专题2.3 函数的奇偶性与周期性（原卷版）

专题2.3函数的奇偶性与周期性思维导图知识点总结知识点一函数奇偶性的几何特征一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．知识点二函数奇偶性的定义1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．知识点三奇(偶)函数的定义域特征奇(偶)函数的定义域关于原点对称．知识点四用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．知识点五奇偶性与单调性若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．典型例题分析考向一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝eq\f(1,x)；(2)f(x)＝x2(x2＋2)；(3)f(x)＝eq\f(x,x－1)；(4)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2).反思感悟判断函数奇偶性的方法(1)定义法：①定义域关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系．(2)图象法．考向二利用函数的奇偶性求解析式例2函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．反思感悟求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．考向三构造方程组求函数的解析式例3设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，求函数f(x)，g(x)的解析式．反思感悟f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x.利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)．考向四利用函数的奇偶性与单调性比较大小例4设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)反思感悟利用函数的奇偶性与单调性比较大小(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．基础题型训练一、单选题1．已知函数是定义在R上的偶函数，时，，那么的值是多少（

）.A． B． C． D．2．已知定义在上的奇函数满足，则（

）A． B．0 C．1 D．2．3．已知函数与函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则A．1 B．2 C．0 D．-14．已知非空集合A，B满足：，，函数，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.下面判断正确的是（

）A．①正确，②错误 B．①错误，②正确C．①､②都正确 D．①､②都错误5．已知定义在上的函数是偶函数，且在上单调递增，则满足的的取值范围为（

）A． B．C． D．6．若函数同时满足:①对于定义域上的任意,恒有；②对于定义域上的任意,当时,恒有；则称函数为“理想函数”.给出下列三个函数：（1）（2）（3），其中能被称为“理想函数”的有（

）个.A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题7．已知，设函数，，，若的最大值为，最小值为，那么和的值可能为（

）A．4与1 B．5与2 C．5与3 D．6与48．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（

）A．B．当时，C．是图象的一条对称轴D．在上单调递增三、填空题9．函数为偶函数，当时，，则时，________．10．已知函数，若，则实数的取值范围是______．11．已知定义在的偶函数在是增函数，且，则不等式的解集是______．12．已知是R上的偶函数，且，当时，，则__________.四、解答题13．函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）＝－x＋1，求f（x）的解析式；14．已知偶函数定义域为，当时，.（1）求函数的表达式；（2）用函数单调性的定义证明：函数在区间单调递减，并解不等式.15．已知函数是定义在上的奇函数.(1)求函数的解析式；(2)判断函数的单调性并证明；(3)解不等式.16．已知函数为奇函数，且(1)求a，b的值；(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义加以证明；(3)求在区间上的值域.提升题型训练一、单选题1．已知一个奇函数的定义域为，则（

）A． B．3 C． D．12．已知偶函数在区间上单调递减，那么下列式子成立的是（

）A． B．C． D．3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是

A． B．C． D．4．已知函数，若，则实数＝()A．－2 B．－1C．1 D．35．已知定义在上的函数满足．若函数与的图像的交点为，，…，，则（

）A．5 B．10 C．15 D．206．狄利克雷函数为F(x).有下列四个命题：①此函数为偶函数，且有无数条对称轴；②此函数的值域是；③此函数为周期函数，但没有最小正周期；④存在三点，使得△ABC是等腰直角三角形，以上命题正确的是（）A．①② B．①③ C．③④ D．②④二、多选题7．某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确的结论是（

）A．是偶函数 B．的值域为C．有且只有1个零点 D．8．已知函数，，若存在实数m，使得对于任意的，都有，则称函数，有下界，m为其一个下界；类似的，若存在实数M，使得对于任意的，都有，则称函数，有上界，M为其一个上界.若函数，既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.下列说法正确的是（

）A．若函数在定义域上有下界，则函数有最小值B．若定义在上的奇函数有上界，则该函数一定有下界C．若函数为有界函数，则函数是有界函数D．若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数三、填空题9．函数为偶函数，则实数a的值______.10．已知是定义域为的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则______．11．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围是______.12．定义函数如下:对于实数,如果存在整数,使得,则.则下列结论:①是实数上的递增函数;②是周期为1的函数;③是奇函数;④函数的图像与直线有且仅有一个交点.则正确结论的序号是______.四、解答题13．判断下列函数的奇偶性