4.3 等比数列（精练）（解析版）-人教版高中数学精讲精练选择性必修二

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4.3等比数列（精练）1等比数列基本量的运算1．（2022高二下·平谷期末）已知等比数列满足，则等于（）A．±32 B．-32 C．±64 D．-64【答案】D【解析】根据题意，设等比数列的公比为，若，，则有，解得，故.故答案为：D.2．（2022高二下·镇江期末）已知数列满足，且，则数列的前四项和的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题设是首项为2、公比为的等比数列，即，所以.故答案为：C3．（2022高二下·昆明期末）在等比数列中，，，则（）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】在等比数列中，由得，所以，，所以。故答案为：D.4．（2022焦作开学考）已知等比数列中，，，则（）A．27 B．9 C．±9 D．+27【答案】A【解析】因为数列为等比数列，所以，可得；因为，所以，，，所以.故答案为：A.5．（2022遵义开学考）已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（）A．80 B．81 C．243 D．242【答案】D【解析】设数列公比是，则，由，因，故解得，所以．故答案为：D．6．（2022高二下·邢台期末）设单调递增的等比数列满足，，则公比（）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】因为为等比数列，所以，所以，则，又单调递增，所以，解得：，，则，因为，所以．故答案为：A7．（2022高二下·营口期末）等比数列中，已知：，，则公比（）A． B．2 C． D．3【答案】B【解析】因为是等比数列，所以，故，故答案为：B8．（2022·内江模拟）已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（）A．3 B．2 C．-3 D．-2【答案】A【解析】将等式与作差得，，因此，该等比数列的公比，故答案为：A.9．（2021高二上·深圳期末）已知等比数列{an}的前n项和为S，若，且，则S3等于（）A．28 B．26 C．28或-12 D．26或-10【答案】C【解析】由可得，即，所以，又因为，解得，所以，即，当时，，所以，当时，，所以。故答案为：C10．（2022湖州）已知等比数列的公比为正数，且，，则（）A．4 B．2 C．1 D．【答案】D【解析】设等比数列的公比为（），由题意得，且，即，，因为，所以，，故答案为：D11．（2022武汉开学考）设正项等比数列的前项和为，若，则（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】设正项等比数列的公比为q（q>0），则由得，即，即，即，解得（舍去）.由得，即，将代入得，解得，则。故答案为：A.12．（2022·江苏·高二课时练习）在等比数列中，(1)已知，，求q和；(2)已知，，求和；(3)已知，，求q和.【答案】(1)当时，,当时，；(2)，；(3)当时，,当时，.【解析】(1)解：，解得：，当时，,当时，.(2)解：,解得：，所以(3)解：，解得：或，当时，,当时，.2等比数列的中项性质及应用1．（2022·黑龙江）数列在各项为正数的等比数列中，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，对任意的，，由等比中项的性质可得，则.因此，.故选：C.2．（2022·甘肃）在等比数列中，，，则（

）A．2 B．±2 C．2或 D．【答案】A【解析】设的公比为q，由，则，解得（舍去），故，所以，.故选：A.3．（2022·四川）若a，b，c为实数，数列是等比数列，则b的值为（

）A．5 B． C． D．【答案】B【解析】设等比数列的公比为，所以，根据等比数列的性质可知，解得.故选：B4．（2022·广东）在等差数列中，若，，则和的等比中项为（

）.A． B．6 C． D．36【答案】C【解析】根据等差数列的性质：若则可得，所以，所以和的等比中项为.故选：C.5．（2022·江苏）三个实数成等差数列，首项是，若将第二项加、第三项加可使得这三个数依次构成等比数列，则的所有取值中的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设原来的三个数为、、，由题意可知，，，，且，所以，，即，解得或.则的所有取值中的最小值是.故选：D.6．（2022·陕西）已知等差数列的公差是，若，，成等比数列，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为等差数列的公差为2，且，，成等比数列，所以，即，解得，故选：A7.（2022·云南）数列为等比数列，，，命题，命题是、的等比中项，则是的（

）条件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】因为数列为等比数列，且，，若，则，则是、的等比中项，即；若是、的等比中项，设的公比为，则，因为，故，即.因此，是的充要条件.故选：A.3等比数列前n项和的性质1．（2022·河南）在等比数列中，已知前n项和，则a的值为（

）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】B【解析】，由于是等比数列，所以，即.故选：B2．（2022·安徽省）已知等比数列的前2项和为2，前4项和为8，则它的前6项和为（

）A．12 B．22 C．26 D．32【答案】C【解析】设等比数列的前n项和为，公比为q,则,则，而，故，所以数列前6项和为，故选：C.3．（2022·全国·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（

）A． B． C．12 D．15【答案】C【解析】由等比数列的性质可得也为等比数列，又，故可得即，解得或，因为等比数列各项为正，所以，故选：C4．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习）设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，且也成等比数列，因为，，所以，所以8，-1，S9-S6成等比数列，所以8(S9-S6)=1，即，所以.故B，C，D错误.故选：A.5．（2022·四川省内江市第二中学高二开学考试（文））等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，则S9＝（）A．50 B．100 C．146 D．128【答案】C【解析】根据题意：S3＝a1+a2+a3＝2，S6＝9S3＝18，则S6﹣S3＝18﹣2＝16，根据等比数列的性质可知，S3，S6﹣S3，S9﹣S6构成等比数列，故，即S9﹣S6＝128，故S9＝S6+128＝146，故选：C．6．（2022·宁夏·平罗中学）等比数列的前n项和为，已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为且为等比数列，故为等比数列，故，解得，故选：B.7．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，则，所以，，因为，可得，因此，.故选：C.8．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为______．【答案】450【解析】在等比数列中，公比，则有，而，于是得，所以数列的前100项和．故答案为：4509．（2022·全国·高二课时练习）已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______.【答案】【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为，则，由，得，因为，所以，所以，.故答案为：.10．（2022广东）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为_________【答案】10【解析】设等比数列项数为项，公比为，则，，由，解得，因为是公比为的等比数列，则，即，解得，故答案为:10.4等比数列的证明或判断1．（2022·福建省福州屏东中学高三阶段练习）已知数列满足，，，求证：数列是等比数列；【答案】证明见解析【解析】因为，,所以是首项为1，公比为的等比数列；2.（2022·广东）已知数列满足，设，证明：数列为等比数列；【答案】见解析【解析】证明：因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列3.（2022·宁夏）在数列中，，，，求证：是等比数列；【答案】证明见解析【解析】由得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列.4．（2022·江西·瑞金市第三中学高三阶段练习（文））已知数列中，且．(1)求证：数列为等比数列；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）因为，，所以，又因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）得，，所以，，．5．（2022·北京丰台·高二期中）已知数列满足，，.(1)请写出数列的前5项；(2)证明数列是等比数列；(3)求数列的通项公式.【答案】(1)，，，，；(2)证明见解析；(3).【解析】(1)解：因为数列满足，，.所以，，，，所以数列的前5项为：，，，，；(2)解：，，因此，数列是等比数列；(3)解：由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，.6．（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）在数列中，表示其前项和，满足，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；【答案】证明见解析；；【解析】，，，整理可得：，，又当时，，解得：，，数列是以为首项，为公比的等比数列，，数列的通项公式为；7（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，证明：数列为等比数列.【答案】证明见解析【解析】证明：当时，，则.因为，①所以，②由②①得，化简可得，，所以数列是一个公比为的等比数列.8．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）数列满足，数列，数列(1)求证:数列是等比数列；(2)求数列的通项公式．【答案】(1)证明见解析；(2)，.【解析】(1)由题设，且，即且，而，所以且，则是首项为，公比为的等比数列，得证.(2)由（1）可得：，故，则，所以.则的通项公式为.5等比数列的单调性1．（2022·全国·高二课时练习）（多选）关于递增等比数列，下列说法正确的是（

）．A．当时， B．当时，C．当时， D．【答案】AC【解析】A．当，时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列递增，正确；B．当，时，为摆动数列，故错误；C．当，时，数列为递增数列，故正确；D．，当时，，此时，当时，，，故错误故选AC．2．（2022高二下·西城期末）在等比数列{}中，．记，则数列{}（）A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【答案】A【解析】设等比数列为q，则等比数列的公比，所以，则其通项公式为：，所以，令，所以当或时，t有最大值，无最小值，即有最大值，无最小值，结合前面，当为正数时，为正数，当为负数时，为负数，所以当时，有最小项，当时，有最大项.故答案为：A.3．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）已知数列是无穷项等比数列，“”是“单调递增”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】因为单调递增，所以，所以必要性成立；因为数列是无穷项等比数列，且，所以，当时，则解得，此时，所以，即；当时，则解得，此时，所以，即，综上所述，即单调递增，所以充分性成立，则“”是“单调递增”的充分必要条件，故选：C4（2022·湖南）（多选）等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论其中正确的结论是（

）A． B． C．的值是中最大的 D．T99的值是Tn中最大的【答案】ABD【解析】对于A，，，即，，又，又，，且，，故A正确；对于B，，，即，故B正确；对于C，由于，而，故有，故C错误；对于D，由题可知，所以当时，，即，当时，，即，∴T99的值是Tn中最大的，故D正确.故选：.5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等比数列满足，公比，且，，则（

）A． B．当时，最小C．当时，最小 D．存在，使得【答案】AC【解析】对A，∵，，∴，又，，∴，故A正确；对B，C，由等比数列的性质，，故，，，∴，∵，，，∴，，∴，故当时，最小，B错误，C正确；对D，当时，，故，故D错误.故选：AC．6等比数列的实际应用1．（2022沈阳月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（）A．6里 B．5里 C．4里 D．3里【答案】A【解析】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解得：，.故答案为：A．2．（2022·四川）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（

）A．该人第五天走的路程为14里B．该人第三天走的路程为42里C．该人前三天共走的路程为330里D．该人最后三天共走的路程为42里【答案】D【解析】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为的等比数列，设数列前n项和为，则，故，解得，则，故，该人第五天走的路程为12里，A错误；，该人第三天走的路程为48里，B错误；，该人前三天共走的路程为里，C错误；由（里），可知该人最后三天共走的路程为42里，D正确，故选：D3．（2022·河南濮阳·高二期末（理））5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的5G基站海拔6500米．从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，8个工程队所建的基站数依次成等比数列，比为，记第一个工程队承建的基站数为（万），则，．故选：B．4．（2022·北京顺义·高二期末）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马､”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马，羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还（

）斗粟A． B． C． D．【答案】B【解析】设牛主人应偿还x斗粟，则马主人应偿还斗粟，羊主人应偿还斗粟，所以，解得：.故选：B5．（2022·安徽·合肥一中高二期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染个人，为第一轮传染，这个人中每人再传染个人，为第二轮传染，…….一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.注射新冠疫苗后可以使身体对新冠病毒产生抗体，但是正常情况下不能提高人体免疫力，据统计最新一轮的奥密克戎新冠变异株的基本传染数，感染周期为4天，设从一位感染者开始，传播若干轮后感染的总人数超过7200人，需要的天数至少为（

）A．4 B．12 C．16 D．20【答案】C【解析】依题意，每轮感染人数依次组成公比为9的等比数列，经过n轮传播感染人数之和为：，得，显然是递增数列，而，则，而每轮感染周期为4天，所以需要的天数至少为16.故选：C6．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（文））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人最后一天走的路程是（

）A．192里 B．96里 C．12里 D．6里【答案】D【解析】设第天走的路程为，，所以此人每天走的路程可构成等比数列，依题可知，公比为，所以，解得，．所以（里）故选：D．7．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长，则该公司需经过（

）年其投入资金开始超过万元.（参考数据：，，）A． B． C． D．【答案】C【解析】设该公司经过年投入的资金为万元，则，由题意可知，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，，由可得，因此，该公司需经过年其投入资金开始超过万元.故选：C.8．（2022·福建莆田）芝诺是古希腊著名的哲学家，他曾提出一个著名的悖论，史称芝诺悖论．芝诺悖论的大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的竞赛中，他的速度为乌龟的十倍，乌龟在他前面100米爬，他在后面追，但他不可能追上乌龟．原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已经向前爬了10米．于是一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追完乌龟爬的这10米时，乌龟又向前爬了1米，阿喀琉斯只