专题08 正多边形拓展运算的4种压轴题型全攻略（原卷版）

专题08正多边形拓展运算的4种压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一正多边形中边心距的计算】 1【考点二正多边形边长的计算】 2【考点三正多边形中有关面积的计算】 2【考点四正多边形应用的拓展提高】 3【过关检测】 4【典型例题】【考点一正多边形中边心距的计算】【例题1】如图，正六边形内接于，若正六边形的周长是，则它的边心距为（

）A．2 B． C． D．【变式1】如图，正六边形内接于，过点O作于点M，若的半径为4，则边心距的长为．【变式2】已知正方形与正六边形都内接于圆，若正方形边长为，则．

【变式3】如图，正六边形内接于，半径为4．(1)求正六边形的边心距．(2)求正六边形的面积．【考点二正多边形边长的计算】【例题2】如图，已知圆的内接正九边形的半径为R，则正九边形的边长为（

）A． B． C． D．【变式1】如图，正方形内接于、E为上一点，连接．若，则正方形的边长为．【变式2】如图．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，则⊙O的半径为（）A．cm B．1cm C．cm D．2cm【变式3】如图，正外接圆的半径为2，求正的边长，边心距，周长和面积．【考点三正多边形中有关面积的计算】【例题3】如图，已知在⊙O中，AB=4，AF=6，AC是直径，AC⊥BD于F，图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．【变式1】如图，为直径，于点，于，，则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【变式2】如图，正方形的边长为4，以为直径的半圆交对角线于点E，则阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【变式3】如图，半圆O的直径为10，点C、D在圆弧上，连接，两弦相交于点E．若，则阴影部分面积为（

）A． B． C． D．【考点四同底数幂乘除法应用的拓展提高】【例题4】“割圆术”是我国魏晋时期的数学家刘徽首创的计算圆周率的方法：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即随着边数增加，圆内接正多边形逐步逼近圆，进而可以用圆内接正多边形的面积近似表示圆的面积．设圆的半径为，则由圆内接正十二边形算得的圆周率约为（

）A．3.14 B．3 C．3.1 D．3.141【变式1】我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点为的中点，连结交于点，若，则的长为（

）A． B． C． D．【变式2】我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点为的中点，连结交于点，若，则的长为（

）A． B． C． D．【变式3】大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若边心距，则这个正六边形的面积是_______．

【过关检测】一．选择题1．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．6 B．8 C．10 D．122．如图，点，，在上，若，，分别是内接正三角形．正方形，正边形的一边，则（）A．9 B．10 C．12 D．153．如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转30°得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的而积为（

）

A． B． C． D．4．如图，等腰三角形的顶角，与底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，．若，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．二、填空题5．如果正六边形的边长是1，那么它的边心距是________．6．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的割圆术：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416.如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为______．

7．如图，六边形是的内接正六边形，记的周长为，正六边形的周长为，则的值为_________．8．如图，的半径为3，正六边形内接于，则正六边形的面积为______．9．我国古代数学家祖冲之和他的儿子发展了刘微的“割圆术”（即圆的内接正多边形边数不断增加，它的周长就越接近圆周长），他们从圆内接正六边形算起，一直算到内接正24576边形，将圆周率精确到小数点后七位，使中国对圆周率的计算在世界上领先一千多年．依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是______．10．如图，分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若有下面三个结论，①该圆的半径为4；②；③图中阴影部分的周长为，其中正确结论的序号是______．11如图，内接正八边形，若的面积为，则正八边形的面积为_________．12．如图，菱形中，以点为圆心，长为半径作弧，若，则图中阴影部分的面积为_______.（结果保留）三、解答题13．如图，在的内接正八边形中，，连接．

(1)求证；(2)的长为．14．（1）解方程：．（2）如图，正六边形内接于，半径，求边心距的长．15．如图，分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，（1）弧的长为；（2）连接，则与的面积比为．16．如图，正六边形内接于．

(1)若是上的动点，连接，求的度数；(2)已知的面积为．求的度数；求的半径．17．如图，五边形是半径为的圆内接五边形，为的中点．求证：．

18．已知的直径，弦与弦交于点，，垂足为点．

(1)如图，如果，求弦的长；(2)如图，如果为弦的中点，求的值；(3)连接，，，如果是的内接正边形的一边，是的内接正（）边形的一边，求的面积．19．如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半