1.2 集合间的基本关系 讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第一册

1.2集合间的基本关系一、集合间的基本关系：集合的包含定义符号表示图形表示子集（subset）如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集或A包含于BA⊆B真子集（propersubset）如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集注意：符号“∈”与“⊆”不同，“∈”表示元素与集合间的关系，“⊆”表示集合与集合之间的关系集合的相等：若，且，则．空集（empty）：不含任何元素的集合，记为，并规定：空集任何集合的子集。是任何非空集合的真子集。注意：{0}与不同，{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；表示空集，其不含有任何元素

考点一：集合关系的判断【例1】(2020·浙江高一单元测试)设集合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合A与B的关系为()A． B． C． D．【练1】已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是A．M＝N B．NMC．MN D．N⊆M【练2】已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是A．A⊆B B．A＝BC．AB D．BA【练3】(2020·浙江高一单元测试)已知集合，，则集合A，B之间的关系为________．考点二：集合的包含关系【例2】设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．【练2】(2020·全国高三月考(文))已知集合，则下列集合中是集合的真子集的是()A． B．C． D．【练2.1】(2020·沙坪坝重庆一中高三月考(理))已知集合，则的真子集共有()个A．3 B．4 C．6 D．7【练2.2】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围．【练2.3】已知集合A＝{x|－2＜x＜5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围．【练2.4】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A⊆B，求实数m的取值范围．【练2.5】已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．考点三：集合子集的个数【例3】(2019·全国高三二模(文))集合,则集合的真子集的个数是A．1个 B．3个 C．4个 D．7个

课后练习(2020·浙江高一课时练习)下列关系中，正确的个数是().①；②，；③；④.A．1 B．2 C．3 D．4(2020·浙江高一课时练习)已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则()A． B． C． D．(2020·湖南天元株洲二中高二月考(文))下列集合中，是集合的真子集的是()A． B． C． D．(2020·贵州凤冈一中高一月考)已知集合，且中至多有一个偶数，则这样的集合共有()A．3个 B．4个 C．5个 D．6个(2019·五华云南师大附中高三月考(文))已知集合，则M的非空子集的个数是()A．15 B．16 C．7 D．8(2020·浙江高一课时练习)已知A⊆{0,1,2,3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A共有()A．11个 B．12个 C．15个 D．16个(2020·广东潮州)下列各组集合中，表示同一集合的是()A．， B．，C．， D．，下列集合中表示同一集合的是()A．， B．，C．， D．，(2020·全国高一)设集合，，若，则实数a的取值范围是()A． B．C． D．(2020·全国高一)M={x|6x2−5x+1=0}，P={x|ax=1}，若P⊆M，则a的取值集合为A．{2} B．{3} C．{2,3} (2020·全国高一)，，若，则实数a的值构成的集合M=______________(2020·浙江高一课时练习)已知集合，是否存在实数a，使得.若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.精讲答案【例1】【答案】D【解析】∵合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2，3，4}，∴A⊆B．故选D．【练1】答案C解析解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1,2}，因为1∈M且1∈N,2∈M且2∈N，所以M⊆N.又因为0∈N但0∉M，所以MN.【练2】答案D解析因为A中元素是3的整数倍，而B中的元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集．【练3】【答案】A=B【解析】对于集合A，k=2n时，，当k=2n-1时，即集合A=,由B=可知A=B，故填：A=B.【例2】解由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4.故集合A＝{－4，－1,4}．由0个元素构成的子集为∅；由1个元素构成的子集为{－4}，{－1}，{4}；由2个元素构成的子集为{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}；由3个元素构成的子集为{－4，－1,4}．因此集合A的子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}．真子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．【练2】【答案】D【解析】因为，由集合的子集和真子集的概念知选项D正确.故选：D.【练2.1】(2020·沙坪坝重庆一中高三月考(理))已知集合，【答案】D【解析】因为，所以其真子集个数为.故选：D.【练2.2】解：①当B≠∅时，如图所示．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1<5，,2m－1≥m＋1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，))解这两个不等式组，得2≤m≤3.②当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2.综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．【练2.3】解(1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2.(2)当B≠∅时，如图所示．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1<5，,m＋1≤2m－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>－3，,m<3，,m≥2，))即2≤m<3，综上可得，m的取值范围是{m|m<3}．【练2.4】解当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1>m＋1，,m＋1≤－2，,2m－1≥5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>2，,m≤－3，,m≥3，))∴m不存在．即不存在实数m使A⊆B.【练2.5】解(1)当B＝∅时，2a＞a＋3，即a＞3．显然满足题意．(2)当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a，,a＋3＜－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a，,2a＞4，))解得a＜－4或2＜a≤3．综上可得，实数a的取值范围为{a|a＜－4或a＞2}．【例3】【答案】B【解析】由题意，集合，则，所以集合的真子集的个数为个，故选B．练习答案1.【答案】B【解析】对于①，是集合中的元素，即，故正确；对于②，空集是任何非空集合的真子集，故，故正确；对于③，集合中的元素为，，集合中的元素为，故错误；对于④，集合中的元素为，集合中的元素为，故错误.故选：B2.【答案】B【解析】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，C⊂A，正方形是矩形，所以C⊆B．故选B．3.【答案】D【解析】,真子集就是比A范围小的集合;故选D4.【答案】D【解析】∵，且中至多有一个偶数，∴可能为，故选：D．5.【答案】C【解析】,所以的非空子集为共7个，故选C.6.【答案】B【解析】根据题意，分A中有1个奇数或2个奇数两种情况讨论，由排列组合知识易得每种情况下的集合A数目，由分步计数原理计算可得答案解：根据题意，A中至少有一个奇数，包含两种情况，A中有1个奇数或2个奇数，若A中含1个奇数，有C21×22=8，A中含2个奇数：C22×22=4，由分类计数原理可得．共有8+4=12种情况；故选B．7.【答案】B【解析】A选项中，，，集合、都是点集，但集合里的元素是点，集合里的元素是点，所以集合、不是同一集合；B选项中，集合、都是数集，并且它们的元素都相同，所以时同一集合；C选项中，集合是点集、集合是数集，所以集合、不是同一集合；D选项中，集合是数集、集合是点集，集合、不是同一集合.故选：B8.【答案】B【解析】对于A选项，点和点不是同一个点，则；对于B选项，集合和中的元素相同，则；对于C选项，集合为点集，集合为数集，则；对于D选项，集合为数集，集合为点集，则.故选：B.9.【答案】C【解析】在数轴上表示和的关系，如下图所示：可知：，故选：．1