专题9.4 双曲线（原卷版）

专题9.4双曲线题型一双曲线的定义题型二求双曲线的标准方程题型三根据方程为圆、椭圆、双曲线进行求参数范围题型四双曲线的焦点三角形题型五距离和差的最值问题题型六双曲线的简单几何性质题型七双曲线的离心率题型八双曲线的渐近线题型一 双曲线的定义例1．（2021秋·高二课时练习）已知、是双曲线的焦点，是过焦点的弦，那么的值是________．例2．（2021秋·高三课时练习）（多选）已知，满足条件的动点的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，可以是（）A． B．2 C． D．练习1．（2023·四川达州·统考二模）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（

）A．5 B．6 C．8 D．12练习2．（2022秋·高三课时练习）与圆及圆都外切的圆P的圆心在（

）A．一个椭圆上 B．一个圆上C．一条直线上 D．双曲线的一支上练习3．（2021秋·高三课时练习）已知动点满足，则动点P的轨迹是（）A．双曲线 B．双曲线左支C．双曲线右支 D．一条射线练习4．（2023秋·高二课时练习）平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（

）A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线练习5．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线C：，点M与曲线C的焦点不重合．已知M关于曲线C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在曲线C右支上，则的值为______．题型二 求双曲线的标准方程例3．（2023·全国·高三专题练习）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．例4．（2023秋·高三课时练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)以椭圆短轴的两个端点为焦点，且过点；(2)经过点和．练习6．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）若双曲线C：其中一条渐近线的斜率为2，且点在C上，则C的标准方程为（

）A． B． C． D．练习7．（2023秋·高三课时练习）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（

）A． B．C． D．练习8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线满足下列条件中的两个：①实轴长为4；②焦距为6；③离心率，则双曲线的方程为___________.（写出一个正确答案即可）练习9．（2023·全国·高三对口高考）离心率为且过点的双曲线方程为______.练习10．（2023·高三课时练习）动圆过点，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是______．题型三 根据方程为圆、椭圆、双曲线进行求参数范围例5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知曲线，则下列说法正确的是（

）A．若曲线表示两条平行线，则B．若曲线表示双曲线，则C．若，则曲线表示椭圆D．若，则曲线表示焦点在轴的椭圆例6．（2023春·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）已知表示焦点在轴上的双曲线有个，表示焦点在轴上的椭圆有个，则的值为（

）A．10 B．14 C．18 D．22练习11．（2023秋·北京平谷·高二统考期末）“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件练习12．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）（多选）对于曲线C：，则下列说法正确的有（

）A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线练习13．（2023秋·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）（多选）若方程所表示的曲线为C，则下面四个选项中错误的是（

）A．若C是圆，则 B．若C为椭圆，则C．若C为双曲线，则或 D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则练习14．（2023·高三课时练习）若，则方程表示的曲线只可能是（

）A． B．C． D．练习15．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）（多选）当变化时，所表示的曲线形状，下列说法不正确的是（

）A．当时，方程表示椭圆B．或是方程表示双曲线的充要条件C．该方程不可能表示圆D．是方程表示直线的充分不必要条件题型四 双曲线的焦点三角形例7．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）设P是双曲线右支上的一个动点，、为左、右两个焦点，在中，令，，则的值为_________．例8．（2021秋·高三课时练习）已知点F1，F2分别是双曲线=1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，则△的面积为____.练习16．（2022秋·高三课时练习）已知点分别是双曲线的下、上焦点，若点是双曲线下支上的点，且，则的面积为________.练习17．（2023春·湖南·高三浏阳一中校联考阶段练习）已知离心率为2的双曲线的左、右焦点分别为、，过点作直线与双曲线交于第一象限内的点P，若的内切圆半径为b，则直线的倾斜角为__________．练习18．（2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于点，，连接交双曲线的左支于点，若，，，则的面积是______．练习19．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知，双曲线的左､右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为.若，则__________.练习20．（2023·全国·高三对口高考）设，分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且，则_________，_________；题型五 距离和差的最值问题例9．（2021秋·高二课时练习）设P是双曲线的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知，，则|PA|＋|PF|的最小值为________；|PB|＋|PF|的最小值为________．例10．（2023春·四川内江·高三威远中学校校考期中）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8练习21．（2022·青海西宁·统考二模）设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（

）A．- B．-1 C．- D．-2练习22．（2022秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期末）已知，，动点满足，，则周长的最小值为______，此时点的坐标为______.练习23．（2022秋·河北邢台·高三统考阶段练习）如下图，地在地的正东方向处，地在地的北偏东方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到的距离比到的距离远，则曲线的轨迹方程（以中点为原点）是___________；现要在曲线上选一处建一座码头，向两地转运货物，那么这两条公路的路程之和最短是___________.练习24．（2023·山东泰安·统考二模）已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（

）A． B．C． D．练习25．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为______．题型六 双曲线的简单几何性质例11．（2023春·上海浦东新·高三上海师大附中校考期中）已知，则双曲线与的（

）A．实轴长相等 B．虚轴长相等C．焦距相等 D．离心率相等例12．（2023·四川凉山·三模）已知以直线为渐近线的双曲线，经过直线与直线的交点，则双曲线的实轴长为（

）．A．6 B． C． D．8练习26．（2023·湖南·校联考模拟预测）过双曲线的左焦点作直线交双曲线于A，B两点，若实数使得的直线恰有3条，则（

）A．2 B．3 C．4 D．6练习27．（2022秋·内蒙古包头·高三统考期末）若实数m满足，则曲线与曲线的（

）A．离心率相等 B．焦距相等 C．实轴长相等 D．虚轴长相等练习28．（2023·河南安阳·统考三模）以双曲线的右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线相切于点，则的焦距为（

）A．4 B． C．6 D．8练习29．（2022·全国·高三假期作业）已知点P是双曲线C：上的动点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．练习30．（2023·江苏南京·统考二模）（多选）若实数，满足，则（

）A． B． C． D．题型七 双曲线的离心率例13．（2022秋·高三课时练习）已知A，B是双曲线的两个顶点，P为双曲线上(除顶点外)一点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则双曲线的离心率e=_____.例14．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，圆，过点作圆的切线交双曲线的右支于点，点为的中点，且，则双曲线的离心率是___________.练习31．（2023·北京·北京二中校考模拟预测）已知双曲线的渐近线与圆相切，则______；双曲线的离心率为______.练习32．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）双曲线（，）的焦距为，已知点，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．练习33．（2023·四川成都·校考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点是的一条渐近线上的两点，且（为坐标原点），．若为的左顶点，且，则双曲线的离心率为_____练习34．（2023秋·高三课时练习）过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，点F1是另一个焦点，若，则双曲线的离心率等于________.练习35．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左支交于两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为（

）A． B．C． D．题型八 双曲线的渐近线例15．（2023·河北·模拟预测）已知双曲线的上、下焦点分别为，，的一条渐近线过点，点在