5.3.1 函数的单调性（精讲）（解析版）-人教版高中数学精讲精练选择性必修二

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5.3.1函数的单调性（精讲）考点一无参函数求单调区间【例1-1】（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，令，得，所以函数的单调递减区间是，故选：A.【例1-2】（2022·吉林·高二期末）函数的递增区间是（

）A． B．和C． D．【答案】C【解析】由题设，且，可得，所以递增区间为.故选：C【一隅三反】1．（2022·广西桂林·高二期末（文））函数的单调递减区间为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，当，或时，，所以为增函数，当时，，为增函数，故函数的单调递增区间为.故选：A.2．（2022·福建·莆田一中高二期中）若函数，则的一个单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，令，解得，所以的单调递增区间是，故选：B3．（2022·湖南）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，由解得：，所以函数的单调递减区间为．故选：B．考点二已知单调区间求参数【例2-1】82022·全国·高二课时练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立.令，则，所以在上单调递增，则，所以.故选:B.【例2-2】（2022·江西）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函数的定义域为，且其导数为．由存在单调递减区间知在上有解，即有解．因为函数的定义域为，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是．故选:B．【例2-3】（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若函数在定义域上恰有三个单调区间，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数在定义域上恰有三个单调区间，所以其导函数在定义域上有两个不同的零点，由可得，即，所以只需，方程在上有两个不同的实数根.故选：A.【一隅三反】1．（2022·广西河池）“”是“函数为增函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若函数单调递增，有恒成立，可得，解得：，因为，但，所以“”是“函数为增函数”的必要不充分条件.故选：B.2．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（文））已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因为在上为单调递增函数，故在上恒成立，所以即，故选：A.3．（2022·湖南）设函数，若在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可知，在内存在解，因为，所以在内存在解，等价于在内存在解，易知函数在上递增，在上递减，所以，当且仅当时取得，所以．故选：D．4．（2022·广西）已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，①当时函数单调递增，不合题意；②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得.故选：B．5（2022广东深圳）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题可知，函数的定义域为：，，则，当时，，所以函数单调递减，也可以说当时，函数单调递减，即函数的单调递减区间为，又函数在区间上单调递减，只需满足条件：，解得：，所以实数的取值范围是.故选：B.考点三导数的正负与函数的增减性【例3-1】（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（文））函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由导函数的图象，函数有三个极值点，一个小于0，两个大于0，设，当或，，单调递减；当或，，单调递增；只有D符合题意，故选：D【例3-2】（2022·河北邯郸·高二阶段练习）函数的部分图象如图所示，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意在上单调递减，所以符号不确定故选：D【一隅三反】1．（2022·四川遂宁·高二期末（理））设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（

）A．B．C． D．【答案】A【解析】由的图象可知，当时函数单调递增，则，故排除C、D；当时先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于，再大于，最后小于，故排除B；故选：A2．（2022·福建泉州·高二期中）已知函数的导函数为的图象如图所示，则函数的图象可能为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据导函数的正负可判断，原函数的单调性为先增后减再增，故排除AD,又C选项，递减区间斜率不变，故排除，故选：B.3．（2022·四川成都·高二期中（理））函数f（x）的图象如图所示，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由函数图象与导函数大小的关系可知：当时，，当时，，故当时，；当时，；当时，，故的解集为.故选：A考点四含参函数单调性的讨论【例4-1】（2022·广西）已知函数，讨论的单调性；【答案】答案见解析【解析】的定义域为当时，在上恒成立，故在上单调递减当时，，且时，，时，即在上单调递增，在上单调递减综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减【例4-2】（2022·云南）求函数的单调区间.【答案】见解析【解析】因为，所以.由，解得x＝0或x＝2a.当a＝0时，，所以f（x）在R上严格增，单调增区间为；当时，当时，；当时，，所以f（x）的单调增区间为及，单调减区间为（0，2a）；当时，当时，；当时，，所以f（x）的单调增区间为及，单调减区间为（2a，0）.【例4-3】（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）已知函数，．(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性．【答案】(1)(2)答案见解析【解析】(1)当时，，则，故，且，故在点处的切线方程为(2)求导可得，当时，，故当时，单调递增；当时，单调递减；当时，令，则，1.当时，，故当和时，，单调递减；当时，单调递增；2.当时：①当，即时，在，上，单调递增；在上，单调递减；②当，即时，，在定义域R单调递增；③当，即时，在，上，单调递增；在上，单调递减；综上有：当时，在，单调递减，单调递增．当时，在单调递增，单调递减．当时，在，单调递增，单调递减．当，在定义域R单调递增．当时，在，单调递增，单调递减．【一隅三反】1．（2022·河北迁安三中）已知函数.讨论函数的单调性；【答案】）答案见解析【解析】，定义域为，且，当，则，单调递增当，令，则；若，则，综上，当时，函数增区间为，无减区间当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；2．（2022·河南·荥阳市教育体育局教学研究室高二阶段练习）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程：(2)讨论的单调性．【答案】(1)(2)在上单调递减，在上单调递增.【解析】（1）当时，，则，∴，∴，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）函数的定义域为，①当时，恒成立，则在上单调递增；②当时，由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增.3．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）已知函数，．(1)求在x＝1处的切线方程；(2)设，试讨论函数的单调性．【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】（1）因为，则，所以，在x＝1处．在x＝1处切线方程：，即．（2）因为，所以，①若，则当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．②若，，当时，在和上，在上，所以在和上单调递增，在上单调递减；当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，在和上，在上，所以在和上单调递增，在上单调递减．综上，，在上单调递增，在上单调递减；，在和上单调递增，在上单调递减；，在上单调递增；，在和上单调递增，在上单调递减.4.（2022上海）已知f(x)＝alnx＋(a为常数)，求函数的单调区间.【答案】答案见解析【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，＋＝，当时，，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，①当，即时，g(x)≤0，则，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；②当－＜a＜0时，＞0，设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，则x1＝，x2＝，由x1＝＝＞0，x2＝＞0，且，所以当时，g(x)＜0，，函数f(x)单调递减，当时，g(x)＞0，，函数f(x)单调递增，当时，g(x)＜0，，函数f(x)单调递减，综上可得：当时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－＜a＜0时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增.考点五单调性的运用【例5-1】（2022·湖南）设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，则，因此函数在上是奇函数．①当时，，在时单调递增，故函数在上单调递增．，，．②当时，函数在上是奇函数，可知：在上单调递增，且（3），，的解集为．③当时，，不符合要求不等式的解集是，，．故选：D【例5-2】（2022·福建）已知，，，其中，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】构造函数，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，由，可得，即，即，由，可得，即，即，因为，在上单调递增，所以，故，因为在上单调递减，，故，因为，故，即，因为，所以，因为在上单调递减，，故，从而.故选：A【例5-3】（2022·宁夏）若，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】的定义域为，，所以是奇函数，在上递增，所以由得，所以，解得，所以不等式的解集是.故选：C【一隅三反】1．（2022·黑龙江）已知定义在R上的偶函数满足，，若，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】是定义在R上的偶函数，，则，即是奇函数，由，可得，构造，则，所以函数单调递增，，，即的周期为，则，即；不等式可化简为，即，所以，解得.故选：C2．（2022·宁夏）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，令，则