1e7?,A:2+1=0"的否定是uVxe7?,寸+1工0”,故A正确；

对于B:个>0,当xv0,yv0时，不成立；当x+y>0,是个>0也不一定成立；故B错误；

对于C:由推不出但〃vb<0时成立，故C正确；

abab

对于D：ul<x<3"的必要不充分条件是"〃?-2vxv〃z+2”,

]>fTt2

一解得故D正确；

{加+223

故选:ACD

重难点题型突破4全称命题与存在命题的否定

例5.（1）、（2022•河北保定•高二期末）命题X2-2X+3<0"的否定是（）

A.Bx>0,x2-2x+3..0B.3A;,0,x2-2x+3<0

C.Vx>0,x2-2x+3..0D.Dx。丁-21+3<0

【答案】A

【解析】

【分析】

将全称命题否定为特称命题即可

【详解】

命题uVx>0,x2-2x+3<0n的否定是,，Hx>0,x2-2x+3..O".

故选：A

⑵、（2022・山东•高二期末）设命题〃：立>1,/>2"，则f为（）

A.n2>2nB.3n<l,n2<2n

C.V«>1,n2<TD.3«<1,n2<2n

【答案】C

【解析】

【分析】

根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可；

【详解】

解：命题〃:引2>1,>2"为特称量词命题，其否定为n2<2n；

故选：C

【变式训练5-1].（2022・江苏・高一）设命题则产为（）

A.\fneN.n2>4B.BneNyn2<4

22

C.XfneNtn<4D.BneNyn=4

【答案】C

【解析】

【分析】

存在量词命题的否定为全称量词命题，需要注意格式的写法和对其结论的否定.

【详解】

存在量词命题的否定为全称量词命题，即大€”,〃@）的

否定格式为：VxwMJp*）,所以B,D的量词格式错误，

而A选项未对结论进行否定，其正确的写法为W〃eM〃2«4,

故选：C.

【变式训练5-2】・（2021・湖南・衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）命题存在一个自然数〃使〃2>2〃+5

成立.则p的否定的符号形式及其真假为（）

A.V〃EN,/W2〃+5.真B.V〃EN,n2^2n+5.假

C.VnEN,/>2〃+5.假D.3nEN,/>2〃+5.真

【答案】B

【解析】

【分析】

对特称命题的否定为全称命题，再求解真伪即可.

【详解】

由于〃：存在一个自然数〃使得〃2>2〃+5.

•.•其否定符号为IP：D〃（〃WN）,〃2«2〃+5,

当〃=5时，52>2x5+5,所以是假命题；

故选：B.

重难点题型突破5全称命题与存在命题的应用(求参数的取值范围)

例6.(2021・河南•西平县高级中学高一阶.没练习)已知命题炉+2如；+25+3>0”为^命题.

(1)求实数机的取值的集合A；

(2)若玄e[L3],使得2心-々<0(〃。0)成立，记实数"的范围为集合8,若AflB中只有一个整数，求

实数〃的范围.

【答案】(1){/n\-}<m<3}；(2)

【解析】

【分析】

(1)根据命题为真转化为不等式恒成立，利用判别式/<0求解；

(2)分类讨论〃的正负求出集合B,再根据AflB中只有一个整数建立不等式求解.

【详解】

(1)由条件知，f+2〃次+26+3>0恒成立，

只需.x2+2/ztr+2阳+3=0的△=4〃产-4(2ni+3)<0.

解得-也即A={〃?|T<7〃〈3}.

(2)若3xe[l,3],使得2/u-a<0(〃工0)成立，

也即zxe[\,3],2nx<a,

当〃>0,只需