7.2 离散型随机变量及分布列（精讲）（解析版）-人教版高中数学精讲精练选择性必修三

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7.2离散型随机变量及分布列（精讲）考点一离散型随机变量的辨析【例1-1】（2022春·北京·高二期末）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（

）①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数；②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离；③某同学射击3次，命中的次数；④某电子元件的寿命；A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】C【解析】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对于②，沿直线进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量；对于③，某同学射击3次，命中的次数可以一一列举出来，故③是离散型随机变量；对于④，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量；故选：C.【例1-2】（2022春·陕西渭南·高二渭南市华州区咸林中学校考期中）袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（

）．A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球C．取到白球的个数 D．取到球的个数【答案】C【解析】选项A，B是随机事件；选项D是定值2；选项C可能的取值为0，1，2，可以用随机变量表示．故选：C．【一隅三反】1．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ；②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X；④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y；其中是离散型随机变量的为（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】C【解析】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；对于②，沿直线y＝2x进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；对于③，5分钟内接到的雷达电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；对于④，某同学离开哈尔滨市第三中学的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③.故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（

）A．至少取到1个白球 B．取到白球的个数C．至多取到1个白球 D．取到的球的个数【答案】B【解析】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B选项，其中A、C选项是事件，D选项取到球的个数是个，ACD错误；故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）下面是离散型随机变量的是（

）A．电灯炮的使用寿命B．小明射击1次，击中目标的环数C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置【答案】B【解析】对于A，电灯炮的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意；对于B，小明射击1次，击中目标的环数是变量，且其取值为，故X为离散型随机变量，故B符合题意；对于C，测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值是变量，但无法一一列举出X的所有取值，故X不是离散型随机变量，故C不符题意；对于D，一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置是变量，但无法一一列举出其所有取值，故X不是离散型随机变量，故D不符题意.故选：B.考点二离散型随机变量的分布列【例2】（2022·高二课时练习）袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字．(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)求随机变量的分布列．【答案】(1)(2)分布列见解析【解析】（1）“取出的3个小球上的数字互不相同”记为事件，则为“取出的3个小球上有2个数字相同”，∴，∴．（2）由题意可知的可能取值为2，3，4，5，，，，．可得的分布列如表所示．2345【一隅三反】1．（2022·高二课时练习）有2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示总检测费用（单位：元），求X的分布列．【答案】(1)(2)分布列见解析【解析】（1）设“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则．（2）X的可能取值为200，300，400，则，，．故X的分布列为X200300400P2．（2022春·吉林·高二校联考期末）某数学兴趣小组有5名同学，其中3名男生2名女生，现从中选2人去参加一项活动．(1)求选出的2人中，恰有1名男生，1名女生的概率；(2)用X表示选出的2人中男生的个数，求X的分布列．【答案】(1)(2)分布列见解析【解析】(1)解：某数学兴趣小组有5名同学，其中3名男生2名女生，从中选2人去参加一项活动，有（种）选法．设“选出的两人中，恰有1名男生，1名女生”为事件A，则(2)解：根据题意，X可能的取值为0，1，2．，，．故X的分布列为X012P3．（2022春·重庆北碚·高二重庆市朝阳中学校考期中）一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列．【答案】(1)(2)答案见解析【解析】（1）记“摸出的2个球中有1个白球和1个红球”，3个白球、2个红球分别记为白1，白2，白3，红1，红2，从中摸出2个球有（白1白2），（白1白3），（白1红1），（白1红2），（白2白3），（白2红1），（白2红2），（白3红1），（白3红2），（红1红2）共10种情况，从中摸出的2个球中有1个白球和1个红球有（白1红1），（白1红2），（白2红1），（白2红2），（白3红1），（白3红2）共6种情况，所以，摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为.（2）X表示摸出的2个球中的白球个数，则X可取，，，，则X的分布列为012考点三分布列的性质【例3-1】（2022春·江苏常州·高二常州市第一中学校联考期中）下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（

）X3456PA． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得.故选：C.【例3-2】（2022春·江西赣州·高二统考期末）若随机变量的分布列如表，则的值为（

）1234A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意可得：故选：C．【例3-3】（2023·全国·高二专题练习）设随机变量的分布列如下：123456P其中，，…，构成等差数列，则的最大值为___________.【答案】【解析】因为，，…，构成等差数列，所以，，因为，所以，即，所以，所以当时，取得最大值.故答案为：【一隅三反】1．（2022春·福建泉州·高二泉州市城东中学校考期中）若离散型随机变量的分布列如下图所示．01则实数的值为（

）A．或 B． C． D．或【答案】C【解析】依题意，，解得，所以实数的值为.故选：C0．（2022·高二课时练习）下列表中，可以作为某离散型随机变量的分布列的是（其中）（

）A．123B．123C．123D．123【答案】C【解析】选项A中，所以选项A不满足题意；选项B中概率之和为，事实上，所以选项B不满足题意；选项D中，都不符合概率的意义．所以选项D不满足题意；选项C中，，，，且，显然有解．所以选项C满足题意.故选：C3．（2022春·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考期中）（多选）设随机变量的分布列为，（），则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】选项A，由已知可得，，即，故该选项正确；选项B，，故该选项正确；选项C，，故该选项正确；选项D，，故该选项错误.故选：ABC.考点四两点分布【例4-1】（2023·全国·高二专题练习）（多选）下列选项中的随机变量服从两点分布的是（

）．A．抛掷一枚骰子，所得点数XB．某射手射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分，射手的得分XC．从装有5个红球，3个白球的袋子中取1个球，定义：“取出白球”，“取出红球”D．某医生做一次手术，手术成功的次数X【答案】CD【解析】两点分布又叫0-1分布，试验结果只有两个，并且随机变量的取值只有0，1两个，C，D满足题意；抛掷一枚骰子，所得点数X可能的结果为1，2，3，4，5，6，共6个，不是两点分布，A不满足题意；某射手射击一次的试验结果有两个，但随机变量X的取值是0，2，B不满足题意．故选：CD【例4-2】（2022·高二单元测试）已知随机变量，Y服从两点分布，若，，则（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】C【解析】随机变量,，解得（舍去，注意：），．故选:C．【一隅三反】1．（2022春·山东菏泽·高二曹县一中校考阶段练习）（多选）下列选项中的随机变量服从两点分布的是（

）A．抛掷一枚均匀的骰子，所得点数为B．某运动员罚球命中的概率为0.8，命中得1分，不中得0分，为罚球一次的得分C．从装有大小完全相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，D．从含有3件次品的100件产品中随机抽取一件，为抽到的次品件数【答案】BCD【解析】由两点分布的定义可知：对于A，X=1，2，3，4，5，6，所以不属于两点分布；对于B，X=0，1，属于两点分布；对于C，X=0，1，属于两点分布；对于D，抽取一次，则或为正品或为次品，故X=0，1，属于两点分布；