专题 实际问题与一元二次方程的常见题型（八大题型）（解析版）

（苏科版）九年级上册数学《第1章一元二次方程》专题实际问题与一元二次方程的常见题型题型一传播问题题型一传播问题1．（2022•平原县模拟）某年冬天流感大暴发，有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，根据“有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）利用经过三轮传染后患流感的人数＝经过两轮传染后患流感的人数×（1+每轮传染中平均一个人传染的人数），即可求出结论．【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，依题意得：1+x+x（1+x）＝144，解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了11个人．（2）144×（1+11）＝144×12＝1728（个）．答：如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有1728个人患流感．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．2．有一种传染性疾病，蔓延速度极快．据统计，在人群密集的某城市里，通常情况下，每人一天能传染给若干人，现有一人患了这种疾病，开始两天共有225人患上此病，通过计算解答下面的问题：（1）求每天一人传染了几人？（2）两天后，人们有所觉察，这样平均一个人一天以少传播5人的速度在递减，求再过两天共有多少人患有此病？【分析】（1）第一天患病的人数为1+1×传播的人数；第一天患病人数将成为第二天的传染源，第二天患病的人数为第一天患病的人数×传播的人数，等量关系为：第一天患病的人数+第二天患病的人数＝225；（2）再过两天的患病人数＝225+225×（原来的传播人数﹣5）+前3天一共患病的人数×（第3天的传播人数﹣5）．【解答】解：（1）设每天一人传染了x人．1+x+（1+x）×x＝225，（1+x）2＝225，∵1+x＞0，∴1+x＝15，x＝14．答：每天一人传染了14人；（2）再过两天的患病人数＝225+225×（14﹣5）+[225+225×（14﹣5）]×（14﹣5﹣5）＝11250．答：共有11250人患病．【点评】考查一元二次方程的应用；得到两天患病人数的等量关系是解决本题的关键；易错点是理解第一天患病的总人数是第二天的传染源．3．（2022秋•南海区月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数．【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，依题意得：1+x+x2＝43，整理得：x2+x﹣42＝0，解得：x1＝﹣7（不合题意，舍去），x2＝6．答：这种植物每个支干长出的小分支个数为6．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？【分析】设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播后，共有111人参与列出方程求解即可．【解答】解：由题意，得n+n2+1＝111，解得：n1＝﹣11（舍去），n2＝10．故n的值是10．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为111人建立方程是关键．5．某种病毒传播速度非常快，如果最初有两个人感染这种病毒，经两轮传播后，就有五十个人被感染，求每轮传播中平均一个人会传染给几个人？若病毒得不到有效控制，三轮传播后将有多少人被感染？【分析】设每轮传播中平均一个人会传染给x个人，则第一轮会传染给2x人，第二轮会传染给x（2+2x）人，根据经两轮传播后共五十个人被感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出每轮传播中平均一个人会传染给4个人，再利用经过三轮传播后被感染的人数＝经过两轮传播后被感染的人数×（1+每轮传播中平均一个人传染的人数），即可求出结论．【解答】解：设每轮传播中平均一个人会传染给x个人，则第一轮会传染给2x人，第二轮会传染给x（2+2x）人，依题意得：2+2x+x（2+2x）＝50，整理得：x2+2x﹣24＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣6（不合题意，舍去），∴50（1+4）＝50×5＝250（人）．答：每轮传播中平均一个人会传染给4个人，若病毒得不到有效控制，三轮传播后将有250人被感染．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．题型二单循环与双循环问题题型二单循环与双循环问题1．（2023春•大连期末）区教育局要组织辖区内学校进行足球友谊赛，赛制为单循环形式，即每两所学校之间都赛一场，计划安排28场比赛，应邀请多少所学校参加比赛？【分析】设应邀请x所学校参加比赛，利用比赛的总场数＝参赛学校数×（参赛学校数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：设应邀请x所学校参加比赛，根据题意得：12x（x﹣1）＝28整理得：x2﹣x﹣56＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣7（不符合题意，舍去）．答：应邀请8所学校参加比赛．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签定了两份合同，所有公司共签定了90份合同，共有多少家公司参加商品交易会？【分析】设共有x家公司参加商品交易会，利用签订合同的总份数＝参会公司数×（参会公司数﹣1），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论．【解答】解：设共有x家公司参加商品交易会，根据题意得：x（x﹣1）＝90，整理得：x2﹣x﹣90＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）．答：共有10家公司参加商品交易会．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，问参加酒会的有多少人？【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设参加酒会的人数为x人，根据题意得：12x（x﹣1）＝55整理，得：x2﹣x﹣110＝0，解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：参加酒会的人数为11人．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．中秋节期间，我校数学兴趣小组同学都向本组其他同学各发了一条祝福短信，据统计，发了210条祝福语，问这个数学兴趣小组有多少学生？【分析】根据数学兴趣小组同学都向本组其他同学各发了一条祝福短信，据统计，发了210条祝福语，可以列出相应的二元一次方程，然后解方程即可．【解答】解：设这个数学兴趣小组有x名学生，x（x﹣1）＝210，解得，x1＝15，x2＝﹣14（舍去），答：这个数学兴趣小组有15名学生．【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的双循环问题．5．（2022秋•江夏区校级月考）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．（1）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数；（2）小明由握手问题想到了另一个数学问题：若某一直线上共有m个点，则由这些点中任意两点所连线段的总数为．【分析】（1）设参加聚会的人数为x人，利用握手总次数＝参加聚会的人数×（参加聚会的人数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）利用由这些点中任意两点所连线段的总数＝点的个数×（点的个数﹣1）÷2，即可用含m的代数式表示出由这些点中任意两点所连线段的总数．【解答】解：（1）设参加聚会的人数为x人，依题意得：12x（x﹣1）＝36整理得：x2﹣x﹣72＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）．答：参加聚会的人数为9人．（2）依题意得：由这些点中任意两点所连线段的总数为12m（m﹣1故答案为：12m（m﹣1【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．题型三数字问题题型三数字问题1．有一个两位数，它的个位数字比十位数字大3，个位数字与十位数字的平方和比这两个数大18，求这个两位数．【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数+18，把相关数值代入求得整数解即可．【解答】解：设个位上的数字为x，则十位上的数字为（x﹣3）．可列方程为：x2+（x﹣3）2＝10（x﹣3）+x+18解得x1＝7，x2＝1.5（舍），∴x﹣3＝4，∴10（x﹣3）+x＝47．答：这个两位数为47．【点评】考查一元二次方程的应用，用到的知识点为：两位数＝10×十位数字+个位数字，解题的关键是能够表示这个两位数．2．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．【分析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2），根据十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2），根据题意得：3x（x+2）＝10x+（x+2），整理得：3x2﹣5x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2=-1∴x+2＝4，∴这个两位数为24．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2022秋•连云港期末）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？【分析】先设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是[10（x﹣3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解即可．【解答】解：设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是10（x﹣3）+x，依题意得：x2＝10（x﹣3）+x，∴x2﹣11x+30＝0，∴x1＝5，x2＝6，∴x﹣3＝2或3．答：这个两位数是25或36．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．4．一个两位数的两个数字之和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，他与原两位数的积为1458，求原两位数．【分析】设个位数字为x，则十位数字为（9﹣x）．依据“把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，他与原两位数的积为1458”列出方程．【解答】解：设个位数字为x，则十位数字为（9﹣x）．则[10x+（9﹣x）][10（9x）+x]＝1458整理，得（x﹣8）（x﹣1）＝0，解得x＝8或x＝1答：这个两位数是81或18．【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．5．（2023春•绿园区期末）如图是某月日历表的一部分，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数（如12，13，14，19，20，21，26，27，28）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为161，求这9个数中最小数.【分析】设最小数为x，则另外八个数分别为（x+1），（x+2），（x+7），（x+8），（x+9），（x+14），（x+15），（x+16），根据最大数与最小数的积为161，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，再将九个数相加即可得出结论．【解答】解：设最小数为x，则另外八个数分别为（x+1），（x+2），（x+7），（x+8），（x+9），（x+14），（x+15），（x+16），依题意，得：x（x+16）＝161，解得：x1＝7，x2＝﹣23（不合题意，舍去），答：这9个数中最小数为7．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．题型四平均变化率问题题型四平均变化率问题1．（2023春•湛江期末）我市某景区今年3月份接待游客人数为10万人，5月份接待游客人数增加到12.1万人．（1）求这两个月游客人数的月平均增长率；（2）若月平均增长率不变，预计6月份的游客人数是多少？【分析】根据增长率的定义处理（1）设平均增长率为x，依题意，得10（1+x）2＝12.1，解方程；（2）基期数据为12.1，增长期间为1个月，依公式计算求解．【解答】解：（1）设这两个月游客人数的月平均增长率为x，依题意，得：10（1+x）2＝12.1，解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1．答：这两个月游客人数的月平均增长率为10%；（2）12.1×（1+10%）＝13.31（万人）．答：按照这个增长率，预计6月份的游客人数是13.31万人．【点评】本题考查一元二次方程的应用；熟练增长率的定义及计算公式是解题的关键．2．（2023春•余姚市期末）随着科技的发展，某省正加快布局以5G等为代表的新兴产业．据统计，目前该省5G基站数量约1.5万座；计划到今年底，全省5G基站数是目前的4倍；到后年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）计划在今年底，全省5G基站数量是多少万座？（2）按照计划，从今年底到后年底，全省5G基站数量的年平均增长率为多少？【分析】（1）利用到今年底全省5G基站数量＝目前该省5G基站数量×4，即可求出结论；（2）设从今年底到后年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，利用到后年底全省5G基站数量＝到今年底全省5G基站数量×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）1.5×4＝6（万座）．答：计划在今年底，全省5G基站数量是6万座．（2）设从今年底到后年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，依题意得：6（1+x）2＝17.34，解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（不合题意，舍去）．答：按照计划，从今年底到后年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2023•东莞市校级开学）台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？【分析】（1）解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）2＝第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可；（2）第三天收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）＝第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可．【解答】解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，3000×（1+x）2＝4320，解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），答：捐款增长率为20%．（2）4320×（1+20%）＝5184元．答：第四天该单位能收到5184元捐款．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，列方程的依据是：第一天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）2＝第三天收到捐款钱数．4．（2023•清镇市模拟）贵州省政府近日宣布，从2023年8月1日起，将推出一系列旅游优惠政策，以激励更多游客到贵州旅游，某旅游景点为了响应政府号召，将对旅游团体购买门票实行优惠活动，决定在原定票价基础上每张降价40元，这样按原定票价需花费3600元购买的门票张数，现在只花费了2400元．（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续两次降价后降为97.2元，求平均每次降价的百分率．【分析】（1）设每张门票的原定票价为x元，则优惠后每张门票的票价为（x﹣40）元，利用数量＝总价÷单价，结合“按原定票价需花费3600元购买的门票张数，现在只花费了2400元”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出每张门票的原定票价；（2）设平均每次降价的百分率为y，利用经过两次降价后的票价＝原定票价×（1﹣平均每次降价的百分率）2，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则优惠后每张门票的票价为（x﹣40）元，根据题意得：3600x解得：x＝120，经检验，x＝120是所列方程的解，且符合题意．答：每张门票的原定票价为120元；（2）设平均每次降价的百分率为y，根据题意得：120（1﹣y）2＝97.2，解得：y1＝0.1＝10%，y2＝1.9（不符合题意，舍去）．答：平均每次降价的百分率为10%．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．5．（2023春•仓山区校级期末）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的20名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？【分析】（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，利用今年五月份完成投递的快递总件数＝今年三月份完成投递的快递总件数×（1+该快递公司投递快递总件数的月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）求出今年6月份的快递投递任务及20名快递投递业务员一个月的最大投递量，比较后可得出该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，设需要增加y名快递投递员，根据一个月的投递量不少于13.31万件，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．【解答】解：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，依题意得：10（1+x）2＝12.1，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）．答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．（2）12.1×（1+10%）＝13.31（万件），∵0.6×16＝9.6（万件），9.6＜13.31，∴该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务．设需要增加y名快递投递员，依题意得：0.6（20+y）≥13.31，解得：y≥131又∵y为正整数，∴y的最小值为3．答：该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加3业务员．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．题型五市场销售问题题型五市场销售问题1．（2023•九江一模）永佳超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【分析】设每件商品应降价x元，则每件商品的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，根据每天的销售利润＝每件的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件商品盈利不少于25元，即可确定x的值．【解答】解：设每件商品应降价x元，则每件商品的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2＝20应舍去，故x＝10为所求．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．（2022秋•大渡口区校级期末）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件45元，每月可卖出1500件，市场前期调查反映，如调整价格，每涨1元，每月少卖出60件，每月销量不少于1200件．（1）每件售价最高为多少元？（2）实际销售时，发现商品积压较多，为尽快减少库存，经重新调查评估，发现每件在最高售价的基础上降价销售，每降1元，每月销量比最低销量1200件多卖120件，要使利润达到25920元，则每件应降价多少元？【分析】（1）设每件的售价为x元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；（2）设每件应降价y元，则每件的销售利润为（50﹣y﹣30）元，每月的销售量为（1200+120y）件，利用每月销售该商品获得的利润＝每件的销售利润×每月的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要尽快减少库存，即可得出每件应降价8元．【解答】解：（1）设每件的售价为x元，依题意得：1500﹣60（x﹣45）≥1200，解得：x≤50．答：每件售价最高为50元．（2）设每件应降价y元，则每件的销售利润为（50﹣y﹣30）元，每月的销售量为（1200+120y）件，依题意得：（50﹣y﹣30）（1200+120y）＝25920，解得：y1＝2，y2＝8．又∵要尽快减少库存，∴y＝8．答：每件应降价8元．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．3．（2023•梅县区一模）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？【分析】（1）观察函数图象，根据图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出y与x之间的函数关系式；（2）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再结合要让顾客获得更大实惠，即可得出这种干果每千克应降价7元．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（2，100），（5，160）代入y＝kx+b得：2k+b=1005k+b=160解得：k=20b=60∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+60（0＜x＜20）．故答案为：y＝20x+60（0＜x＜20）．（2）根据题意得：（60﹣x﹣40）（20x+60）＝2400，整理得：x2﹣17x+60＝0，解得：x1＝5，x2＝12，又∵要让顾客获得更大实惠，∴x＝12．答：这种干果每千克应降价12元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据图中点的坐标，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．4．（2023春•怀宁县期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个．若在此基础上每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．（1）设售价在40元/个的基础上涨价x元，则月销售量为个，每个头盔的利润是元．（用x的代数式表示）（2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？（3）要想使月销售利润达到13000元，问这个要求能否实现？请说说你的理由．【分析】（1）利用月销售量＝600﹣10×每个头盔降低的价格，可用含x的代数式表示出月销售量，利用每个头盔的利润＝售价﹣进价，可求出每个头盔的利润；（2）利用月销售利润＝每个的头盔的利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定x的值，再将其代入40+x中，即可求出结论；（3）这个要求不能实现，假设这个要求能实现，利用月销售利润＝每个的头盔的利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣300＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即这个要求不能实现．【解答】解：（1）根据题意得：当售价在40元/个的基础上涨价x元时，月销售量为（600﹣10x）个，每个头盔的利润是（40+x﹣30）元．故答案为：（600﹣10x），（40+x﹣30）；（2）根据题意得：（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000，整理得：x2﹣50x+400＝0，解得：x1＝10，x2＝40，又∵要尽可能让顾客得到实惠，∴x＝10，∴40+x＝40+10＝50．答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个；（3）这个要求不能实现，理由如下：假设这个要求能实现，根据题意得：（40+x﹣30）（600﹣10x）＝13000，整理得：x2﹣50x+700＝0，∵Δ＝（﹣50）2﹣4×1×700＝﹣300＜0，∴该方程没有实数根，∴假设不成立，即这个要求不能实现．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出月销售量及每个头盔的利润；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．5．（2022春•江北区校级月考）社区是我家，建设为大家，为了丰富社区生活，提高社区美誉度，幸福社区计划投入9.9万元购进一批健身器材和劳动器材，且准备购进劳动器材的数量是健身器材的6倍，现从商家了解到，一套健身器材和一套劳动器材的售价分别为3000元和600元．（1）求最多购进健身器材多少套？（2）恰逢五一优购节，每套健身器材的售价下降35m%，每套劳动器材的售价下降5m元，社区决定健身器材和劳动器材的数量在（1）中购进健身器材最多量时的基础上都增加m%，这样，实际投入资金和计划投入资金完全相同，求m【分析】（1）设购进健身器材x套，则购进劳动器材6x套，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过9.9万元，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论；（2）利用总价＝单价×数量，结合实际投入资金和计划投入资金完全相同，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：（1）设购进健身器材x套，则购进劳动器材6x套，根据题意得：3000x+600×6x≤99000，解得：x≤15，∴x的最大值为15．答：最多购进健身器材15套；（2）根据题意得：3000（1-35m%）×15（1+m%）+（600﹣5m）×15×6（1+m%）＝3000×15+600×15×整理得：2m2﹣75m＝0，解得：m1=752，m2＝答：m的值为752【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．6．（2023春•临泉县期末）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）类别价格A款钥匙扣B款钥匙扣进货价（元/件）3025销售价（元/件）4537（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数？（2）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？【分析】（1）设购进x件A款钥匙扣，y件B款钥匙扣，利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合“网店用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设将销售价定为每件m元，则每件的销售利润为（m﹣25）元，平均每天可售出（78﹣2m）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设购进x件A款钥匙扣，y件B款钥匙扣，根据题意得：x+y=3030x+25y=850解得：x=20y=10答：购进20件A款钥匙扣，10件B款钥匙扣；（2）设将销售价定为每件m元，则每件的销售利润为（m﹣25）元，平均每天可售出4+2（37﹣m）＝（78﹣2m）件，根据题意得（m﹣25）（78﹣2m）＝90，整理得：m2﹣64m+1020＝0，解得：m1＝30，m2＝34．答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．题型六规则图形的面积问题题型六规则图形的面积问题1．（2022秋•中山市期末）如图，矩形ABCD是一块长16米、宽12米的荒地，要在这块荒地上建造一个矩形花园EFGH，在花园的外围是宽度相等的小路．要使花园所占面积为荒地面积的一半，则小路的宽为多少米？【分析】设小路的宽为x米，则矩形花园的长为（16﹣2x）米，宽为（12﹣2x）米，根据矩形花园所占面积为荒地面积的一半，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：设小路的宽为x米，则矩形花园的长为（16﹣2x）米，宽为（12﹣2x）米，根据题意得：（16﹣2x）（12﹣2x）=12×16整理得：x2﹣14x+24＝0，解得：x1＝2，x2＝12（不符合题意，舍去）．答：小路的宽为2米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为40m，若将短边长增长到与长边长相等（长边长不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，且面积比原来增加500m2．求原来绿地的长边长为多少米．【分析】根据“面积比原来增加500m2”列方程求解．【解答】解：设原来绿地的长边长为x米，则：x2﹣40x＝500，解得：x1＝50，x2＝﹣10（不合题意，舍去），答：原来绿地的长边长为50米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．3．（2022秋•宜州区期中）现有一块长40cm，宽20cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为384cm2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．【分析】设剪去的小正方形的边长为x，根据做成一个底面积为300cm2的无盖长方体盒子列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则长方形铁皮长边剪去2xcm，，长方形盒子长为（40﹣2x）cm，宽为（20﹣2x），根据长方形的面积公式得，（40﹣2x）（10﹣2x）＝384，4x2﹣120x+416＝0，x2﹣30x+104＝0，（x﹣4）（x﹣26）＝0，解得x1＝4，x2＝26，其中x＝26时，40﹣2x＝﹣12＜0，不符题意，所以，x＝4，答：剪去的小正方形的边长为4cm．【点评】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程的解法是关键．4．如图，一个正方形花圃ABCD，在一次绿化改造中，该花圃在AB方向延伸了3米，AD方向上被占用了1米后，变成一个面积为21平方米的矩形花圃．求原来花圃的边长．【分析】设原来花圃的边长为x米，由题意得AD被占用1米后长为（x﹣1）米，AE＝（x+3）米，由题意列出方程（x﹣1）（x+3）＝21，则可得出答案．【解答】解：如图，设原来花圃的边长为x米，由题意得，AD被占用1米后长为（x﹣1）米，AE＝（x+3）米，∴（x﹣1）（x+3）＝21，解得x1＝4，x2＝﹣6（舍去），∴原来花圃的边长为4米，答：原来花圃的边长为4米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．5．（2022秋•鞍山期末）如图1，将一张宽10cm的矩形硬纸片裁剪掉图中阴影部分（两个正方形，两个矩形）之后，恰好折成如图2的底面为正方形的有盖纸盒（底面积大于侧面积），纸盒侧面积为32cm2，求该有盖纸盒的底面边长．（单位：cm）【分析】设剪掉的小正方形的边长为xcm，则该有盖纸盒的底面边长为（10﹣2x）cm，根据纸盒侧面积为32cm2，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合底面积大于侧面积，可确定x的值，再将其代入（10﹣2x）中，即可求出结论．【解答】解：设剪掉的小正方形的边长为xcm，则该有盖纸盒的底面边长为（10﹣2x）cm，根据题意得：4x（10﹣2x）＝32，整理得：x2﹣5x+4＝0，解得：x1＝1，x2＝4，当x＝1时，（10﹣2x）2＝（10﹣2×1）2＝64＞32，符合题意，此时10﹣2x＝10﹣2×1＝8；当x＝4时，（10﹣2x）2＝（10﹣2×4）2＝4＜32，不符合题意，舍去．答：该有盖纸盒的底面边长为8cm．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．（2023春•庐阳区校级期中）如图，已知线段AB＝10cm，点C在线段AB上，分别以AC，BC，AB为边向下作正方形．（1）当阴影部分的面积为42cm2时，请求出AC的长；（2）阴影部分的面积能否为60cm2？如果能，请求出AC的长；如果不能，请说明理由．【分析】第（1）问设AC长为x，根据两个小正方形面积与阴影部分面积和等于大正方形面积可列出一元二次方程，求解即可．第（2）问可先假设阴影部分面积可以是60cm2，然后根据沿用第（1）问等量关系列出一元二次方程，再根据该一元二次方程是否有解来判断阴影部分面积能否为60cm2．【解答】解：（1）设AC长为xcm，则BC的长为（10﹣x）cm，由题意得，x2+（10﹣x）2+42＝102，化简整理得，x2﹣10x+21＝0，解得，x1＝3，x2＝7，当AC＝3cm时，BC＝10﹣3＝7cm，当AC＝7cm时，BC＝10﹣7＝3cm，答：AC的长为7cm或者3cm．（2）阴影部分面积不可能是60cm2，理由：假设AC长为ycm时阴影部分面积为60cm2，由题意可得，y2+（10﹣y）2+60＝102，化简整理得，y2﹣10y+30＝0，此方程根的判别式Δ＝（﹣10）2﹣4×30＝﹣20＜0，说明该方程无解，∴阴影部分面积不可能是60cm2．【点评】本题考查一元二次方程的应用，找出等量关系并列出一元二次方程时解决此类问题的关键．题型七边框与甬道问题题型七边框与甬道问题1．（2022秋•新抚区期末）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），小路与矩形的一边垂直，余下部分种植草坪，要使草坪面积为540平方米，求小路的宽．【分析】设道路的宽为x米，利用平移把横向和纵向的小路移到长和宽上，把不规则的图形变为规则图形，原长方形变为长和宽都减少x米的长方形，根据已知的草坪面积可列出方程，求出答案．【解答】解：设道路的宽为x米，由题意得（20﹣x）（32﹣x）＝540，整理得x2﹣52x+100＝0，解得x1＝50（不合题意，舍去），x2＝2．答：道路的宽为2米．【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用问题，找准等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键．2．（2022秋•涟源市期中）如图，一矩形草坪的长为25米，宽为12米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的矩形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是230平方米．（1）求小路的宽．（2）每平方米小路的建设费用为200元，求修建两条小路的总费用．【分析】（1）设小路的宽为x米，则非阴影部分可合成长为（25﹣x）米，宽为（12﹣x）米的矩形，根据非阴影部分的面积是230平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）利用总价＝单价×（草坪的面积﹣非阴影部分的面积），即可求出结论．【解答】解：（1）设小路的宽为x米，则非阴影部分可合成长为（25﹣x）米，宽为（12﹣x）米的矩形，依题意得：（25﹣x）（12﹣x）＝230，解得：x2﹣37x+70＝0，解得：x1＝2，x2＝35（不符合题意，舍去）．答：小路的宽为2米．（2）200×（25×12﹣230）＝14000（元）．答：修建两条小路的总费用为14000元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2023•和平区校级三模）如图，某学校有一块长30m，宽10m的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块长方形绿地的面积共216m2，求人行通道的宽度．【分析】设人行通道的宽度为x米，则两块长方形绿地可合成长为（30﹣3x）米，宽为（10﹣2x）米的长方形，根据两块长方形绿地的面积共216m2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：设人行通道的宽度为x米，则两块长方形绿地可合成长为（30﹣3x）米，宽为（10﹣2x）米的长方形，根据题意得：（30﹣3x）（10﹣2x）＝216，整理得：x2﹣15+14＝0，即（x﹣1）（x﹣14）＝0，解得：x1＝1，x2＝14，当x＝14时，30﹣3x＝30﹣3×14＝﹣12＜0，不符合题意，舍去，∴x＝1．答：人行通道的宽度是1米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．（2022•大同二模）如图，某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地面积的一半区域种花，其余部分硬化．小亮同学设计了一个宽度相同的“U”形区域，求花带的宽度．【分析】设花带的宽度为xm，则硬化的部分长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，根据硬化部分的面积为空地面积的一半，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合（30﹣2x）为正值，即可得出花带的宽度为5m．【解答】解：设花带的宽度为xm，则硬化的部分长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，依题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝30×20×1整理得：x2﹣35x+150＝0，解得：x1＝5，x2＝30．当x＝5时，30﹣2x＝30﹣2×5＝20＞0，符合题意；当x＝30时，30﹣2x＝30﹣2×30＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．答：花带的宽度为5m．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．（2022秋•绥中县期末）如图，要设计一个长为15cm，宽为10cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为5：4，若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？【分析】设每个横彩条的宽度为5xcm，则每个竖彩条的宽度为4xcm，根据所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．【解答】解：设每个横彩条的宽度为5xcm，则每个竖彩条的宽度为4xcm，依题意得：（15﹣2×5x）（10﹣2×4x）＝15×10×（1-1整理得：8x2﹣22x+5＝0，解得：x1=52，x2当x=52时，10﹣2×4x＝﹣10＜当x=14时，10﹣2×4x＝8＞∴5x=54，4x＝答：每个横彩条的宽度为54cm，每个竖彩条的宽度为1cm【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．（2023•灞桥区校级模拟）2023亚洲花卉产业博览会于2023年5月10至12日，在中国进出口交易会展馆举办，为了迎接盛会的到来，组委会想利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52m，宽为28m，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为640m2．求通道的宽是多少米？【分析】设通道的宽是x米，则停车位部分可合成长为（52﹣2x）米，宽为（28﹣2x）米的长方形，根据停车位占地面积为640m2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：设通道的宽是x米，则停车位部分可合成长为（52﹣2x）米，宽为（28﹣2x）米的长方形，根据题意得：（52﹣2x）（28﹣2x）＝640，整理得：x2﹣40x+204＝0，解得：x1＝6，x2＝34（不符合题意，舍去）．答：通道的宽是6米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．题型八围墙类问题题型八围墙类问题1．（2023春•昌平区期末）如图，用80m长的篱笆在墙边（墙长40米）围一个矩形草坪，当矩形面积是750m2时，它的长和宽应为多少？【分析】设AB边的长为x米，则BC边的长为（80﹣2x）米，根据矩形草坪的面积是750m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可求出x的值，再结合墙长40米，即可得出结论．【解答】解：设AB边的长为x米，则BC边的长为（80﹣2x）米，根据题意得：x（80﹣2x）＝750，整理得：x2﹣40x+375＝0，解得：x1＝15，x2＝25，当x＝15时，80﹣2x＝80﹣2×15＝50＞40，不符合题意，舍去；当x＝25时，80﹣2x＝80﹣2×25＝30＜40，符合题意．答：矩形草坪的长为30米，宽为25米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．（2022秋•小店区校级期末）义务教育劳动课程以丰富开放的劳动项目为载体．学校准备在校园内利用校围墙的一段（墙体的最大可用长度a＝10米）和篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形劳动实践菜园ABCD（如图），已知篱笆长24米（篱笆全部用完），如果要围成面积为45平方米的菜园，AB的长是多少米？【分析】设AB的长是x米，则BC的长是（24﹣3x）米，根据菜园的面积为45平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙体的最大可用长度a＝10米，即可得出AB的长是5米．【解答】解：设AB的长是x米，则BC的长是（24﹣3x）米，根据题意得：x（24﹣3x）＝45，整理得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5，当x＝3时，24﹣3x＝24﹣3×3＝15＞10，不符合题意，舍去；当x＝5时，24﹣3x＝24﹣3×5＝9＜10，符合题意．答：AB的长是5米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．如图，利用一面墙（墙的最大可利用长度为25米），用栅栏围成一个矩形场地ABCD（靠墙一面不用栅栏），中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示位置留两个1米宽的小门，若所用栅栏的总长度为52米，设栅栏BC的长为x米，解答下列问题：（1）AB＝米（用含x的代数式表示）；（2）若矩形场地ABCD面积为240平方米，求栅栏BC的长．【分析】（1）直接根据题意列出代数式即可；（2）根据题意列出一元二次方程并解方程即可解答．【解答】解：（1）根据题意，AB＝52﹣3x+2＝（54﹣3x）米，故答案为：（54﹣3x）；（2）依题意得：x（54﹣3x）＝240，整理得：x2﹣