山东省A7联盟2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（解析）

高三数学测试卷（一）（本试题考试时间120分钟，满分150分）考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题只有一个选项符合题目要求．1.集合的子集个数为（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再求出子集个数即可.【详解】由题意，得,故集合A子集个数为个.故选：D.2.若复数z满足（i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则求出z，再根据复数的代数表示及其几何意义得出z对应的点，进而求解．【详解】设，则，则，即，所以，，解得，，故，对应的点在第四象限．故选：D．3.从，，1，3这4个数中随机取出2个不同的数，则这2个数的乘积不超过1的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用列举法得到基本事件数和符合条件的事件数，再利用古典概型概率公式求解即可.【详解】从，，1，3这4个数中随机取出2个不同的数，共有6种不同的情况，分别为，−2,3，−1,1，，，，满足乘积不超过1的为，−2,3，−1,1，，共有4种不同的情况，设概率为，故所求的概率为，故B正确.故选：B4.已知正三棱柱与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的高的比值为（）A. B. C.334π D.【答案】D【解析】【分析】设正三棱柱的底面边长为，高为，设圆柱的高为，表示出棱柱和圆柱的体积，由两体积相等化简可求出棱柱与圆柱的高的比值【详解】设正三棱柱的底面边长为，高为，等边的面积为12a·则正三棱柱的体积为34a设的外接圆半径为，则R=32a·23设圆柱的高为，则圆柱的体积πR2由题意得34a2故选：D.5.有四个幂函数：；；；.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：①它是偶函数；②它的值域是且；③它在上单调递增．若他给出的三个性质中有两个正确、一个错误，则他研究的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合给定条件利用幂函数性质判断即可.【详解】对于，它是定义在上的奇函数，值域是且，且在上单调递减，不满足题意.对于，它是定义域为的奇函数，值域是，且在上单调递增，不满足题意.对于，它是定义域为的奇函数，值域是，且在上单调递增，不满足题意.对于，它是定义在上的偶函数，值域是，且在上单调递增，满足题意．故选：D.6.对于平面上的动点P，且满足对于Ax1,y1，Bx2,y2；PA、PB长度之比为t（t不为0），则我们称P点运动所得的轨迹为“完美曲线”.若A−2,0，B4,0，．则下列和“完美曲线”有交点的有几个？（1）（2A.2 B.3 C.4 D.1【答案】C【解析】【分析】根据可得“完美曲线”表示圆心在，半径的圆，即可根据圆的范围求解（1），联立方程可判断（2），根据点到直线的距离求解（3），根据两圆的位置关系即可求解（4）.【详解】由题意可得,即，化简得，即，故“完美曲线”表示圆心在，半径的圆，对于,故与“完美曲线”有交点，对于,联立与可得，解得，故有交点，对于,圆心到直线的距离为，故直线与圆相交，有交点，对于，表示圆心半径的圆，则两圆的圆心距离为，故两圆相交，有交点，故选：C7.若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数的几何意义计算可得，结合基本不等式中“1”的活用计算即可得.【详解】，令，则，有，即，即，又为正实数，则，当且仅当，即时，等号成立.，故的取值范围是.故选：C.8.正项数列中，（为实数），若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据递推公式，求出，然后化简，令，得到关于的一个函数，根据函数的性质求其取值即可求解.【详解】因为，且，所以且为等比数列，公比为，因为，所以，所以，所以令，当且仅当时取等号，化简可得，令，因为，所以，所以，所以，所以的取值范围是．故选：A．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据等比数列的通项公式将式子转化为关于的式子，再利用换元法求出目标式子的取值范围.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分9.已知函数的部分图象如图所示，则（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据图象得，解得，再由解得，再代值即可求解.【详解】由图象可知，，则,故，解得，所以，由得，解得，即，又因为，所以，所以，故.故选：BCD.10.已知不等式对任意恒成立，其中，是整数，则的取值可以为（）A. B. C.0 D.8【答案】BD【解析】【分析】对b分类讨论，当时，由得到在上恒成立，则不存在；当时，由，结合图象利用数学结合的思想得出a，b的整数解．【详解】当时，由得到在上恒成立，则不存在，当时，由可设，，又的大致图象如下，那么由题意可知：，再由是整数得到或因此或-2．故选：BD11.由倍角公式可知，可以表示为的二次多项式.一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫（P.L.Tschebyscheff）多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据两角和的余弦公式，以及二倍角的正余弦公式化简可得，根据定义即可判断A项；根据二倍角公式可推得，即可得出B项；根据诱导公式以及A的结论可知，，.平方相加，即可得出，进而求出D项；假设C项成立，结合D项，检验即可判断.【详解】对于A：.由切比雪夫多项式可知，，即.令，可知，故A正确；对于B：.由切比雪夫多项式可知，，即.令，可知，故B正确；对于D：因为，，根据A项，可得，.又，所以，所以.令，可知，展开即可得出，所以，解方程可得.因为，所以，所以，所以，故D正确；对于C：假设，因为，则，显然不正确，故假设不正确，故C错误.故选：ABD.【点睛】方法点睛：根据题意多项式的定义，结合两角和以及二倍角的余弦公式，化简可求出，换元即可得出.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分12.若，，则______.【答案】2【解析】【分析】对两边平方求出，再对两边平方再开方可得答案.【详解】若，，则，可得，则.故答案为：2.13.已知某射击运动员在10次射击中，命中环数的平均数为7，方差为4，现增加两次射击，命中环数分别是6和8，则该射击运动员的这12次射击的命中环数的方差为_______.【答案】##【解析】【分析】设前10次射击的命中环数分别为，由题意先算出12次射击的命中环数的平均数，然后由方差的计算公式求解即可.【详解】设前10次射击的命中环数分别为，则即，由方差为，得，即，所以增加两次射击后，这12次射击的命中环数的平均数为：，所以这12次射击的命中环数的方差为：.故答案为：14.设集合，（，）且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为____________.【答案】16【解析】【分析】先根据中数除以的余数将集合进行分组，然后根据整除的知识求得正确答案.【详解】根据除以5的余数，可将A集合分为5组：，则，，则，，则，，则，，则，A中的任何两个数之和不能被5整除，故和，和中不能同时取数，且中最多取一个，∴最多的取法是取和中的一个元素，，故n的最大值为16.故答案为：【点睛】两数之和能被整除，则两数分别除以的余数之和能被整除.本题的分析方法是先求得中所有数除以的余数，从而进行分组，分组之后根据和能被整除的知识来求得正确答案.四、解答题：本题共5小题，满分77分解答题（一）15~17题，每题有2问，（1）问所有考生必须作答，（2）问在（i）（ii）中任选一题作答.考生选的序号不同，题目满分不同.若选择（i），满分为8分；选择（ii），满分4分.若多做，则按第一小题计分.解答时，先在答题卡上将所选序号涂黑，然后作答.15.如图，在中，，，，P为内一点，．（1）若，求PA；（2）（i）若，求．（ii）求的取值范围．【答案】（1）（2）（i）,（ii）【解析】【分析】（1）在中运用余弦定理可解；（2）（i）设，由已知得，在中，由正弦定理可解.（ii）设，则,运用锐角三角函数将转化为关于的正弦型函数，求值域即可.【小问1详解】由已知易得，所以.在中，由余弦定理得，故.【小问2详解】（i）设，由已知得，在中，由正弦定理得，化简得，所以，即.（ii）设，则.根据题意知道则.由于，则.则.则.则的取值范围.16.已知数列的前n项和为（n为正整数），若，．（1）求；（2）（i）证明：；（ii）解不等式：．【答案】（1）4102650（2）（i）证明见解析，（ii）【解析】【分析】（1）通过与的关系，选择作差法，再由累乘法，求得通项公式，即可求解；（2）（i）先裂项求和，再证明不等式（ii）直接求解.【小问1详解】因为，所以当时，，两式作差可得，整理得．，令，则，所以，所以，则，当时，也符合上式，综上，．所以.小问2详解】由（1）知：所以所以不等式成立.（ii）由（1）知：解得：，所以17.如图①，已知三角形是边长为2的等边三角形，是的中点，，如图②，将沿边翻折至．（1）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；（2）（i）若平面与平面所成的二面角的正切值为，求点到直线的距离．（ii）若点在平面上投影在上，求平面与直线所成角的正弦值．【答案】（1）存在，（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）在图①中，取的中点，连接，证明，则平面，在线段上取点使，连接，，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得解；（2）（i）连接，取的中点，连接，平面，易得，则即为平面与平面所成的二面角的平面角，求出，再利用等面积法求解即可.（ii）由题可得平面，，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式求解即可.【小问1详解】（1）在图①中，取的中点，连接，如图所示，因为是等边三角形，的中点为，所以,因为，所以，在图②中，，平面，平面，所以平面，且，在线段上取点使，连接，，如图所示，因为，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面，所以存在点满足题意，且；【小问2详解】（i）如图所示，连接，取的中点，连接，由折叠性质可得平面，平面，因为平面，所以平面，又平面，所以，因为为的中点，所以，所以即为平面与平面所成的二面角的平面角，由（1）可得，，因为平面与平面所成的二面角的正切值为，所以，所以，所以，所以，设点到直线的距离为，则，即，解得，即点到直线的距离为.（ii）因为点在平面上的投影在上，且，所以点在平面上的投影为，则平面，结合（i）可得，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系；，，，，所以，，，设平面的法向量为，所以，令，则设平面与直线所成角为，所以解答题（二）18~19小题，每题17分，考生须作答所有小问.18.已知抛物线.过抛物线焦点F作直线分别在第一、四象限交于两点，过原点O作直线与抛物线的准线交于E点，设两直线交点为S.若当点P的纵坐标为时，.（1）求抛物线的方程.（2）若平行于x轴，证明：S在抛物线C上.（3）在（2）的条件下，记的重心为R，延长交于Q，直线交抛物线于（T在右侧），设中点为G，求与面积之比n的取值范围.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用两点距离公式可计算P坐标，代入抛物线方程即可；（2）设方程及坐标，利用E坐标表示方程，联立方程得出S坐标，结合点在抛物线与直线上消元转化即可证明；（3）设坐标及直线方程，利用坐标表示，结合焦点弦的性质消元转化表示，并根据几何性质把面积比化为线段比，再化为坐标比，构造函数计算其范围即可.【小问1详解】因为若当点P的纵坐标为时，,不妨设Pa,−2a>0，则，即，代入抛物线方程有，所以；【小问2详解】由（1）知，C的准线，不妨设Px1,若平行于x轴，则，所以，整理得，联立方程有，又在抛物线C和直线上，即，则有，此时，即，则S在抛物线C上，证毕；【小问3详解】在（2）的条件下可知两点重合，由重心的性质不难知Q为线段的中点，同（2），仍设Px1,则，联立，所以，且，则，可知，整理得，设，与C联立有，所以，即，由于Q为线段的中点，所以到直线的距离相等，则，设，若，则，显然，所以；若，则；若，则，所以；综上.【点睛】思路点睛：第二问是教材例题的变式，设点坐标表示相应直线方程，求出S坐标，验证其横纵坐标是否满足抛物线方程即可；第三问，仍是利用点坐标来表示直线方程，利用韦达定理表示，并根据几何性质把面积比化为线段比，再化为坐标比，构造函数计算其范围即可.19.已知集合（，），若存在数阵满足：①；②．则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”．（1）已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值；（2）若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个；（3）判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由．【答案】（1），，，（2）证明见解析（3）是“好集合”，满足的“好数阵”有，，，；不是“好集合”，证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据定义解出未知量的值；（2）可构造恰当的映射，以证明结论；（3）第三问可通过分类讨论求解问题.【小问1详解】由“好数阵”的定义，知，，，，故，，，，进一步得到，.从而，，，.【小问2详解】如果是一个“好数阵”，则，.从而，.故也是一个“好数阵”.由于是偶数，故，从而.这就说明两数阵和的第1行第2列的数不相等，从而是不同的数阵.设全体“好数阵”构成的集合为