专题4.8 导数中的零点问题（原卷版）

专题4.8导数中的零点问题题型一讨论零点的个数题型二已知零点个数求参数题型三存在零点求参数题型四证明零点个数题型五隐零点题型一 讨论零点的个数例1．（2023春·安徽六安·高二六安二中校联考期中）已知，，a是参数，则下列结论正确的是（

）A．若有两个极值点，则 B．至多2个零点C．若，则的零点之和为0 D．无最大值和最小值例2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知函数，，m∈R．(1)设的导函数为，试讨论的零点个数；(2)设，当时，若恒成立，求实数m的取值范围．练习1．（2023春·甘肃武威·高三武威第六中学校考期中）已知函数．(1)求函数的单调区间和极值：(2)若，讨论函数的零点个数．练习2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知.(1)若，证明：存在唯一零点；(2)当时，讨论零点个数.练习3．（2023春·河南郑州·高三河南省实验中学校考期中）已知函数．(1)若时，恒成立，求的取值范围；(2)记，讨论函数与的交点个数．练习4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象在点处的切线与轴垂直．(1)求实数的值．(2)讨论在区间上的零点个数．练习5．（2023春·北京海淀·高三北京交通大学附属中学校考期中）已知函数与函数．(1)若，的图像在点处有公共的切线，求实数a的值；(2)设．①求函数的极值；②试判断函数零点的个数．题型二 已知零点个数求参数例3．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数.(1)若点在曲线上，且点是函数图象的对称中心，求过点的的切线方程；(2)若，且有三个不同的零点，且，求的取值范围.例4．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点，求a的最大整数值．练习6．（2023春·四川乐山·高三四川省峨眉第二中学校校考期中）若函数有两个实根，则的取值范围是______．练习7．（2023·河南·模拟预测）若函数在上存在两个零点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．练习8．（2023春·山东青岛·高三青岛市即墨区第一中学统考期中）若，（0<a<1）有两个不相等零点，则a的范围是______．练习9．（2023·河南郑州·模拟预测）已知函数．(1)若a＝1，求函数的极值；(2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数a的范围．练习10．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知函数，.(1)讨论的单调区间；(2)若有3个零点，求的取值范围.题型三 存在零点求参数例5．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若，求证：函数存在零点．例6．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知，若关于的方程存在正零点，则实数的值可能为（

）A． B． C．e D．2练习11．（2023春·天津滨海新·高三校考期中）设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是__________．练习12．（2023春·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考期中）若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是___________.练习13．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数，.(1)若的图象在处的切线与直线垂直，求的值及切线方程；(2)若，函数在其定义域上存在零点，求实数的取值范围.练习14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数．(1)求实数k的值．(2)当时，函数存在零点，求实数a的取值范围．(3)函数（且），函数有2个零点，求实数m的取值范围．练习15．（2023·四川遂宁·统考三模）已知函数存在零点，则实数的值为（

）A． B． C． D．题型四 证明零点个数例7．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知函数．(1)过点作曲线的切线，求切线的方程；(2)当时，证明：曲线的图象与直线的图象仅有一个交点．例8．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数，其中为非零常数．(1)讨论的极值点个数，并说明理由；(2)若，证明：在区间内有且仅有1个零点．练习16．（2023·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）（多选）已知函数，下列说法正确的是（

）A．在处的切线方程为B．C．若函数的图象与的图象关于坐标原点对称，则D．有唯一零点练习17．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知函数，，且曲线在点处的切线斜率均不小于2．(1)求a的值；(2)求证：函数在区间内存在唯一的零点．练习18．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，.(1)若函数，求的最小值；(2)证明：函数在上有唯一零点.练习19．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）已知函数在处的切线方程为．(1)若a；(2)证明有两个零点．练习20．（2023春·北京海淀·高三101中学校考期中）已知函数，其中．(1)当时，求函数的极小值；(2)求函数的单调区间；(3)证明：当时，函数有且仅有一个零点．题型五 隐零点例9．（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）函数在区间上的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例10．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中）．定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凸函数．已