专题9.2 椭圆方程与性质（原卷版）

9.2椭圆方程与性质思维导图知识点总结内容提要1.椭圆定义：设F1，F2是平面上的两个定点，若平面内的点P满足PF2.椭圆的简单几何性质：标准方程x焦点坐标F焦距F1F图形范围−对称性关于x轴、y轴、原点对称顶点坐标左、右顶点：A上、下顶点：B长轴长A1A2短轴长离心率3.通径：经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦叫做通径(如图中两条蓝色的线段)，其长度为_____.典型例题分析考向一椭圆定义与应用[例1]椭圆x29+y22=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF[变式]已知椭圆C：x24+y23=考向二椭圆的标准方程【例2】以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．【变式】已知，B是圆C：上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则动点P的轨迹方程为.考向三椭圆的离心率问题【例3】如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用椭圆与圆的性质计算即可.【详解】设，易知，则，，又，所以.故选：C【变式1】若、为椭圆：的左、右焦点，焦距为4，点为上一点，若对任意的，均存在四个不同的点满足，则的离心率的取值范围为.【答案】【分析】利用平面向量数量积的运算律和椭圆的性质求解.【详解】由题可得，，设为坐标原点，则,所以,即，因为，所以，若存在四个不同的点满足，又，所以，即，所以，所以，所以，故答案为:.【变式2】已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为．【答案】/【分析】求出线段的中点坐标，根据两直线垂直斜率关系可得，再结合可求得离心率.【详解】

如图，设的垂直平分线与交于点，由题，，，，则，，，，，化简得，，由，解得，，即.故答案为：.考向四椭圆的焦点三角形问题【例4】设F1，F2为椭圆x29+y24=【变式】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b考向五椭圆有关的最值与范围问题【例5】已知椭圆的离心率为，上顶点为A，左顶点为B，，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围为．【变式1】已知椭圆：的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)点、是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，，且，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标.【变式2】如图，点是椭圆的短轴位于轴下方的端点，过作斜率为的直线交椭圆于点，若点的坐标为，且满足轴，．(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的左顶点为，左焦点为，点为椭圆上任意一点，求的取值范围．基础题型训练一、单选题1．过椭圆的左顶点A作圆(2c是椭圆的焦距)两条切线，切点分别为M，N，若∠MAN=60°，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2．方程表示椭圆的充要条件是（

）A． B．C． D．3．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若，则的余弦值为（

）A． B． C． D．4．过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为(

)A． B． C． D．5．若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（

）A． B．椭圆的焦距为C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则6．已知椭圆的左､右焦点分别为，，M为E上一点.若，，则E的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题7．已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（

）A． B．C． D．8．设P是椭圆上的动点，则（

）A．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为B．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为C．点P到左焦点距离的最大值为D．点P到左焦点距离的最大值为三、填空题9．以椭圆的对称轴为坐标轴，若该椭圆短轴的一个端点与两焦点是一个正三角形的三个顶点，焦点在轴上，且，则椭圆的标准方程是．10．椭圆（）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若垂直于，则椭圆的离心率为．11．椭圆的离心率为，则实数．12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于A，B两点，满足且，则．四、解答题13．已知椭圆(a>b>0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2，求椭圆的离心率的取值范围．14．椭圆焦距为4，经过点，，分别为它的左右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求外接圆的标准方程．15．已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值．（1）试求动点的轨迹方程；（2）设直线：与曲线交于，两点，求．16．已知椭圆的右焦点为，且椭圆上的一点到其两焦点的距离之和为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于不同两点，且.若点满足，求.提升题型训练一、单选题1．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．2．圆与圆相外切，与圆相内切，则圆的圆心在（

）A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上C．一条抛物线上 D．一个圆上3．已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定4．椭圆为参数)的离心率是()A． B． C． D．5．函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆（，）上，则的最小值为（

）A．12 B．14 C．16 D．186．记椭圆的左焦点和右焦点分别为，右顶点为，过且倾斜角为的直线上有一点，且在轴上的投影为.连接，的方向向量，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题7．已知是椭圆：上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（

）A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率C． D．的面积的最大值是48．一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有（

）A．若，且点在以，为焦点的“黄金椭圆”上，则的周长为B．若是“黄金椭圆”，则C．若“黄金椭圆”的左焦点是，右顶点和上顶点分别是，，则D．设焦点在轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为，“黄金椭圆”上动点（异于，），设直线，的斜率分别为，，则三、填空题9．若椭圆的两焦点分别为，，点P在椭圆上，且三角形的面积的最大值为12，则此椭圆方程是．10．已知椭圆，左焦点，右顶点，上顶点，满足，则椭圆的离心率为.11．已知A、B、P是椭圆上的三个不同的点.O为坐标点，，且，则椭圆C的离心率为.12．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是．四、解答题13．如图，椭圆的上半部分拱形用于支撑横跨20m水面宽的桥，拱的中心距河面6m.试写出椭圆的一个方程.

14．求下列椭圆的标准方程：（Ⅰ）焦点在x轴上，离心率，且经过点；（Ⅱ）以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且与双曲线有相同的焦点．15．已知点在椭圆上，且点到椭圆左顶点的距离是到右顶点距离的倍(