专题9.4 抛物线的定义与性质(解析版)

9.4抛物线的定义与性质思维导图知识点总结内容提要1.抛物线的定义：平面上到定点F的距离与到定直线l(不过定点F)的距离相等的点的轨迹是抛物线，其中定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与简单几何性质：定义标准方程()p>0焦点准线范围对称轴顶点图形Aypxxx轴原点y−xxx轴x0yxy轴x0yxy轴3.抛物线上的点到焦点F的距离可用坐标表示，例如开口向右的抛物线y2=2pxp>0中，若点A在抛物线上，且典型例题分析考向一抛物线的定义【例1】已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，准线l与x轴交于点P，过F且垂直于x解析：如图，可以AB为底，PF为高来计算△PAB的面积，下面先求AB，将x=p2代入y2=2px解得：y=±p，所以AB=2p【变式】(2020.新课标I卷)已知A为抛物线C：y2=2pxp>0上一点，点AA.2B.3C.6D.9答案：C解析：如图，涉及抛物线上的点到焦点的距离，考虑抛物线的定义，设焦点为Fp2，0，准线为l：x=−p2，作AH⊥l于H，交y轴于G考向二抛物线的标准方程【例2】若抛物线C的顶点在原点，焦点坐标为32，0，则抛物线C答案：y解析：先判断开口，并设标准方程，焦点为32，0⇒开口向右，可设抛物线方程为y2=2pxp>0，则其焦点坐标为p2[变式1]若抛物线y=ax2的准线方程为y答案：2解析：先把所给方程化为标准方程，即把平方项系数化1，并判断开口，y=由抛物线的准线方程是y=−18知抛物线开口向上，所以a>0故抛物线的准线方程为y=−14a，与y=−1[变式2]顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线C经过点A2，1，则C答案：y2=解析：抛物线过点A2若开口向右，可设抛物线C的方程为y2将点A2，1解得：p=14，所以C若开口向上，可设抛物线C的方程为x2=2mym>解得：m=2，所以C的方程为综上所述，C的方程为y2=1考向三焦半径和焦点弦【例3】已知抛物线E：y2=2pxp>0的焦点为F，点A是抛物线E的准线与坐标轴的交点，点P答案：2解析：涉及PF，常用抛物线定义转化为P到准线的距离，如图，作PQ⊥准线于Q，因为∠PAF=30∘，所以∠所以PA=PQsin∠在△PAF中，PA和PF所对的角恰好分别是∠PFA和∠PAF在△PAF中，由正弦定理，PA所以sin∠PFA考向四直线与抛物线有关计算问题【例4】已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F1，0，准线与x轴交于点A答案：x解析：涉及MF，想到用定义转化为M到准线的距离，如图1，作MN⊥准线于N，则MF=MN，所以MFMA=MNMA于是只需找cos∠MAF最小的情形，此时∠MAF最大，如图2，当AM为抛物线切线时，∠MAF最大，抛物线C的准线为x=−1，所以A联立x=my−1y2=4x消去x整理得：y2−4my+4=0，因为直线AM基础题型训练一、单选题1．已知抛物线的焦点为F，准线为，过抛物线上一点P作于点，则（

）A．5 B．4 C． D．【答案】A【分析】根据点坐标可知抛物线的准线方程以及点，进一步可得抛物线方程，然后求得，最后可得结果.【详解】由点，知准线的方程为，焦点，于是有抛物线的方程为，因为，所以，代入抛物线方程解得，从而，故选：A.【点睛】本题考查抛物线的简单应用，考查抛物线的定义以及对题意的理解，属基础题.2．设抛物线：的焦点为，点在上，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意得出是抛物线通径的一半，再由勾股定理即可解决.【详解】由题意可知，，所以.因为抛物线的通径长，所以轴，所以故选：D.3．已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为，设为坐标原点，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由抛物线定义性质：先求出p值，再将点M代入，求得，然后可以求的面积【详解】根据抛物线的定义：，所以p=2;因此抛物线方程：y2=4x;由于点M在抛物线上，所以则；三角形的面积：；故答案：B【点睛】考查抛物线的定义性质，求p4．设直线与抛物线交于，两点，若(为坐标原点)，则的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】由对称性可知：点的坐标为或，代入拋物线，解得，所以拋物线方程为：，它的焦点坐标为.故选：C【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.5．设抛物线的焦点为，已知点，，，都在抛物线上，则四点中与焦点距离最小的点是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抛物线的定义，分别求出点M,N,P,Q到焦点F的距离即可．【详解】抛物线的焦点为，准线方程为；则点到焦点F的距离为，点到焦点F的距离为，点到焦点F的距离为点到焦点F的距离为；所以点M与焦点F的距离最小.故选A【点睛】本题考查了抛物线的定义与应用，是基础题．6．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点．若点A在抛物线C上，且，则（O为坐标原点）的最小值为（

）A．8 B． C． D．6【答案】B【分析】依题意得点坐标，作点关于的对称点，则，求即为最小值．【详解】如图所示：作点关于的对称点，连接，设点，不妨设由题意知，直线l方程为，则，得所以，得由，当三点共线时取等号，又所以的最小值为故选：B【点睛】关键点点睛：作点关于的对称点，将化为，利用三点共线是求得最小值的关键点．二、多选题7．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（

）A．开口向上，准线方程为y＝－B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为(1,0)D．开口向右，准线方程为y＝－1【答案】AB【分析】根据抛物线方程写出焦点、准线方程，并判断开口方向即可.【详解】由题设，抛物线可化为，∴开口向上，焦点为，准线方程为.故选：AB8．已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】分焦点在轴，轴上进行讨论，根据条件求出即可【详解】由于焦点在直线上，则当焦点在y轴上时，令，所以焦点坐标为：，设方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的方程为：当焦点在x轴上时，令，所以焦点坐标为：，设方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的方程为：，故选：BC.三、填空题9．已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，P为C上一点，与x轴垂直，Q为x轴上一点，若P在以线段为直径的圆上，则该圆的方程为.【答案】【分析】根据条件求出点坐标，然后根据的圆的标准方程求解即可得答案.【详解】解：由题意得：抛物线的焦点为，与x轴垂直点的横坐标为，即故点的坐标为或又Q为x轴上一点，且为直径，点在圆上故设圆心为，于是有，即所以圆的方程为故答案为：10．已知为抛物线：的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于点，若是的中点，则.【答案】【分析】过点，，分别向准线引垂线，交准线于点，，，利用抛物线的焦半径公式即可求解.【详解】如图，过点，，分别向准线引垂线，交准线于点，，，由，得，，，故，又，所以，故.故答案为：11．若抛物线上一点到抛物线焦点的距离为1，则点的横坐标是．【答案】．【分析】根据抛物线的焦半径公式求解．【详解】抛物线标准方程为，，即，设，则，，由得．故答案为：．12．已知二次函数的图像交轴于两点，直线与抛物线交于两点，直线与平行，且与抛物线相切于点，则．【答案】0【分析】根据二次函数的性质和向量的转化以及垂直关系的向量表示即可求解.【详解】设，则中点，所以，又，则，故，所以，又直线与平行，且与抛物线相切于点，记，所以，结合二次函数的性质可知，的横坐标相同，则连线与轴垂直，所以．故答案为：0.四、解答题13．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点是坐标原点且开口向左，又抛物线经过点，求这个抛物线的标准方程．【答案】【分析】根据抛物线的性质，利用待定系数法即可求解.【详解】根据已知条件可设抛物线的标准方程为，因为点在抛物线上，所以，因此．从而可知所求方程为．14．已知抛物线上有一点到焦点的距离为，（1）求及的值．（2）过焦点的直线交抛物线于，两点，若，求直线的方程．【答案】（1），；（2）或．【分析】（1）首先表示出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义求出，从而得到抛物线方程，再代入点的坐标求出；（2）设直线的方程为：，，，联立直线与抛物线方程，消元、利用焦半径公式得到方程，解得，即可求出直线方程.【详解】解：（1）抛物线的准线方程为，由题意知，，所以抛物线方程为，，.（2）由题意知直线的斜率存在，设为，则直线的方程为：，代入抛物线方程，整理得，设点，，，，又，即，，，，所求直线方程为：或．15．分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程：(1)抛物线的焦点到x轴的距离是2，而且焦点在y轴的正半轴上．(2)抛物线的焦点是双曲线的焦点之一．【答案】(1)，(2)答案见解析【分析】（1）确定抛物线的焦点，求得p，即可得答案；（2）求出双曲线的焦点坐标，分2种情况确定抛物线焦点坐标，即可得答案.【详解】（1）由已知可得焦点坐标为，因此抛物线的标准方程具有的形式，且，从而所求抛物线的标准方程是．（2）因为双曲线中，，又因为双曲线的焦点在y轴上，所以的焦点坐标为或．如果抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程具有的形式，且，此时抛物线的标准方程是；如果抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程具有的形式，且10，此时抛物线的标准方程是．16．已知抛物线上横坐标为2的一点到焦点的距离为3.（1）求抛物线C的方程；（2）设动直线交于、两点，为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为，且，证明：直线l经过定点，求出定点的坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析，（2，0）.【解析】（1）由抛物线的定义可得：，即可求出，进而可得抛物线的方程；（2）设直线的方程为，，代入抛物线方程化简得，利用根与系数的关系可得，再利用，列方程即可求出，进而可得直线经过定点【详解】（1）抛物线的准线方程为：，由抛物线的定义可得：，解得：，所以抛物线的标准方程为：（2）证明：设直线的方程为，，代入抛物线方程化简得，∴.，∵，解得：∴直线经过定点，且定点为.【点睛】关键点点睛：求抛物线方程的关键是利用抛物线的定义，点到准线的距离等于它到焦点的距离列出方程；第二问的关键是设出直线的方程和、两点坐标，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理得出，将用斜率公式表示出来即可求得，从而判断出所过的点到.提升题型训练一、单选题1．在下列四条抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意可知，然后分析判断即可【详解】由题意知，即可满足题意，故A，B，C错误，D正确.故选：D．2．已知，则方程与在同一坐标系内的图形可能是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用特殊值法验证即可得到答案.【详解】解：由题意，当，时，方程表示焦点在轴上的椭圆，方程表示开口向左的抛物线，故排除选项C、D；当，时，方程表示焦点在轴上的双曲线，方程表示开口向右的抛物线，故排除选项B，而选项A符合题意，故选：A.3．已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点M(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】利用抛物线的定义转化为，由三点共线时，最小求解.【详解】如图所示：由抛物线的定义得：，所以，由图象知：当三点共线时，最小，，故选：C4．设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意得到，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.【详解】解：如图，

因为，且关于P的对称点为B，所以|PA|=|PB|，抛物线焦点，所以.当P在线段AF上时，取得最小值，且最小值为.故选：A5．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，抛物线内部平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，一条光线沿射出，经过抛物线上的点（异于点）反射，反射光线经过点，若，则抛物线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设直线AB的方程，联立其与抛物线方程求出，代入抛物线方程可求出，再运用抛物线焦点弦公式可得，解方程即可.【详解】如图所示，，设，，直线AB的方程为，，则，解得：，将代入得，又因为，即：，即：，又因为，所以，即：，所以抛物线方程为.故选：B.6．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．9【答案】B【分析】根据抛物线的定义求得，进而求得抛物线方程.设出直线的方程，并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合基本不等式求得的最小值.【详解】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以，抛物线的方程为．设直线的方程为，将此方程代入，整理得．设，，则，所以，当且仅当，即时等号成立．故选：B．二、多选题7．已知抛物线：的焦点为，为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据条件先求出抛物线的标准方程，再逐项分析求解.【详解】依题意，抛物线C的准线为，因为为C上一点，且，则，解得，故A正确；可得抛物线C:，焦点为，因为A为C上一点，则4，所以，故B错误；若，则线的方程为，代入，得，整理得，解得或，因为B与A分别在x轴的两侧，可得；同理：若，可得；综上所述：或，故C错误；若，则，则；同理：若，可得；故D正确；故选：AD.8．已知圆：直线：，下列说法正确的是（

）A．直线上存在点，过向圆引两切线，切点为A，B，使得B．直线上存在点，过点向圆引割线与圆交于A，B，使得C．与圆内切，与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线D．与圆外切，与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线【答案】ABCD【分析】AB选项考查直线与圆的位置关系，存在点P，故找到适合的一个点就可，CD选项因圆与圆内切，外切，则找到圆心距与两半径之间的关系就可以得到点的轨迹.【详解】A选项，因为，则,又因为为圆的两条切线，所以，且，则，，所以，因此存在点在直线上，且满足，故A正确．B选项，过点P作圆的割线，交圆与两点，过点P作圆的切线，切点为，因为为圆的切线，所以，又，所以，则，，，所以存在点P，使得有解，故B正确．C选项，设动圆圆心设为，半径设为，因为动圆与圆内切，且与直线相切则如图所示，，作的平行线与的距离为1，则到直线的距离为，故到定直线与到定点Ｏ的距离相等，故Ａ点的轨迹为抛物线．对于选项D，设动圆圆心设为，半径设为，因为动圆与圆外切，且与直线相切，如图所示：，，作的平行线与的距离为1，则到直线的距离为，则A到定点O的距离等于到定直线的距离．∴A点的轨迹为抛物线，D对，ABCD全对．故选：ABCD三、填空题9．抛物线的准线方程为.【答案】/【分析】根据抛物线的准线方程即得．【详解】由抛物线，抛物线的准线方程为．故答案为：．10．已知点O为坐标原点，直线交抛物线于A，B两点，P为y轴正半轴上一点，且点A，P，B的纵坐标成等比数列，则P点的坐标为.【答案】【分析】直线与抛物线联立，算出纵坐标之积即可获解.【详解】设点，联立得，，即，∴，∵点A，P，B的纵坐标成等比数列，∴，∴P的坐标为.故答案为：11．设抛物线：的焦点为是上的一点且在第一象限，以为圆心，以为半径的圆交的准线于两点，且三点共线，则点A的横坐标为.【答案】6【分析】由条件推得，从而可得，结合图形求得AD的长，由抛物线焦半径公式即可求得答案.【详解】由题意，A在第一象限，三点共线为圆的直径，则,由抛物线定义又对于抛物线：，有则,设抛物线准线与x轴交点为E,则,在中，可得．设A的横坐标为则即,故答案为：612．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，若，则的中点到y轴的距离等于．【答案】4【分析】过分别作准线的垂线，垂足分别为，由为直角梯形的中位线及抛物线的定义求出，到轴的距离为所求．【详解】抛物线焦点，准线方程为，由于的中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为交纵轴于点，如图所示：由抛物线的定义可知，则由为直角梯形的中位线知，，，故答案为4．【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.四、解答题13．在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过点，求抛物线C的方程；【答案】.【分析】由抛物线上的点求抛物线方程.【详解】因为抛物线：经过点，则，解得，故抛物线的方程为.14．已知为抛物线上一点，点到直线的距离为.（1）求的最小值，并求此时点的坐标；（2）若点到抛物线的准线的距离为，求的最小值.【答案】（1）当时，；（2）.【分析】（1）表示点到直线的距离，表示为坐标的函数，求函数的最小值