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2024届新高三开学摸底考试卷（课标全国专用）03理科数学·答案及评分标准1．D2．C3．C4．A5．B6．D7．C8．C9．B10．A11．A12．B13．4014．或15．216．17．【详解】（1）由已知，∵，∴，∵，∴，（3分）又∵，∴，（4分）∴易知数列中任意一项不为，∴，（5分）∴数列是首项为，公比为的等比数列.（6分）（2）由第（1）问，，∴，∴设数列的前项和为，则①，①得，②，（7分）①②得，，（9分）∴，（10分）∴.（11分）∴数列的前项和为.（12分）18．【详解】（1）由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为，则在抽取的人中，“足球迷”有人，所以列联表如下（表格2分）非足球迷足球迷合计女70男40合计所以，（4分）所以有的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关.（5分）（2）由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为（6分）所以从该地的电视观众中随机抽取人，其为“足球迷”的概率，所以，即的可能取值为、、、、，（7分）所以，，，，，（10分）所以随机变量的分布列为（11分）所以.（12分）19．【详解】（1）证明：连接OB，因为为等腰直角三角形，，，所以，（1分）因为O为AC边的中点，所以，在等边三角形中，，因为O为AC边的中点，所以，（2分）则，（3分）又，所以，即，（4分）因为，平面，平面，所以平面．（5分）

（2）方法一：因为是等腰直角三角形，，为边中点，所以，由（1）得平面，则以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，（建系正确给1分，7分）所以，，设平面的法向量为，由，得，令，得，（9分）易知平面的一个法向量为，（10分）设二面角的大小为θ，则，（11分）由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．（12分）20．【详解】（1）设动圆与圆相切的切点为，则，（2分）所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设椭圆的方程为，则，，所以，（3分）所以椭圆的方程为，即点的轨迹的方程为．（4分）

（2）由题意可知直线的斜率显然不为0，不妨设直线的方程为，设，，则，联立，消去整理得，（5分）所以，，（6分）因为，，三点共线，所以，（7分）所以，（8分）即，所以，解得，（11分）故直线的方程为，所以直线过定点．（12分）

21．【详解】（1）解：函数的定义域为，.（1分）①当时，令，得，则在上单调递减；令，得，则在上单调递增.（3分）②当时，令，得，则在上单调递减；令，得，则在上单调递增.（5分）综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（5分）（2）证明：因为为的两个零点，所以，，（6分）两式相

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