新课标2025版高考数学总复习第二章函数第八节函数与方程练习含解析文

PAGEPAGE16第八节函数与方程学习要求:1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,推断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.依据详细函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.1.函数零点的定义(1)对于函数y=f(x),把使①f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

(2)方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与②x轴有交点⇔函数y=f(x)有③零点.

2.函数零点的判定(零点存在性定理)一般地,假如函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连绵不断的一条曲线,并且有④f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间⑤(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得⑥f(c)=0,这个⑦c也就是方程f(x)=0的根.我们把这一结论称为零点存在性定理.

▶提示(1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根.(2)函数零点存在性定理只能推断函数在某个区间上的变号零点,而不能推断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点⑧(x1,0),(x2,0)

⑨(x1,0)

无交点零点个数⑩两个

一个

无

4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步,确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε.

其次步,求区间(a,b)的中点x1.第三步,计算f(x1):

(i)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;

(ii)若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1));

(iii)若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)).

第四步,推断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则,重复其次、三、四步.学问拓展(1)若连绵不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.(2)图象连绵不断的函数,其相邻两个零点之间的全部函数值保持同号.(3)连绵不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.(4)在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点.(5)若周期函数存在零点,则必有无穷个零点.1.推断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. ()(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连绵不断),则f(a)·f(b)<0. ()(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值. ()(4)若函数f(x)在(a,b)上的图象是连续的,且函数f(x)在(a,b)上单调,且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点. ()(5)对于随意的a∈R,函数f(x)=ex+a肯定有零点. ()(6)对于随意的a∈R,函数f(x)=lnx+a肯定有零点.()答案(1)✕(2)✕(3)✕(4)√(5)✕(6)√2.(2024湖北荆州中学高三模拟)函数f(x)=lnx+2x-6的零点所在的区间是 ()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案C3.若函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰有1个零点,则实数a的取值范围是 ()A.(-1,1)B.[1,+∞)C.(1,+∞)D.(2,+∞)答案C4.(2024浙江效实中学高三模拟)若函数f(x)=ax+1在区间(-1,1)上存在1个零点,则实数a的取值范围是.

答案(-∞,-1)∪(1,+∞)5.函数f(x)=(x2-2)(x2-3x+2)的零点为.

答案-2,26.函数f(x)=ex+12x-2的零点有个答案1函数零点所在区间的推断典例1(1)设函数f(x)=13x-lnx,则函数y=f(x)(A.在区间1e,B.在区间1e,C.在区间1e,1内有零点,D.在区间1e,1内无零点,(2)已知函数y=12x-2的图象与函数y=x3的图象的交点坐标为(x0,y0),则x0A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案(1)D(2)B方法技巧确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,然后看求得的根是否落在给定区间上.(2)图象法:把方程转化为两个函数,看两个函数图象的交点所在区间.(3)利用函数零点存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间(a,b)上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(4)数形结合法:通过画函数图象,视察图象与x轴在给定区间上是否有交点.1.(2024河北冀州中学模拟)函数f(x)=lnx-2x2的零点所在的区间为 (A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案B易知f(x)=lnx-2x2在定义域(0,+∞)上是增函数因为f(1)=-2<0,f(2)=ln2-12>0所以依据零点存在性定理可知,函数f(x)=lnx-2x2有唯一零点,且在区间(1,2)故选B.2.(2024山西忻州一中模拟)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间 ()A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内答案A∵a<b<c,∴f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函数零点存在性定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点.又函数f(x)是二次函数,∴最多有两个零点,∴函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内,故选A.3.若x0是方程12x=x13的解,则A.2C.1答案C令g(x)=12x,f(x)=x则g(0)=1>f(0)=0,g12g13∴13确定函数的零点角度一推断零点个数典例2(1)函数f(x)=3sinπ2x-log1A.2B.3C.4D.5(2)若a满意x+lgx=4,b满意x+10x=4,函数f(x)=x2+(a+b)x+2,x≤0A.1B.2C.3D.4答案(1)D(2)C角度二求零点典例3已知函数f(x)=ex-1-1,x<2A.1,2B.1,-2C.2,-2D.1,2,-2答案A方法技巧确定零点个数的方法(1)干脆求零点,令f(x)=0,有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理,要求函数f(x)在区间[a,b]上是连绵不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数.(3)利用图象交点个数,作出两函数的图象,视察其交点个数即得零点个数.1.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为 ()A.1B.2C.3D.4答案B易知函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数⇔方程|log0.5x|=12x=12x的根的个数⇔函数y1=|log0.5x|的图象与函数y2=12x的图象的交点个数.2.已知函数f(x)=x+1,x≤0,log2x,x>0A.4B.3C.2D.1答案A由f(f(x))+1=0,得f(f(x))=-1,由f(-2)=f12若f(x)=-2,则x=-3或x=14若f(x)=12综上,函数y=f(f(x))+1的零点个数是4.故选A.3.(2024课标全国Ⅲ,15,5分)函数f(x)=cos3x+π6在答案3解析令f(x)=0,得cos3x+π6=0,解得x=kπ3+π9(k∈Z).当k=0时,x4.已知f(x)=xlnx,答案1,-1解析当x>0时,由f(x)=0,即xlnx=0得lnx=0,解得x=1;当x≤0时,由f(x)=0,即x2-x-2=0,解得x=-1或x=2(舍去).综上,函数f(x)的零点为1,-1.函数零点的应用典例4(1)若函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是 (A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)(2)若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是.

答案(1)C(2)14方法技巧依据函数零点的状况求参数的三种常用方法(1)干脆法:干脆依据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的范围.(2)分别参数法:先将参数分别,转化成求函数值域的问题求解.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.1.已知函数f(x)=4x+a·2x+1+4没有零点,则实数a的取值范围是.

答案(-2,+∞)解析设2x=t(t>0),则t2+2at+4=0在(0,+∞)上无解,分别参数得a=-4-t22t=-2t+t2,2.(1)m为何值时,函数f(x)=x2+2mx+3m+4在(-1,3)上有两个零点.(2)m为何值时,函数f(x)=x2+2mx+3m+4有两个零点且均比-1大.解析(1)-1<-3<m<1,(2)设f(x)的两个零点分别为x1,x2,由题意得-m>-1,f(-微专题——利用图象优化函数零点的有关计算函数零点问题是高考函数、导数考查的重点和热点,要求学生驾驭函数零点的定义,能将不同类型函数的零点与方程的解以及函数图象的交点建立联系,能对问题进行转化,能运用数形结合的数学思想正确解题,有时运用函数的图象来解决一些小题,往往可以避开烦琐的探讨与计算.典例1已知函数f(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是 ()A.(22,+∞)C.(3,+∞)D.[3,+∞)答案C(1)此类问题假如f(x)的图象易于作出,可先作图以便于视察函数的特点.(2)本题有两个关键点,一个是引入协助变量t,从而用t表示出a,b,达到消元效果,但是要留意t是有范围的(通过数形结合y=t的图象与y=f(x)的图象有两个交点);一个是通过图象推断出a,b的范围,从而去掉肯定值.典例2已知函数f(x)=kx+2,x≤0,lnx,x>0(k∈R),若函数y=|f(A.k≤2B.-1<k<0C.-2≤k<-1D.k≤-2答案D(1)本题体现了三类问题之间的联系:函数的零点⇔方程的根⇔函数图象的交点,运用方程可进行等式的变形,进而构造函数进行数形结合,解决这类问题要选择合适的函数,以便于作图和求出参数的取值范围.(2)本题所求k一方面确定f(x)左侧直线的倾斜角,另一方面确定水平线的位置与x轴的关系,所以在作图时要兼顾这两方面,进行数形结合.典例3已知函数f(x)满意f(x)=f(3x),当x∈[1,3)时,f(x)=lnx,若在区间[1,9)内,函数g(x)=f(x)-ax有三个不同的零点,则实数a的取值范围是 ()A.ln33C.ln3答案B(1)利用f(x)=fx3,求当x∈[1,3)时,f(x)的解析式,及当x∈[3,9)时,f(x)的解析式(2)参数a是直线y=ax的斜率,进行数形结合求a的取值范围.1.已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间(-1,3)内,关于x的方程f(x)=kx+k(k∈R)有4个根,则k的取值范围是 ()A.0<k≤14或k=3C.0<k<1答案B依据周期性和对称性可作出f(x)的图象,直线y=kx+k(k∈R)过定点(-1,0),结合图象,若(-1,3)内有四个交点,可知k∈0,14.若直线y=kx+k与曲线y=f(x)在(2,3)上相切,联立方程y=x-2,2.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=log12(x+1),x∈[0,1),1-|x-3|,x∈[A.2a-1B.1-2aC.2-a-1D.1-2-a答案Bf(x)为奇函数,所以先作出正半轴的图象,再作出负半轴的图象,当x>0时,函数图象由两部分构成,分别作出各部分图象.函数F(x)的零点即为方程f(x)-a=0的根,即y=f(x)的图象与直线y=a的交点.视察图象可得有5个交点,x1,x2关于直线x=-3对称,x1+x2=-6,x3<0且满意方程f(x3)=a⇒-f(x3)=-a⇒f(-x3)=-a,即log12(-x3+1)=-a,解得x3=1-2a,x4,x5关于直线x=3对称,∴x4+x5=6∴x1+x2+x3+x4+x5=1-2a.3.已知函数f(x)=loga(x+1),-1<x<1,f(2-x)+a-1,1<x<3(a>0,a≠1),若xA.恒小于2B.恒大于2C.恒等于2D.与a相关答案B设f(x1)=f(x2)=t,不妨设-1<x1<1<x2<3,则-1<2-x2<1,∴loga(x1+1)=t⇒x1=at-1,loga(3-x2)+a-1=t⇒x2=3-at+1-a,∴x1+x2=2+at-at+1-a,若0<a<1,则y=ax为减函数,且t<t+1-a⇒at>at+1-a,∴x1+x2>2,若a>1,则y=ax为增函数,且t>t+1-a⇒at>at+1-a,∴x1+x2>2,∴x1+x2的值恒大于2.A组基础达标1.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点旁边的函数值用二分法计算,其参考数据如下:f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为 ()A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5答案C2.(2024北京师范高校试验中学期中)函数y=ln(x+1)的图象与函数y=1x的图象交点的横坐标所在的区间为 (A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案B3.(2024河北唐山一中期末)若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0,4),(0,2),(1,2),1,32内,则与f(0)符号相同的是A.f(4)B.f(2)C.f(1)D.f3答案C4.(2024山西高校附中期中)若f(x)是奇函数,且x0是y=f(x)+ex的一个零点,则-x0肯定是下列哪个函数的零点 ()A.y=f(-x)ex-1B.y=f(x)e-x+1C.y=exf(x)-1D.y=exf(x)+1答案C5.已知函数f(x)=15x-log3x,若x0是函数y=f(x)的零点,且0<x1<x0,则f(x1)的值 (A.恒为正B.等于0C.恒为负D.不大于0答案A6.已知函数f(x)=6x-log2x,则函数f(x)的零点所在的区间是 (A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)答案C7.函数f(x)=1-xlog2x的零点所在的区间是 ()A.1C.(1,2)D.(2,3)答案C8.函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内的零点的个数为 ()A.0B.1C.2D.3答案C9.设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3.若实数a,b满意f(a)=0,g(b)=0,则 ()A.g(a)<0<f(b)B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a)<0答案A因为函数f(x)=ex+x-2在R上单调递增,且f(0)=1-2<0,f(1)=e-1>0,所以f(a)=0时,a∈(0,1).又g(x)=lnx+x2-3在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=-2<0,所以g(a)<0.又g(2)=ln2+1>0,所以g(b)=0时,b∈(1,2),又f(1)=e-1>0,所以f(b)>0.综上可知,g(a)<0<f(b).B组实力拔高10.已知函数f(x)=2x+log2x,g(x)=2-x+log2x,h(x)=2x·log2x-1的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为 ()A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<b<c答案D令f(x)=2x+log2x=0,则log2x=-2x.令g(x)=2-x+log2x=0,则log2x=-2-x.令h(x)=2xlog2x-1=0,则2xlog2x=1,log2x=12x=2-所以函数f(x)=2x+log2x,g(x)=2-x+log2x,h(x)=2xlog2x-1的零点问题可以转化为函数y=log2x的图象与函数y=-2x,y=-2-x,y=2-x的图象的交点问题,作出函数y=log2x的图象与函数y=-2x,y=-2-x,y=2-x的图象,如图所示.由图可知,0<a<b<1,c>1,所以a<b<c.故选D.11.若定义在R上的偶函数f(x)满意f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是()A.8B.4C.3D.2答案B由题意知f(x)是周期为2的偶函数.在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)的大致图象与函数y=log3|x|的大致图象,如图所示.视察图象可以发觉它们有4个交点,即函数y=f(x)-log3|x|有4个零点.12.方程2x+3x=k的解在[1,2)内,则k的取值范围是.

答案[5,10)解析令f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)·f(2)<0,即(5-k)·(10-k)<0,解得5<k<10.当f(1)=0时,k=5.综上,k的取值范围是[5,10).C组思维